中考仿真模拟考试《数学卷》含答案解析

中考模拟测试数学卷

学校班级姓名成绩

一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确

的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）

1.计算-4-|-3|的结果是（）

A.-1B.-5C.1D.5

3.从棱长为2a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零

)

4.已知A3//CD,直线EF分别交AB、CD于点G、H,ZEGB=25°,将一个60°角的直角三角尺如图放置

（60°角的顶点与H重合），则NPHG等于（)

A.30°B.35°C.40°D.45°

5.某微生物直径为0.000005035m,用科学记数法表示该数为()

A.5.035x10-6B.50.35x10'5C.5.035x1()6D.5.035x10-5

6.

某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入

该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天

生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为

23002300—23002300”

A.-------+--------=33B.-------+------------=33

x1.3xxx+1.3x

23004600”46002300

C.-------+------------=33D.-------+------------=33

xx+1.3xxx+1.3x

7.如图，AB±AC,AD±BC,垂足分别为A,D,则图中能表示点到直线距离的线段共有()

A.2条B.3条C.4条D.5条

8.如图,已知。中直径A8=4G，半径OC_LA8,点。是半圆ACB的三等分点，点P是半径OC上

的动点,使P3+P/D的值最小时，PO=()

A.1B.6C.2D.3

9.若关于x的一元二次方程f一2%+妨+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数

y=kx+b图象可能是:

10.抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(-1,0),B(3,0),交y轴的负半轴于C,顶点为D.下列结论:

①2a+b=0；②2c<3b；③当mrl时，a+b<am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a=，；⑤当

2

△ABC是等腰三角形时，a的值有3个.其中正确的有（）个.

A.5B.4C.3D.2

11.如图，正方形ABC。中，£为CO的中点，AE的垂直平分线分别交AO,8C及A8的延长线于点F，

G,4,连接”E，HC,8,连接CO并延长交AD于点〃.则下列结论中:①/G=2AO；②。。HE；

③竺£=&£：@2OE-AH-DE⑤GO+6”="C.正确结论的个数有（）

ECMD

A.2B.3C.4D.5

3

12.如图，直线产-白+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（-1,0）为圆心，1为半径的圆

4

上一点，连接PA,PB,则APAB面积的最小值是（）

A.5B.10C.15D.20

二、填空题（本大题共6小题，满分24分.只要求填写最后结果，每小题填对得4分）

13在实数范围内分解因式4加一16〃?

14.如图，半径为1cm,圆心角为90。的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面

积为,

OA

Yk

15.已知关于x的分式方程一7-2=一；有一个正数解，则k的取值范围为

x-3x—3

16.圆锥的底面周长为年，母线长为2,点尸是母线OA的中点，一根细绳（无弹性）从点尸绕圆锥侧面一

周回到点P,则细绳的最短长度为

17.在边长为2的正方形A8CD中，对角线AC与30相交于点O,尸是8。上一动点，过P作上户AC,

分别交正方形的两条边于点E，F.设=巫尸的面积为N，则y与x函数关系式为

18.如图，已知点A是双曲线y=，在第一象限的分支上的一个动点，连结A0并延长交另一分支于点B,

X

以AB为边作等边AABC,点C在第四象限.随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双

曲线y=—<k<0）上运动，则k的值是.

X

三、解答题（本大题共7小题，满分78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步

骤）.

19.先化简,再求值:

20.草莓是种老少皆宜的食品，深受市民欢迎.今年3月份，甲，乙两超市分别用3000元以相同的进价购进

质量相同的草莓.甲超市销售方案是：将草莓按大小分类包装销售，其中大草莓400千克，以进价的2倍价

格销售，剩下的小草莓以高于进价的10%销售.乙超市销售方案是：不将草募按大小分类，直接包装销售,

价格按甲超市大、小两种草莓售价的平均数定价.若两超市将草莓全部售完，其中甲超市获利2100元(其

他成本不计).

(1)草莓进价每千克多少元？

(2)乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算.

21.2018年湖南省进入高中学习的学生三年后将面对新高考，高考方案与高校招生政策都将有重大变化.某

部门为了了解政策的宣传情况，对某初级中学学生进行了随机抽样调查，根据学生对政策的了解程度由高

到低分为A,B,C,D四个等级，并对调查结果分析后绘制了如下两幅图不完整的统计图.请你根据图中提

供的信息完成下列问题：

(1)求被调查学生人数，并将条形统计图补充完整；

(2)求扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角的度数；

(3)已知该校有1500名学生，估计该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有多少人?

