极限求法总结

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极限的求法

1、利用极限的定义求极限2、直接代入法求极限3、利用函数的连续性求极限4、利用单调有界原理求极限5、利用极限的四则运算性质求极限6.利用无穷小的性质求极限7、无穷小量分出法求极限8、消去零因子法求极限9、利用拆项法技巧求极限10、换元法求极限11、利用夹逼准则求极限[3]12、利用中值定理求极限13、利用罗必塔法则求极限14、利用定积分求和式的极限15、利用泰勒展开式求极限16、分段函数的极限

1、利用极限的定义求极限

用定义法证明极限，必需有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A，这种状况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。

例：limf?x??A的ε-δ定义是指：?ε＞0，?δ=δ(x0，ε)＞0，0＜|x-x0|

x?x0＜δ?|f(x)-A|＜ε为了求δ可先对x0的邻域半径适当限制，如然后适当放大｜f(x)-A｜≤φ(x)(必然保证φ(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：

｜x+a｜=|(x-x0)+(x0+a)|≤|x-x0|+|x0+a|＜｜x0+a｜+δ1域|x+a|=|(x-x0)+(x0+a)|≥|x0+a|-|x-x0|＞|x0+a|-δ1从φ(x)＜δ2，求出δ2后，

取δ＝min(δ1，δ2)，当0＜|x-x0|＜δ时，就有|f(x)-A|＜ε.

1

极限的求法

例：设limxn?a则有limn??n??x1?x2?...xn?a.

n??n?xn-a??证明：由于limxn?a,对???0，?N1?N1(?),当n?N1时，?2于是当x?x?...?xn?x?x?...?xn?na??12?a??12n?N1时，nn0????

其中A??x1?a???x2?a???xN1???是一个定数,再由解得n?2AA??，n2x?x?...?xn????2A??,故取N?max?N1,???当n?N时，12???+=?。

?n22?????

2、直接代入法求极限

适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为

例1.求

分析由于

.

,

所以采用直接代入法.

解原式=

3、利用函数的连续性求极限

定理[2]：一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即假使x0是函数f(x)的定义区间内的一点，则有limf(x)?f(x0)。

x?x0一切初等函数在其定义域内都是连续的，假使f(x)是初等函数，x0是其定义域内一点，则求极限limf(x)时，可把x0代入f(x)中计算出函数值，即

x?x0x?x0limf(x)=f(x0)。

2

极限的求法

对于连续函数的复合函数有这样的定理：若u??(x)在x0连续且u0??(x0)，

y?f(u)在u0处连续，则复合函数y?f[?(x)]在x0处也连续，从而

x?xolimf???x???f???xo??或limf???x???flim??x?。

x?xox?xolnsinx例：lim?x?2解：复合函数x=

??在处是连续的，即有limlnsinx=lnsin?ln1?0

?22x?24、利用单调有界原理求极限

这种方法是利用定理:单调有界数列必有极限，先判断极限存在，进而求极限。例：求limaa?...an??解：令xn?a?a?...?a，则xn?1?a?xn，a?a?a，即xn?1?xn，所

以数列?xn?单调递增，由单调有界定理知，limaa?...a有限，并设为A，

n??limxn?1?lima?xnn??n??，即A=A?,a?1??1aA24，

所以

ln??iam?a?1??1a4a..。.2

5、利用极限的四则运算性质求极限

定理[1]：若极限limf(x)和limg(x)都存在，则函数f(x)?g(x)，f(x)?g(x)当

x?x0x?x0x?x0时也存在且

①lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)

x?x0x?x0x?x0②lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)

x?x0x?x0x?x0limf(x)f(x)f(x)x?x又若c?0，则在x?x0时也存在，且有lim.?0x?x0g(x)g(x)limg(x)x?x0利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在，

0?一般状况所给的变量都不满足这个条件，例如出现，，???等状况，都

0?不能直接运用四则运算法则，必需对变量进行变形。变形时经常用到因式分解、有理化的运算以及三角函数的有关公式。

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极限的求法

总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。

31（?）例：求limx?11?x31?x31解：由于当x?1时，与的极限都不存在，故不能利用“极限的和等

1?x31?x于和的极限〞这一法则，先可进行化简

313?(1?x?x2)(1?x)(2?x)(2?x)这样得到的新函数当?=??1?x31?x1-x3(1?x)(1?x?x2)(1?x?x2)x?1时，分子分母都有极限且分母的极限不为零，可用商的极限法则，即

31(2?x)lim（?）=lim=1x?11?x31?xx?1(1?x?x2)例2.求x?2limx?1x?1。

解

x?1?x?21lim?lim(x?1)x?2x?13x?2lim(x?1)6.利用无穷小的性质求极限

我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量，有界变量乘无穷小是无穷小，对一些特别的函数而言用其他方法很难求得，只能用这种方法来求。4x-7例：求lim2

x?1x?3x?2解：当时x?1，分母的极限为零，而分子的极限不为零，可先求处所给函数倒

4x-7x2?3x?2=?。=0，故lim2数的极限limx?1x?1x?3x?24x-7

例5．求极限分析由于行恒等变形.

解原式=

(恒等变形)

不存在,不能直接使用运算法则,故必需先将函数进

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极限的求法

由于当1,即

得

是有界函数,由无穷小的性质：有界函数乘无穷小仍是无穷小,

=0.

时,,即

是当

时的无穷小,而≤

7、无穷小量分出法求极限适用于分子、分母同时趋于例3．

,即

型未定式

分析所给函数中，分子、分母当时的极限都不存在，所以不能直接应用法则.注意到当时，分子、分母同时趋于，首先将函数进行初等变形，即分子、分母同除的最高次幂，可将无穷小量分出来，然后再根据运算法则即可求出极限.

为什么所给函数中,当时，分子、分母同时趋于呢?以当

说明：由于,但是趋于速度要比仍是

趋于

的速度快，所以

.不要认为

的

(由于

有正负之分).

解原式