研究生矩阵论及其应用课后答案习题一

习题一

1.检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间:

(1)设A是〃阶实数矩阵.4的实系数多项式/(A)的全体，对于矩阵的加法

和数乘：

(2)平面上不平行于某一向量所组成的集合，对于向量的加法和数与向量的

乘法;

(3)全体实数的二元数列，对于如下定义的加法㊉和数乘。运算:

(a,b)㊉(c,d)=(a+c,b+d+ac),女。(a,b)=(ka,kb+^—^-^-a2)

(4)设是一切正实数集合，定义如下加法和数乘运算:

a@b-ab,koa-ak

其中a,bGR+,keR；

(5)二阶常系数非齐次线性微分方程的解的集合，对于通常函数的加法和数

乘；

(6)设V={x|x=qsinf+c,sin2,4\-cksinkt,cieR,O<t<24},V中

元素对于通常的加法与数乘，并证明：{sinf,sin2f,…,sink”是V的•个基，试

确定q.的方法.

解(1)是.

令匕={/(A)|/(x)是实系数多项式，A为"X”矩阵}.由矩阵的加法和数乘运

算知，

/(A)+g(A)=KA),lrf(A)=J(A),

其中女为实数，/*),〃(x),d(x)是实系数多项式.匕中含有A的零多项式，为匕的

零元素./(A)有负元-/(A)e由于矩阵加法与数乘运算满足其它各条，故匕关

于矩阵加法与数乘运算构成实数域上的线性空间.

(2)否例如以那个已知向量为对角线的任意平行四边形的两个邻边向量，它

们的和不属于这个集合，因此此集合对向量的加法不封闭.

(3)是.封闭性显然成立.下面证明此集合满足线性空间的八个要求.

任取该集合中的三个元素，设为a=(a,b),/3=(c,d)，r=(7,g),以及任意实

数鼠/，则有

①a㊉£=(a+c,Z?+d+ac)=2+a;

②(a㊉尸)㊉y=(a+c,b+4+ac)㊉y

=((a+c)+/,(b+d+ac)+g+(a+c)/)

=(a+(c+f),h+(d+g+cf)+a(c+/))

=a!©(c+/,</+/+cf)=[㊉(£㊉y);

③存在(0,0),使得

(a,h)㊉(0,0)=(a+0/+0+aO)=(a,b),

即(0,0)为零元;

④存在(—a,a2—匕),使得

(a,b)©(-a,a2-b)-(a-a,b+(a2-b)+a(-a))-(0,0),

即(一a,)一协是(a,协的负元;

⑤1。(。,6)=(la,g+&//)=g,b)

⑥k。(I。a)=k。Q。(a,b))=k。(la,lb+—-a2)

2

/(/-1)2\k(k—1)2、

=(/zk(/l/a)x,k(lb+-----Q-)H-------------(la))

22

=(kla,(kl)b+a2)=(制)。伍,份=(&/)。。；

⑦(A+/)。a=(A+/)。(a,b)=((k+l)a,(k+l)b+(”+，)(("+4T])

2

=(ka+la,(kb+~~—a2)+(lb+—~~—a2)+(ka)Qa))

22

=(ka,kb+他二»a?)㊉Qa」b+国二*a?)

22

=A：o(a,0)+/o(a,/?)=Zoa++/oa；

⑧％。(a㊉,)=Zo(〃+c,b+d+ac)

,jj,jjk(k-1)2\/ijk(k—1)2xz»w

=(zka+kb,(kbH----------tz**)+(kdH-----------c2)(ka)(kc))

22

,jk(k—1)2\ZT\/ziJk(k-1)2\

=(ZJka.khd-----------a)㊉(kjkdd-----------c)

22

=(koa)@(k。0).