22.小明在课外研究中，设计如下题目：直线y=Ax+b过点A(6,o),5(0,3),直线y="+〃与曲线

y=3(*>0)交于点C(4,〃).

(1)求直线和曲线的关系式.(图1)

(2)小明发现曲线y=—(x>0)关于直线y=x对称，他把曲线y=—(x>0)与直线y=x的交点尸叫

XX

做曲线的顶点.(图2)

①直接写出P点的坐标；

②若点。从P点出发向上运动，运动到PO=PC时停止，求此时PC。的面积.

23.已知ABC中，AB=AC,ABAC=9Q°,D、E分别是AB、AC的中点，将ADE绕点A按顺

时针方向旋转一个角度。(0°＜。＜90。)得到△ADE,连接班＞、CE',如图1

(1)求证8D'=C£,

BF

(2)如图2,当a=60。时，设45与次，E'，交于点/，求——值.

FA

24.如图在平面直角坐标系中，一次函数y=2的图象与x轴交于点5,与＞轴交于点C,二次函数

丁=耳/+法+。的图象经过5,。两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点。在直线6c下方的二次函

(2)如图［,连接。C,DB，设8C。的面积为S,求S的最大值；

(3)如图2,过点。作于点M，是否存在点。，使得VCDM中的某个角恰好等于NA3C的

2倍？若存在，直接写出点。的横坐标；若不存在，请说明理由.

25.如图，AABC中，AB=BC,BD_LAC于点D,ZFAC=-ZABC,且NFAC在AC下方.点P,Q分别是

2

射线BD,射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ,过点P作PELCQ于

点E,连接DE.

（1）若NABC=60。，BP=AQ.

①如图1,当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；

②如图2,当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；

（2）若NABC=2a#60。，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使（1）中①的结论仍

然成立（用含a的三角函数表示）.

答案与解析

一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确

的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）

1.计算-V4-|-3|的结果是（）

A.-1B.-5C.1D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

原式利用算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值.

【详解】原式=-2-3=-5,

故选B.

【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

2.代数式JU+」一中x的取值范围在数轴上表示为

()

X—1

A--10f234B.-10f2

-1012F-4;>

c•,，，J，AD.

-101234

【答案】A

【解析】

【分析】

根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案.

【详解】由题意，得：3-x20且x-IWO,解得：xW3且xWl,在数轴上表示如图:

-10f234

故选A.

点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不能为零得出不等式是解题的关

键.

3.从棱长为2a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零

件的俯视图是（）

【答案】B

【解析】

【详解】解：俯视图是从上面往下看到的图形，从上面往下看到的是大正方形的左下角有一个小正方形,

故选B.

【点睛】本题考查几何体的三视图.

4.已知AB//CZ）,直线EF分别交AB、CD于点G、H,ZEGB=25°,将一个60°角的直角三角尺如图放置

（60°角的顶点与H重合），则NPHG等于（）

【答案】B

【解析】

【分析】

依据A8〃CD,可得/EHD=NEGB=25°,再根据NP/〃）=60°,即可得到结论.

【详解】,：AB//CD,：.ZEHD=ZEGB=25°.

X•/ZPHD=f>0°,：.ZPHG=60°-25°=35°.

故选B.

【点睛】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等.

5.某微生物的直径为0.000005035m,用科学记数法表示该数为（)

A.5.035x10-6B.50.35x10-5C.5.035xl06D.5.035x10-5

【答案】A

【解析】

试题分析：0.000005035m,用科学记数法表示该数为5.035x106,故选A.

考点：科学记数法一表示较小的数.

6.某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也

加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车

间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为

“23002300-23002300

A.-------+--------=33B.-----1-------

x1.3xxx+1.3x

/23004600”46002300

C.---------1-------------=33D.-----1-------

xx+1.3xxx+1.3x

【答案】B

【解析】

试题分析：因为设甲车间每天能加工x个，所以乙车间每天能加工1.3x个，由题意可得等量关系：甲乙两

车间生产2300件所用的时间+乙车间生产2300件所用的时间=33天,根据等量关系可列出方程:

翌+金”=33.故选B.

xx+1.3x

7.如图，AB±AC,AD±BC,垂足分别为A,D,则图中能表示点到直线距离的线段共有（）

A.2条B.3条C.4条D.5条

【答案】D

【解析】

试题分析：如图所示，根据点到直线的距离就是这个点到这条直线垂线段的长度，可知线段AB是点B到

AC的距离，线段CA是点C到AB的距离，线段AD是点A到BC的距离，线段BD是点B到AD的距离,

线段CD是点C到AD的距离，所以图中能表示点到直线距离的线段共有5条.故答案选D.

