初中数学 习题1：用因式分解法求解一元二次方程

因式分解法一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2013·河南中考)方程(x-2)(x+3)=0的解是()=2 =-3=-2,x2=3 =2,x2=-3【解析】选D.∵(x-2)(x+3)=0,∴x-2=0或x+3=0,解得:x1=2,x2=-3.2.一元二次方程5x(7-x)+14=2x的根是()25 C.25和7 【解析】选D.原方程转化为5x(7-x)+2(7-x)=0,所以(5x+2)(7-x)=0,解得x1=-25,x2【易错提醒】等号两边都含有公因式时,不先移项提公因式,而是两边都除以公因式,造成题目丢根.3.(2013·铁岭中考)如果三角形的两边长分别是方程x2-8x+15=0的两个根,那么连接这个三角形三边的中点,得到的三角形的周长可能是()A.5.5 【解题指南】解决本题的三个关键(1)三角形成立的条件,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(2)三角形的中位线等于第三边的一半.(3)不等式的性质.【解析】选A.方程x2-8x=-15,配方,得x2-8x+16=1,所以x-4=±1,即x1=3,x2=5,则第三边c的范围是:5-3<c<5+3,即2<c<8.则三角形的周长l的范围是:10<l<16,∴连接这个三角形三边的中点,得到的三角形的周长m的范围是:5<m<8.故满足条件的只有A.【变式训练】方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为() 或15 D.不能确定【解析】选C.解方程x2-9x+18=0,得x1=3,x2=6.当腰为3,底为6时,由于3+3=6,不符合三角形的三边关系不能构成三角形;当腰为6,底为3时,符合三角形的三边关系,所以三角形的周长为6+6+3=15.二、填空题(每小题4分,共12分)4.方程x2-6x+9=(5-2x)2的解是.【解析】原方程可变形为(x-3)2=(5-2x)2,即(x-3)2-(5-2x)2=0,∴(x-3+5-2x)(x-3-5+2x)=0,即2-x=0,3x-8=0,∴x1=2,x2=83答案:x1=2,x2=85.如果(x+y)(x+y-1)=0,那么x+y的值为.【解析】因为(x+y)(x+y-1)=0,所以x+y=0或x+y-1=0,即x+y=0或x+y=1答案:0或16.实数a,b满足(a+b)2+a+b-2=0,则(a+b)2的值为.【解析】设x=(a+b),则原方程变为x2+x-2=0,解得x1=-2,x2=1.所以(a+b)2=4或者1.答案:4或1三、解答题(共26分)7.(8分)选择合适的方法解题:(1)(x-1)2-2(x2-1)=0.(2)2(t-1)2+t=1.(3)2x2-3x-5=0.【解析】(1)原方程变形为(x-1)2-2(x+1)(x-1)=0,左边因式分解得,(x-1)(x+3)=0,所以x-1=0或x+3=0,所以原方程的解为:x1=1,x2=-3.(2)移项,得2(t-1)2+t-1=0.左边因式分解得,(t-1)(2t-1)=0,所以t-1=0或2t-1=0,所以原方程的解为t1=1,t2=12(3)a=2,b=-3,c=-5,Δ=(-3)2-4×2×(-5)=49.所以x=3±492×2所以x1=52,x28.(8分)阅读材料:为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1看作一个整体,然后设x2-1=y…①,那么原方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2-1=1,∴x2=2,∴x=±2;当y=4时,x2-1=4,∴x2=5,∴x=±5,故原方程的解为x1=2,x2=-2,x3=5,x4=-5.解答问题:(1)上述解题过程,在由原方程得到方程①的过程中,利用法达到了解方程的目的,体现了转化的数学思想.(2)请利用以上知识解方程x4-x2-6=0.【解析】(1)换元(2)设x2=y,那么原方程可化为y2-y-6=0,解得y1=3,y2=-2,当y=3时,x2=3,∴x=±3,当y=-2时,x2=-2不符合题意,故舍去.∴原方程的解为:x1=3,x2=-3.【互动探究】若将(2)中的方程换为(x2-x)2-4(x2-x)-12=0,请利用换元法求出它的解.【解析】设y=x2-x,原方程变为y2-4y-12=0.解这个方程得,y1=6,y2=-2.当y=6时,x2-x=6,即x2-x-6=0,解得x1=3,x2=-2.当y=-2时,x2-x=-2,即x2-x+2=0,由于Δ<0,这个方程无实数根.所以原方程有两个实数根:x1=3,x2=-2.【培优训练】9.(10分)(2013·遵