(4)是.对任意a,b£R+,有a㊉b=abeR'；又对任意攵£R和〃wR'，

有左。a=a*eTT,即R+对所定义的加法与数乘运算封闭。

下面来检验R+对于这两种运算满足线性空间的八条运算律：

①a^b=ab=ba=b^a

②(a㊉。)㊉c=(ab)㊉c=(ab)c=a(bc)=a㊉S㊉c)

③1是零元素：a®l=a-l=a

④a的负元素是。一：a㊉a-=aa~]=1

⑤1。。="=a

⑥k。(/。a)=k。a'=(〃')"=alk—(Ik)。a

⑦(k+1)。a=ak+l=aka1=ak®a1=(k。a)㊉(l。a)

®ko(a®b)=ko(ab)=(ab)k=akbk=(k。a)㊉(k。b)

所以R+对这两种运算构成实数域R上的线性空间.

(5)否.设匕={y(x)a+%y'+aoy=/(x)J(x)#o}，则该集合对函数的

加法和数乘均不封闭.例如对任意的必，为+乃仁匕•故不构成线性空间.

(6)是.集合V对函数的加法和数乘显然封闭.零函数是V的零元素；对任意

的x=(7]sin，+。2sinItH-----Fcksinkt,-x=-qsinz-c2sin2t------cksinkt

是其负元素.由于函数的加法与数乘运算满足线性空间要求的其它各条，故集合V

关于函数的加法与数乘构成实数域上的线性空间.

为证明函数组sinf,sin2f,…,sink是"的­个基，由于丫中的任意函数均可

由该组函数表示，故只需证明sinf,sin2f,…,sinR线性无关.设

/1sin/+4sin2fH■…+lksinkt-0,

分别用sin"(i=l,2,…，左)乘以上式，并从0到2万求定积分，得

Ijjsintsinitdt+Z2Isin2tsinitdt-\-----F4]sinktsinitdt=0,

由于

Isinmtsinntdt=0(m,n=1,2,3・・・，加。几)，

Isinmtsinntdt-7i(m-n-1,2,3---)»

故4=4=・♦・=〃=0，即sin，,sin2，,・・・，sinh线性无关.

设x=Gsin，+Qsin2f+…+qsinkt，则

Jxsinitdt=q],sintsinitdt+c2]sinItsinitdtH-----\-cksinktsinitdt=c/

故q=—[xsinifdf(i=1,2,…,A).

n*

2.求下列线性空间的维数与一个基：

(1)R"*"中全体对称(反对称、上三角)矩阵构成的实数域R上的空间;

(2)第1题(4)中的空间；

(3)实数域R上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间，其中

■1001

八八-1+。3»2—31

AA=0CD0,CD=----------,CD=CD.0)=1

00/2-

解（1）设gj是第i行第j列的元素为1而其余元素全为0的〃阶方阵.

E〃,i=j

①令瑞・二J上"，则今.是对称矩阵，易证耳,…，居“*22,…，工”，

jj十口ji，I产J

…，工“线性无关，且对任意”阶对称矩阵4=（囱）…，其中传=町，有

A=f声」故尸”…，片”，尸22，…，尸2“，…，K"是R"、”中全体对称矩阵所构

,•=|J=1

成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是"色+1）.

2

②令Gjj=Eu-EJivj）,则G..是反对称矩阵，易证

Gm---,Gill,G23,--,G2n,…,Gi,线性无关，且对任意的〃阶反对称矩阵

4=（他）四，有4=££*〃，故％,--0,&3，-一02.「一’％.“是上'中

r=lj=i+\

全体反对称矩阵所构成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是四二D.

2

③对任意〃阶上三角矩阵A=（%）”,“，其中阂=0«〉力，有

A=a>

EEA又…，耳”,后22,…，£2“，…，E,”,均为上三角矩阵且线性无

,=1j=i

关，故它们是/?"*"中全体上三角矩阵所构成的线性空间的一组基，该线性空间的

维数是妁上D.

2

（2）数1是该空间的零元素，于是非零元素2是线性无关的，且对于任一正

实数。，有。=2唾”'=10g2ao2,即R+中任意元素均可由2线性表示，所以2是

该空间的一组基，该空间的维数是1.事实上任意不等于1的正实数均可作为该空间

的基.