考点：点到直线的距离.

8.如图，已知。中直径AB=46，半径OCLA6,点。是半圆ACB的三等分点，点P是半径OC上

的动点，使PB+PD的值最小时，PO=()

A.1B.73C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

接PA.因为OCL直径AB,所以CO垂直平分AB.根据“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”得

PB+PD=PA+PD,根据“两点之间线段最短”可知，连接BD,与CO相交于P,则AD的长度即为PB+PD

的最小值.然后利用解直角三角形的知识求出PO的值即可.

【详解】连接PA,与CO相交于P,连接BD.

VOC±AB,

...CO垂直平分AB,

，PA=PB,

PB+PD=PA+PD,

根据“两点之间线段最短”可知，AD的长度即为PB+PD的最小值.

TAB为直径，

ZD=90°,

•••点。是半圆ACB的三等分点,

/.的度数为60°

.../A=30°,

PO

tan30°=—

AO

/.PO=AOtan30°=2&x±=2；

3

故答案为：C.

【点睛】此题将轴对称最短路程问题与圆和解直角三角形的问题相结合，即考查了对“两点之间线段最短”

的认识，又考查了对圆和直角三角形相关知识的理解，是一道好题

9.若关于X的一元二次方程一2%+励+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数

y=Ax+b的图象可能是:

【答案】B

【解析】

【详解】由方程V—2x+初+1=0有两个不相等的实数根，

可得=4—4（妨+l）X）,

解得即Ab异号,

当苏>0,K0时，一次函数卜=履+。的图象过一三四象限，

当kVO,bX）时，一次函数），=履+人的图象过一二四象限，故答案选B.

10.抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（-1,0）,B（3,0）,交y轴的负半轴于C,顶点为D.下列结论：

①2a+b=0；②2c<3b；③当m,l时，a+b<am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a='；⑤当

2

△ABC是等腰三角形时，a的值有3个.其中正确的有（）个.

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0),可知二次函数的对称轴

为x=(—1+3=1,BP--=1,可得2a与b的关系；将A、B两点代入可得c、b的关系；函数开口向下，

22a

x=l时取得最小值，则n#l,可判断③；根据图象AD=BD,顶点坐标，判断④；由图象知BC,AC,从而

可以判断⑤.

【详解】解：①•••二次函数与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0).

二次函数的对称轴为x=(I)+3,=1,BP--=1,

22a

2a+b=0.

故①正确；

②'・•二次函数y=ax?+bx+c与x轴交于点A(-1,0)>B(3,0).

a-b+c=0,9a+3b+c=0.

又,:b=-2a.

.*.3b=-6a,a-(-2a)+c=0.

.*.3b=-6a,2c=-6a.

A2c=3b.

故②错误；

③・・,抛物线开口向上，对称轴是x=L

・・・x=l时，二次函数有最小值.

/.m^l时，a+b+c<am2+bm+c.

即a+b<am2+bm.

故③正确；

@VAD=BD,AB=4,4ABD是等腰直角三角形.

/.AD2+BD2=42.

解得，AD2=8.

设点D坐标为(1,y).

则口-(-1)]2+y2=AD2.

解得y=±2.

•.•点D在x轴下方.

.♦.点D为(1,-2).

•.•二次函数的顶点D为(1,-2),过点A(-1,0).

设二次函数解析式为y=a(x-1)2-2.

.\0=a(-1-1)2-2.

解得a=1.

2

故④正确；

⑤由图象可得，AC/BC.

故AABC是等腰三角形时，a的值有2个.

故⑤错误.

故①③④正确，②⑤错误.

故选C.

【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的

思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

11.如图，正方形ABCO中，E为CO的中点，AE的垂直平分线分别交AO,8c及A3的延长线于点F，

G，连接HE，HC，8,连接CO并延长交AO于点则下列结论中:①FG=2AO；②。。HE；

③普=需；④2OE2=AHDE；尬GO+BH=HC.正确结论的个数有()

AMFn

H

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

①作辅助线，构建三角形全等，证明4ADE义ZXGKF,则FG=AE,可得FG=2AO；

②证明NHEA=NAED二NODE,OEWDE,则NDOEWNHEA,OD与HE不平行；

③设正方形ABCD的边长为2x,则AD=AB=2x,DE=EC=x,证明△ADEs/\HOA,得

〃八GAITg、iBH_T中4,曰AM一九1BHAM1

HO—y/5x9AH=—，所以--------，根据AR〃CD,倚----------=—，则----=-----二—

2CE2MD2x2CEMD2

AHA.E

△HAE^AODE,可得——=——，等量代换可得OE2=AH・DE；

ODDE

⑤分别计算HC、OG、BH的长，可得结论.

【详解】：①如图，过G作GKLAD于K,

AZGKF=90°,

・・•四边形ABCD是正方形，

AZADE=90°,AD=AB=GK,

・•・ZADE=ZGKF,

VAE±FH,

JZAOF=Z0AF+ZAFO=90°,

VZOAF+ZAED=90°,

AZAFO=ZAED,

Z.AADE^AGKF,

/.FG=AE,

・・,FH是AE的中垂线，

AAE=2AO,

.\FG=2A0,

故①正确；

②YFH是AE的中垂线，

，AH=EH,

，/HAE=NHEA,

VAB/7CD,

.".ZHAE=ZAED,

□△ADE中，；O是AE的中点，

OD=-AE=OE,

2

：./ODE=/AED,

/.ZHEA=ZAED=ZODE,

当NDOE=NHEA时，OD〃HE,

但AE>AD,即AE>CD,

.\OE>DE,即/DOEWNHEA,

，OD与HE不平行，

故②不正确；

③设正方形ABCD的边长为2x,贝UAD=AB=2x,DE=EC=x,

:•AE=&，AO=-^

2

易得△ADEs/^HOA,

.ADHO

••一,

DEAO

2x_HO

••xy/5x>

2

•••HO=45x>

为△AHO中，由勾股定理得：AH=

5xc1

；.BH=AH-AB=------2x=-x,

22

.BH_1

••,

CE2

延长CM、BA交于R,

；RA〃CE,

.,.ZARO=ZECO,

：AO=EO,ZROA=ZCOE,

/.△ARO^AECO,

；.AR=CE,

；AR〃CD,

.AMAR

"MDDC"

.AM_x

"HD~2JC~2'

.BHAM\

故③正确；

④由①知：NHAE=NAEH=/OED=NODE,

.,.△HAE^AODE,

.AHAE

"^D~~DE'

VAE=2OE,OD=OE,

.,.OE«2OE=AH«DE,

；.2OE2=AH・DE,

故④正确；

AE=2AO=OH=&,

DEOF_I

tan/EAD=——

AD~AO~2

；AO=旦,

2

•••OF^=—x

4

；FG=AE=MX，

・"匕小X3瓜

・・OG=75x------=------，

44

OG+B”=^^+L,

42

.♦.OG+BHWHC,

故⑤不正确；

本题正确的有；①③④，3个，

故答案：B.

【点睛】本题是相似三角形的判定与性质以及勾股定理、线段垂直平分线的性质、正方形的性质的综合应

用，正确作辅助线是关键，解答时证明三角形相似是难点

3

12.如图，直线y=-=x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C(-1,0)为圆心，1为半径的圆

4

上一点，连接PA,PB,则APAB面积的最小值是()

A.5B.10C.15D.20

【答案】A

【解析】

【分析】

作CH_LAB于，交。。于E、F.当点P与E重合时，△刑8的面积最小，求出£7/、AB的长即可解决问题

【详解】作CH_LAB于H交。。于E、F.连接8c.

".'S^ABC=-AB>CH=-AC'OB,:.AB・CH=AOOB,，5C4=(4+1)X3,解得：CH=3,：.EH=3-1=2.

22

当点P与E重合时，入阴〃的面积最小，最小值='x5X2=5.

2

故选A.

【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解

题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

二、填空题(本大题共6小题，满分24分.只要求填写最后结果，每小题填对得4分)

13.在实数范围内分解因式4根5一16m=

【答案】4MM+2)，〃+及)(

【解析】

【分析】

先提公因式4m,再根据平方差公式分解即可得出答案.