（3）因为<y=-]+,ty2—co,co''=1,故

2

1,n=3m

n=3m+1(m=1,2,3---)

co1.n=3m+2

100E,n=3/77

于是A2=0®0,A3=E,An=<A,n=3m+1(加=1,2,3…)

00®A2,n=3m+2

则任意/(A)可以表示成E,A,1的线性组合.又E,A,A?是线性无关的.实际上,

设

攵1+&+攵3=0

2

kxE+k2A+k3A=0,即<勺+k2co+k3G=0,

勺+k2a)+k3a)=0

因为关于73的该方程组的系数行列式

111

1CDCD=3^(69—1)0,

1CDCD

故方程组只有零解，即匕=&=勺=0,于是E,A,A2线性无关，故E,A,T是

该空间的一组基，该空间的维数为3.

3.设P[x]表示实数系数多项式全体构成的线性空间，问下列向量集合是否构

成P[x]的子空间：

⑴{p(x)|p⑴=0}；

⑵{p(x)|p(x)的常数项为零};

⑶{p(x)|p(x)=p(—x)};

⑷{p(x)|p(x)=—p(—x)}.

解这四个向量集合都是P[x]的子空间.由于这些集合均包含零多项式，故非

空，下面证明这些集合对多项式的加法和数乘是封闭的.

⑴设匕={p(x)|p⑴=0},对任意的p/x),p2(x)eVy,keR,由于

Pi⑴=026=。，故Pl⑴+。2⑴=°，31⑴=0，即

Pi(x)+。2(x)e匕,tip】(x)e匕，

因此匕是P[x]的子空间.

⑵设匕={p(x)\p(x)的常数项为零},对任意的P1(x),p2(x)eV2Je/?,

由于P](x),a。)的常数项均为零，故Pi(x)+J。)和kpQ)的常数项也均为零,

即

Pi(x)+P2(x)eV2,kp、(x)eV2,

因此匕是P[x]的子空间.

(3)设匕={p(x)|p(x)=p(—x)},对任意的P[(X)，P2(X)€匕,&eR,令

f(x)=Pi(x)+p2(x),g(x)=S(x),

由于PI(X)=PI(-X)，P2(X)=P2(-X)，故

f(x)=px(x)+p2(x)=px(-x)+p2(-x)=f(-x),

g(x)=kp](x)=kp](-X)=g(—x)

即

f(x)eV3,g(x)eV3,

因此匕是P[x]的子空间.

(4)设匕={p(X)|p(X)=-p(-X)},对任意的〃[0),〃2(了)€匕,攵€??,令

f(x)=Pi(x)+P2(x),g(x)=S](x)，

由于〃1（%）=一.|（一戏〃2（了）=一〃2（-%）,故

/（X）=P]（X）+。2（X）=-P\（-X）_P2（-X）=-/（-X）,

g（X）=kp]（x）=-kp{（-x）=-g（-x）

即

f（x）eV4,g（x）eV4,

因此％是P[x]的子空间.

4.证明下列向量集合组成线性子空间，并求基和维数：

（1）第偶数个坐标为零的所有〃维向量；

（2）形如（。力,a力,…尸的所有〃维向量，其中a力为任意数.

解（1）该集合可表示为

匕=<（为，了2,…，斗）|%cP,4=0«=1,2,…，->，

显然该集合非空.又对任意的…,乙）6匕,月=（%,当，…，式）《匕，

leP,由于a,力的第偶数个坐标为零，故a+/和/a的第偶数个坐标也均为零,

即

a+）3&Vt,laeVt,

因此匕是P"的线性子空间.

当”=2攵（女=1,2,…）时-，V,中向量的一般形式为

匕的维数是左，向量组

弓=（1,0,0,0,…,0,0）,02=（0,0,1,0,…,0,0）,……,0=（0,0,0,0,…,1,0）

是匕的一组基.