【详解】4m5-16m-4m(m4—22)

=+2)(/，—2)

=+一血卜

故答案为：(/〃2+2)，〃+0)(〃z-0).

【点睛】本题考查了分解因式(提公因式法和用平方差公式分解因式法)，熟悉分解因式的一般步骤是基本,

对公式的掌握是关键.

14.如图，半径为1cm,圆心角为90。的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面

积为.

OA

【答案】-cm2.

2

【解析】

【详解】解：过点C作CDLOB,CE10A,

VOB=OA,NAOB=90。，

.•.△AOB是等腰直角三角形，

VOA直径，

ZACO=90°,

...△AOC是等腰直角三角形，

VCE1OA,

；.OE=AE,OC=AC,

在RtAOCE与RtAACE中，

OC=AC

{，

OE=AE

：.RtAOCE^RtAACE(HL),

•S山彩OEC=Sia彩AEC,

•••OC与弦OC围成的弓形的面积等于AC与弦AC所围成的弓形面积，

同理可得，0C与弦OC围成的弓形的面积等于BC与弦BC所围成的弓形面积,

S阳彩=SAAOB=—x1x1=—cm2.

22

故答案为：-cm2.

2

【点睛】本题考查扇形面积的计算；等腰直角三角形的判定与性质.

v*k

15.己知关于x的分式方程一；-2=—^有一个正数解，则k的取值范围为

x-3x—3

【答案】k<6且k/3

【解析】

分析：根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，

可得答案，并注意分母不分零.

详解：—--2=上，

x—3x—3

方程两边都乘以(x-3),得

x=2(x-3)+k,

解得x=6-k#3,

Yk

关于X的方程程-—2=一匚有一个正数解，

x-3x-3

x=6-k>0,

k<6,且k#3,

；.k的取值范围是k<6且k/3.

故答案为kV6且后3.

点睛：本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k

的范围是解此题的关键.

16.圆锥的底面周长为亍，母线长为2,点P是母线0A的中点，一根细绳(无弹性)从点尸绕圆锥侧面一

周回到点P,则细绳的最短长度为.

【答案】1.

【解析】

解：如图，连接AA',：底面周长为二，...弧长=竺注=—,An=60°即

31803

ZAOA'=60°,ZA=60°,'：OA=OA',.'.△AOA，是等边三角形，：.AA'=2,:尸尸'是△OVT的中位线，

：,PP'=-AA'=\,故答案为1.

2

17.在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与80相交于点O，P是上一动点，过尸作成AC,

分别交正方形的两条边于点£,尸•设BP=x，庇下的面积为则丁与x函数关系式为

x2fo<x<V2j

［答案］y=L(L

-X2+2V2X(V2<X<2V2)

【解析】

【分析】

分析，EF与x的关系，他们的关系分两种情况，①当P在0B上时，当P在0D上时，分别求出解析式.

【详解】：•.•四边形ABCD是正方形，

:・AC=BD=2&OB=OD=LBD=6,

2

①当P在OB上时，即

EF/7AC,

.,.△BEF^ABAC,

AEF：AC=BP：OB,

・・・EF=2BP=2x,

/.y=—EF•BP=—x2xxx=x2；

*22

②当POD上时，即0Vx«2a，

VEF//AC,

AADEF^ADAC,

AEF：AC=DP：OD,

GPEF：2A/2=(2V2-X):夜，

:・EF=2(26-x)，

：.y=-EF^BP=-x2(2y/2-x)xx=-x2+2y/2x

22

x2(0<x<V2)

故答案为：y="

-x2+272x(V2<X<2A/2)

【点睛】此题的关键是利用三角形的面积公式列出二次函数解析式解决问题.分情况讨论是解题的关键.

18.如图，已知点A是双曲线y=，在第一象限的分支上的一个动点，连结A0并延长交另一分支于点B,

X

以AB为边作等边aABC,点C在第四象限.随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双

曲线y='（k<0）上运动，则k的值是.

【答案】-3

【解析】

【详解】解：；双曲线关于原点对称,

X

・••点A与点8关于原点对称.

：.OA=OB.

连接0C,如图所示.

・・,△ABC是等边三角形，。4=03,

AOCLAB.ZBAC=60°.

tanZOAC==6.

OA

JOC=y13OA.

过点A作轴，垂足为E,

过点C作轴，垂足为F,

VAE1OE,CF1OF,OCLOA,

：.ZAEO=ZOFC,ZA(9£=90°-ZFOC=ZOCF.

：.△AEOS^OFC.

.AE_EO_AO

**OF-7c_OC,

0C=y[30A,

：.OF=£AE,FC=V3EO.

设点A坐标为（a,b）,

•.•点A在第一象限，

:、AE=a,OE-h.

：.OF=43AE=yf3a,FC=^EO=#）b.

•.•点A在双曲线产,上，

x

/.ab=1.

:・FCOF=g/?•ga=3ab=3

设点C坐标为（x,y），

・・,点C在第四象限，

：.FC=x,OF=-y.

，FC・OF=x,（・y）=-xy=3.

/.xy=-6.

•.•点c在双曲线尸人上，

X

,\k=xy=-3.

故答案为：-3

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质、点与坐标之间的关系、特

殊角的三角函数值等知识，有一定的难度.由NAOC=90。联想到构造K型相似是解答本题的关键.

三、解答题（本大题共7小题，满分78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步

骤）.

19.先化简，再求值：三'—x+1,其中x=/一（/尸一卜一6|.

【答案】—,且

X+13

【解析】

【分析】

先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用二次根式性质、负整数指数累及绝对值性质计算出x

的值，最后代入计算可得.

2

【详解】原式=二一一（X-1）

X+1

_X2X2-1

X+1X+1

1

X+1

-^2-^3—2-（5/3—1）—25/3—2--^3+1=\/3-1）；♦原式=-广------—―1=―――-

V3-1+163

【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则.

20.草莓是种老少皆宜的食品，深受市民欢迎.今年3月份，甲，乙两超市分别用3000元以相同的进价购进

质量相同的草莓.甲超市销售方案是：将草莓按大小分类包装销售，其中大草莓400千克，以进价的2倍价

格销售，剩下的小草莓以高于进价的10%销售.乙超市销售方案是：不将草莓按大小分类，直接包装销售，

价格按甲超市大、小两种草莓售价的平均数定价.若两超市将草莓全部售完，其中甲超市获利2100元（其

他成本不计）.

（1）草莓进价为每千克多少元？

（2）乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算.

【答案】（1）草莓进价为每千克5元；（2）甲超市销售方式更合算.

【解析】

【分析】

（1）先设草莓进价为每千克x元，根据两超市将草莓全部售完，其中甲超市获利2100元列出方程，求出x

的值，再进行检验即可求出答案；

（2）根据（1）求出每个超市草莓总量，再根据大、小草藤售价分别为10元和5.5元，求出乙超市获利，

再与甲超市获利2100元相比较即可.

【详解】（1）设草莓进价为每千克X元.

由题意,得400》+10%«&^一4（）0）=2100,

解得x=5.

经检验x=5是原方程的根.

答：草莓进阶为每千克5元.

（2）由（1）知：每个超市草莓总量：卫?=600（千克）,

大、小草薄售价分别为10元和5.5元.

10+5.5।—

乙超市获利：600x--------5I=1650（兀）.

甲超市获利2100>1650，，甲超市销售方式更合算.

【点睛】此题考查了分式方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，根据两超市将苹果全部

售完，其中甲超市获利2100元列出方程，解方程时要注意检验.

21.2018年湖南省进入高中学习的学生三年后将面对新高考，高考方案与高校招生政策都将有重大变化.某

部门为了了解政策的宣传情况，对某初级中学学生进行了随机抽样调查，根据学生对政策的了解程度由高

到低分为A,B,C,D四个等级，并对调查结果分析后绘制了如下两幅图不完整的统计图.请你根据图中提

供的信息完成下列问题：

（1）求被调查学生的人数，并将条形统计图补充完整：

（2）求扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角的度数；

（3）已知该校有1500名学生，估计该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有多少人？

ABCD等级

【答案】（1）图见解析；（2）126°；（3）525.

【解析】

【分析】

（1）利用被调查学生的人数=了解程度达到B等的学生数+所占比例，即可得出被调查学生的人数，由了解

程度达到C等占到的比例可求出了解程度达到C等的学生数，再利用了解程度达到A等的学生数=被调查

学生的人数-了解程度达到B等的学生数-了解程度达到C等的学生数-了解程度达到D等的学生数可求出了

解程度达到A等的学生数，依此数据即可将条形统计图补充完整；

（2）根据A等对应的扇形圆心角的度数=了解程度达到A等的学生数+被调查学生的人数x360。，即可求出

结论；

（3）利用该校现有学生数x了解程度达到A等的学生所占比例，即可得出结论.