当〃=2k+l伙=1,2,…）时，乂中向量的一般形式为

(%,0,々,0广、五,0,4+1),

匕的维数是攵+1,向量组

4=(1,0,0,0,…,0,0,03=(0,0,1,0,…,0,0,()口••,

,=(0,0,0,0,…，1,0,0),线u=(0,0,0,0,…,0,0,1)

是匕的一组基.

(2)该集合可表示为匕={(a,b,a/j-)[a,bep},显然该集合非空.又对

任意的a=(%,伉,可，4，…)'W匕,/?=(。2，匕2,42,62'…)'€匕，I€P，有

T

«+/?=(«1+a2,b]+^2,«1+a2,bt+b2,---)&V2,la=(lavlb},lavlbv---YeV2

故匕是P"的线性子空间.

匕的维数是2,4=(1,0,1,0,…产品=(0,1,0,1,…尸是匕的一组基.

5.在尺4中求由基刍■2,刍,1到7,%,773，%的过渡矩阵，并求向量自在指定基

下的坐标，设

a,2-i,o/,7=21,0,1)1

^=(1-1,1,17,%=初1,2,2)7,

刍=G121,1)「，〃3=G2,1,1,2)T,

1=61,-1,0,DI%=(1,3』,2)。

、=(1,0,0,0/在刍刍下的坐标;

。=(1,1,7i=(1,1,0,1)。

%=<2,1,3,17,

r

(1,-1,1,~17,73=a,i,o,o),

r

^4=a-1-1,17,74=0,l,-l,-D,

J=(1,0,0,-l)7在7,%，〃3，〃4下的坐标.

解设与=(1,0,0,0)r,4=(0,1,0,0)T,£3=(0,0』,0了,句=(0,0,0,l)r.

(1)因为

（。,务刍，扁）=（£i，£2，q，£4）A，(7，%，％，/)=(%，£2，£3,，

11-120-2r

2-121113

其中A,B=

-1110211,

011222

故(/，小，小，/)=(J，4，小，&)B=&,44，公A"B,

即由基。，刍,刍,1到的过渡矩阵为

001

101

111

010

又

则j=（1,o,o,oy■在。$,刍，4下的坐标为

（2）因为

&,§2,43,4）=（凤，G，％，〃）A,（7，%,〃3，%）=（£1，£2，£3，£4）8,

'11111Fl21o-

11-1-11111

其中A=,B=,

1-11-1030-1

1-1-11J[110-1

故(7­，〃4)=(G，卬/，4*=(0444)4"，

即由基。42,3,刍到7，%，小，”的过渡矩阵为

372-1

11-123

B=匕

4-130-1

1-10-1

、1卬j1、

00.0

又4=0=（£|，£2，£3，电）0=（7,%，/，小）矿

则g=（1,0,0,-1/在7,%，/，”下的坐标为

6.在A,中给定两个基

。=(1,0,0,0)。7九=21,-1,1)7

<2=0，1，0,0咒%=Q,3,I,O)T,

刍=0,0,1,0)7,小=6,3,2,1)T,

1=(0,0,0,1)7.%=66,1,3)7.

求一非零向量，使它在两个基下有相同的坐标.

解设所求向量为它在给定的两组基下的坐标均为（X1,X2，X3，X4）T，即

=(7,%，%，%)

又

2056

]336

(%，%，%，/)=其中A="

—1121

1013

则

'xQ-1056

xxx1236x

2=A2，即(A-E)2=0,也即2=

-1111

X3X3

<X4>1012_kX4>

解之，得该方程组的通解为（c,c,c,-c）T,其中C为任意常数.

故所求向量为g=(c,c,c,-c)T,其中C为任意非零常数.

7.设

'100-

A=010,

312

求/?3*3中全体与A可交换的矩阵所生成子空间的维数和一个基.

解将A分解为

'000-

A=E+S,其中S=000,

311

abc

设5=q&q与A可交换，即=则有（£+S）3=8（£+S）,

a2b2c2

于是£B=3S.即

000

000

3a+6+a23b+bt+b23c+G+c2

根据矩阵相等的定义，有

c=0

q=0

3。+%+2一3c2=0

3b+Z?|+h-,—C-)-0

解此方程组，得其通解为

11,1

"l=LM=，2'。2=，3'02，4，。2="'a=_§，3+，5，b=一§f：

其中4(i=1,2,…,5)为任意常数.

于是

1111

-12-/+"0

B，20+t,B?+,383++,585

’3J’5

其中

222

000000

333

100,也010%000

000000100

则中任一与可交换的矩阵均可由表示，又

R3X34B„B2,B.,B4,B5

5”2,鸟,纥，区线性无关，则耳,屈,弱，线,纭是产中全体与A可交换的矩阵

所生成子空间的一组基，该子空间的维数是5.

8.设K,S是实系数多项式空间口划中的两个子集，其定义为

K={p(x)|p(x)=—p(—x),Vxe/?},S={p(x)|p(r)=p(x),Vxe/?}

证明:P[X]=zees.

证明对任意的p(X)€P[X],有

p(x)=g[p(x)+p(-x)]+g[p(x)-p(-x)]=Pl(x)+P2(x)，

其中P|(x)=g[p(x)+p(—x)]eK,p2(x)=^[p(x)-p(-x)]GS

即P[x]中的多项式均可表示为K中的多项式与S中的多项式的和，故

P[x]=K+S.

又KP|S={0},因为若p(x)eKnS,则p(x)=p(-x)=-p(x),故

p(x)=0.

从而K+S是直和，故P[x]=K㊉S.

9.设匕与匕分别是齐次线性方程组玉+x?+…+x,=0和%=々=-=x”

的解空间，证明：R"=K㊉匕.

证明方程组x,+x2+---+x„=0的解空间是n-\维

的0=(-1,1,0,…,0)7,。2=(一1，0，1L・，0)1一，%7=(-1，0,0「・・，1尸是其一

组基，即

匕=Span(al,a2,---,an_l)t

方程组玉=X2=3=x.的解空间是1维的，a=(1,1,1,…,1),是其一组基.，即

V2=Span(a).

由于囚,。2,…，&T，。线性无关，故

乂+匕=Span(a1,a2<••,an_})+Span(a)=Span{ax,a2,•••,an_x,a)=R〃,

又dimR〃=dimV+dim%,根据维数定理,有匕0匕={0},故R〃=匕㊉％.

10.设

匕={4=(他”/?“与=0,当蜂/},

匕={4=(%€/?叫他=0,当碑/},

证明：/?'"*"=X㊉匕.

证明：对任意的A=(羯)€即*",均存在矩阵8=(%)6匕及矩阵

C=(c..)€V2,其中

,[0，'>J[«,•；,i>j

nxnmxn

则R'=Vt+V2,又Kn%={。}，故R=Vt®V2.

ii.证明：和空间之匕为直和的充要条件是匕nz%={0}a=i,2,…,左).

i=lj*i

kA

证明必要性.设£匕为直和，则对任意的aef匕，其分解式是唯一的.现

i=l/=1

对任意i证明匕={0}(i=l，2,…,左)任取a,用住匕，则零向量可表

评j丰i

示为

0=%+(f)(a,GVi,aieZ匕)，

刑

由于零向量的分解是唯一的，且0=0+0,故/=—6=(),即vnz%={0}-

件i

充分性.设匕nz%={0}a'=1,2,…,左),她ix匕中存在向量/有两种分

jwi/=1

解式

/=%+%+…+%=4+尾+…+4a，匹£匕/=1,2,・・・，幻

现证%=/?”％=夕2,…，%=4•假设有。产力，即％-力。0,由上式得

(%—/?[)+(%-42)---卜(％-A)=。，

则Z(4—%)=a厂gh。，而£(4一%)=%-笈e匕ng匕，这与

j汨万，间

匕nz%={o}矛盾，故e=/，。2=22，,、&=凤，即之匕中任意向量的

，对/=1

分解式是唯一的，即£匕为直和.