【详解】(1)48-?40%=120(人),

120xl5%=18(人)，

答：扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角为126。.

42

(3)1500x——=525(人).

120

答：该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有525人.

【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，观察条形统计图及扇形统计图，找出

各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键.

22.小明在课外研究中，设计如下题目：直线""过点A(6,0),3(0,3),直线y=h+b与曲线

j=—(x>0)交于点C(4,n).

(1)求直线和曲线的关系式.(图1)

(2)小明发现曲线y=—(x>0)关于直线y=x对称，他把曲线y=—(x>0)与直线y=x的交点尸叫

做曲线的顶点.(图2)

①直接写出P点的坐标；

②若点。从P点出发向上运动，运动到尸O=PC时停止，求此时PCD的面积.

।43

【答案】⑴y=--x+3,>=一；⑵①P(2,2),②&户8=；.

【解析】

【分析】

Q）把A（60）,B（0,3）代入y="+b,列出关于k和b的二元一次方程组，求出k和b的值，即可求出

直线了=丘+力的解析式，把点C（4,〃）代入直线解析式，求出n=l,把C（4,l）代入y=：（x>0）,即可

求出曲线的解析式.

f1°

y=——九+3）

•24

（2）列方程组〈/，方程组的解，即为P点的坐标，由曲线）,二一关于直线y=x对称，PD=PC,

4x

y=-

X

可得点C和点D关于y=x对称，解点D的坐标，通过做辅助线，分别过点D、点P、点C向x轴作垂线,

分别交x轴于点M、点N、点F,得到SAPCD=S梯形QMFC—S悌形DWNP-S梯形PNFC,求得PCD的面积.

【详解】（1）将点4（6,0）,5（0,3）的坐标代入y="+一

rf1

0=6k+bk=——

得：口，，解得｛2

9"[b=3

直线解析式为：y=—万工+3,

•.•直线y=—gx+3过点C（4,〃）

.•.把C点坐标代入>=-gx+3得，n=l,

••.C点坐标为（4,1）,

将C点坐标代入y=—（x>0）,解得m=4,

X

4

・・・曲线的关系式为：y=一.

x

4

（2）①,・,点P是曲线y=—与直线y二工的交点,

x

4

y——x=2x=-2

...得到方程组,X,解得,或<

y=2y=-2,

Vx>0,

.♦•P点的坐标为（2,2）

②分别过点D、点P、点C向x轴作垂线，分别交x轴于点M、点N、点F.

4

•.•曲线y=一关于直线y=x对称，

X

.•.当P£>=PC时，点c和点D关于y=x对称，

点D得坐标为（1,4）,

SAPCD=S梯形0,w.c-S怫形DMNP-S梯形P"-C

1113

=_x（4+l）x3--x（4+2）xl--x（2+l）x2=-,

••S^pcD=

【点睛】本题主要考查的是反比例函数和一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的

4

解析式和轴对称点的坐标求法，由曲线y=—关于直线丁=%对称，PD=PC时，得到点C和点D关于

x

y=x对称，求得点D得坐标是解题的关键.

23.已知A3C中，AB=AC,ABAC=90°,D、E分别是AB、AC的中点，将ADE绕点A按顺

时针方向旋转一个角度a（0°<a<90。）得到△AQ'F,连接3。'、CE',如图1

（1）求证3£）'=CE,

BF

（2）如图2,当a=6（）°时，设AB与以，E，交于点F，求一的值.

FA

图2

【答案】（1）见解析；（2）V3

【解析】

【分析】

（1）首先依据旋转的性质和中点的定义证明AD/=AE，然后再利用SAS证明BZX4也CE'A,再利用全

等三角形的性质即可得到答案；

（2）连接"，先证明是等边三角形.然后再证△A8。'为直角三角形，再证BF"AFE，

最后依据相似三角形的性质即可得出答案.

【详解】解：（1）证明：AB=AC,D，E分别是AB，AC的中点，

AD=BD=AE=EC

由旋转的性质可知：ZDAD'=NE4£'=a,AD'=AD,AE'=AE

••AD'=AF，

,1BD'A^CE'A,

BD'=CE'

(2)连接"

••"47=60。，AD=AD'

是等边三角形

ZADD'=NADZ>=60。，DD