i=\

12.求下列由向量{a,}生成的子空间与由向量{»}生成的子空间的交与和的

维数和基：

%=(1,2,1,0)7,^=(2,-1,0,1/,

1«2=(-1,1,1,1/,2=(1，-1，3,7尸；

/=(1,2,一卜,2)7

/=(2,5,-6,-5)、

⑵・[2=(3,1,1,1)7,

[四=(-1，2,-7,3)7.

%=(—1,0,1,—17

解(1)设叱=印4〃@,02),%=小。〃仍，月2)，则

W}+W2-Span(a},a2)+Spa〃(4,/72)=Span(a},a2,,/72)

考虑向量组,,。2，4，河的秩和极大线性无关组，对矩阵(«1,。2，综尸2)作初等变

换，

1-121121121

cc21-103017

(<Z],(X，2,B\,p2)_]]

0302-220013

011701170000

则因,。2,以为向量组囚,。2,四,河的极大线性无关组，故叱+吗的维数为3,

%,%，自是叱+%的一组基,

因为dimW|=dimW2=2，由维数定理知

dim(W1口吗)=dim叱+dim%-dim(叱+%)=1，

设ae叱Pl必，a=%，+x2a2=刍夕]+x4瓦，有

-1-1-2-T

%22111

（。］，。2，-B\,-尸2）Z=0,即Z二0,

110-3不

<X4>01-1-7_kX4>

求其通解为（一猊43-3%,攵），攵为任意常数.则a=+依%=%（一5,2,3,4）1,

故叱0%=卜（一5,2,3,4f为任意常数｝，（—5,2,3,4）「是叱口明的一组基・

（2）设％=Span®,a2,a3）,W2=Span（仪,/72）,则

阴+%=Span{a.,a2,a,)+Span(px,p2)=Span(a,,a2,a3,p,,p2)

对矩阵（囚,。20,晶尾）作初等变换，

-13-12~r■13-12-r

21052010-1-2

(a,a,a,/7,/?)=—>

l23l2-111-6-7001-2-3

-21-1-5300002

则%,。3，河为向量组%,见，。3，4，A的极大线性无关组，故叱+吗的维数为

4,,,％,。3，力2是叱+卬2的一组基・

因为dimW；=3,dim%=2，由维数定理知

dim(叱口吗)=dim"+dimW2一dim(%+%)=1,

由于四=3%一。2-2%，故4€叱0也，则丹是叱口皿2的一组基.

13.设4=(%)是一个”阶正定矩阵，而a^(xt,x2,---,xnY,

4=(M，%，…，K)'，在R"中定义内积(a,/?)=&[/?，试证明：在这个定义下，

R"为欧氏空间.

证明由于矩阵A是正定矩阵，故47=A,且对任意的非零向量。，有

a'Aa〉。.则对任意的a,£有

①(a,P)-aTA/3-(a7A/?)r=pTA'a=gAa=(£,a)

②(ka,/3)-(ka)rA/3-k{a'A(3)=k(a,/3)

③(a+夕,y)=(a+/3)TAy=aTAy+0TAy=(a,/)+(£,/)

©(«,«)=a'Aa>0,当且仅当a=0时等号成立

则运算(a,/7)=a,A6是内积，故在这个定义下，R"为欧氏空间..

14.设

aa+b\

V=<a,b,ce/?>,

一J

作出V到R3的同构对应.

解令A=II,4=°I,4=°°,则A，A,,4是v的一组

1oo-oo311123

基,

对于V中任意矩阵A=aa+b在基A，4，A3下有唯一的坐标（a，b，c）r，则在

CC

矩阵与其坐标之间建立对应关系，即

「QQ+Z71

A=fT

cc

显然，此对应是同构对应，而这正是丫到R3的一个同构对应.

15.设X是微分方程x"+x=0的解的全体

X=1x|x=acost+bsint,a,heR,0<t<2]}

证明：X与Aa同构.

证明由于函数组sinr,cost线性无关，且X中的函数均可由sin/,cost表

示，故函数组sinf,cost是X的•组基.对于X中任意函数x=acosf+bsinr在基

sin，,cost下有唯一的坐标（。力尸，则在函数与其坐标之间建立对应关系，即

x-acost+hsint->（a,b）'

显然，此对应是同构对应，而这正是X到R?的一个同构对应，故X与心同构.

16.在R4中求一单位向量与（1,1「1,13C，一1:1,1）7（2,1,1,3）T正交.

解设a=（X”X2，X3，X4）T与已知的三个向量正交，贝IJ

玉+工2-工3+Z=0

<再一%一+%4=0

2xl+/+七+34=0

解之，得方程组的通解为

41

Xj=--t,x2=0,x3=--t,x4=f（r为任意常数）

取f=-3,得a=（4,0』,—3尸，单位化得

77=a=■■,—(4,0,1,—3)r

aV26

即为所求.

17.设£1,£2,q,Q,弓是中一组标准正交基，V=Span{al,a2,a3],Jt'P

%=£i+£5,4=£1-J+4，。3=2与+£2+J，求V的一组标准正交基.

解显然%,a2，%是线性无关的•将其正交化，得

P\=%=0+£5,

(%,4)。11

22=%-A=5巧-f2+£4--£5,

(凡㈤

⑸笈)(田，尸2)

A=«3-£1一尸2=£|+4+邑一£5

(综⑷(外△)

单位化，得

+/)，％=^(£|-2£2+2j—£5)，〃3=g(£|+4+J-£5)

7

则7，%,小是丫的一组标准正交基.

18.设丫=。3,并对丫中任意的向量a=(阳,%2，无3)，夕=(%，、2，》3)，设内积

3_

为(a,0)=Ex»,若a=(2,l+i,i)7,/?=(2-i,2,l+2i)r,计算(a/),

《=1

M』例及距离P(a,B),并验证Cauchy-Schwarz不等式.

解(a,^)=2-r^+(l+z)-2+z-l+21=8+5z；

||a||=J(a,a)=722+(l+z)(l-z)-i2="；

Ml=，(■〃)=7(2-0C2+D+22+(1+20(1-20=V14

因为|(a,/7)|=J(8+5i)(8—5i)=底，底勺麻二不历,故

|(a,创41alM

又a—，=(i,—1+i,-1—i)，贝II

P(a,尸)=||a-夕||=^a-/3,a-/3)=>J-i2+2-(l+z)(-l-z)=A/5.

19.用Schmidt正交化方法，将内积空间V的给定子集S正交化，再找出V的

标准正交基，并求出给定向量在标准正交基下的坐标：

(1)V=/?4,S={(1,2,2,-l)r,(1,1,-5,3)r,(3,2,8,-7)r},a=(3,1,1,-3)r；

(2)V=R\s=卜2』,3,—1尸,(1,1,—6,0)T,(5,7,7,8)，},a=(2,1,3,-1/；

(3)V^P^x],定义内积为(九g)=,6=|l,x,x2}j(x)=l+x.

7r

解：(1)设a,=(1,2,2,-1),a2=(l,l,-5,3),a3=(3,2,8,-7/,由于

线性无关，令

4=%=(1,2,2,—1尸,

（%，四）

自=(2,3,-3,2尸,

P2=a2—

（四㈤

（%，4）（%，£2）

43=%.A-(2,-1-1-2r)

(凡⑷（夕2血）

则目，片,四是与%,%，%等价的两两正交的向量组•

设一=（%,尤2，彳3，苫4）'是与♦，夕2,尸3均正交的向量，即

玉+2X2+2X3-x4=0,

v2xl+3X2-3X3+2X4=0,

2玉-x2-x3-2X4=0

解之，得方程组的通解为C（L-1,1,1）,，其中c为任意常数.

令A=（l,—1,1,1）"则片，夕2,夕3,凡是丫的一组正交基，将其单位化得V的

一组标准正交基:

(1,2,2,—1尸,匕=」(2,3,—3,21,

726

r3

向量a=(3,1,1,-3尸在标准正交基八,七,九，九下的坐标为

((a,6),。,%),。,%),。,％))'=(所，。，丽,。)’.

(2)设/=(2,1,3,-1)',。2=(1』,一6,0),,a3=(5,7,7,8)，,/。2,火线

性无关，令

4=%=(2,1,3,-1y，

(a2,笈)

/?=a—月=(3,2,-3,-1了,

22(玲⑷

(%,22)

(。3,4)用=(1,5,1,10)。

43=%一P\~

(四4)

则回，夕2，河是与%％等价的两两正交的向量组•

设A=(%,％2，苫3，34)'是与/?1,/?2，四均正交的向量，即

2X1+x2+3X3-%=0,

3X1+2X2-3X3-x4=0,

玉+5X2+x3+IOX4=0

解之，得方程组的通解为c(-121,157,6,-67/■，其中c为任意常数.

令4=(—121/57,6,-67尸，则%,g2,A，用是V的一组正交基，将其单位

化得V的一组标准正交基：

1(2,1,3,—1)"=七(3,2,一3,一1了,

1(1,5,1,101,为=11(-121,157,6,—67)，

V43815

向量a=(2,1,3,-1)’在标准正交基外,外,%，九下的坐标为

（（。,％）,（。,%）,（。，73），（。，%））'=（而,0,0,0）,

（3）设%=1,%=工"3=九？,由于%,%，％线性无关，令

B1=%=1,

（见，⑷

02=。2P\=X~~

0伙）1"

（。仇）_（%M）2卜""

3‘oP-x_1

-x+—

3,外'的血）2"f（X-；）2dx6

则回，尸2,四是与.，4，。3等价的两两正交的向量组•

由于Lx,/,/线性无关，由Schmidt正交化方法，令

2520

则目，夕2,夕3,A是V的一组正交基，将其单位化得V的一组标准正交基:

=

/i=1,/226x-G,

2空31+九」）

/3=6^5x-6小x+y/5,y4

5892520

317

向量/（x）=l+x在这组基下的坐标为反汲°。­

20.用向量/=（1,0,2,11,%=（2,1,2,3y,%=（0,1,-2,1/生成子空间V,

求V的

正交补V1的基底及正交补空间vx.

解由于向量组,,<22,中，％=。2-2%，且％,。2线性无关，故四，。2是

向量组四,。2，。3的极大线性无关组，则V==Spa"(，,。2｝，即

ax,a2是V的一组基.

如果向量夕与正交，则仅与v正交；反之，如果夕与V彼，则尸

与囚,。2均正交，故丫的正交补V由满足方程组

(/7,«,)=0,

(7?,a2)=0

的所有向量/?组成，设4=(斗乙,%3，%4)"则V就是方程组

%,+2X+x=0,

<34

2xl+4+2X3+3X4=0

的解空间.该方程组的一个基础解系，即V1的基底为

4=(-2,2,1,0)7,&=(-1,-1,0,1)7

而厂=Spa〃｛4,四｝.

21.判断下列所定义的变换，哪些是线性变换，哪些不是？

(1)在线性空间V中，TC)=£+a,其中awV是一固定向量；

(2)把复数域看作复数域上的线性空间，7©)=孑；

(3)在。中,T(xl,x2,x3)=(x^,x2+x3,Xj)；

(4)在川中，T(xt,x2,x3)-(2X)-x2,x2+X3,Xj)；

(5)在7rx"中，T(Z)=BZC,其中E