初中数学 教学设计1：二元一次方程组 全市一等奖

第十章二元一次方程组本章总结提升（一）知识框架（二）重点难点突破回顾与思考1.什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程组？它们在生活中有哪些应用？2.解二元一次方程组有哪些方法？3.利用二元一次方程组解决生活实际问题的关键是什么？重点点拨（一）二元一次方程（组）及其解的概念含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.使一个二元一次方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做二元一次方程的解.二元一次方程的解有无数组.含有两个未知数的两个一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．我们把二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.（二）二元一次方程组的解法1.将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，从而消去一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法，称为代入消元法，简称代入法。2.把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法叫做加减消元法(eliminationbyadditionorsubtraction)，简称加减法。（三）利用二元一次方程组解决生活实际问题利用二元一次方程组解决生活实际问题就是将生活中的实际问题转化为数学问题，即列出二元一次方程组解决实际问题.难点突破（一）解二元一次方程组的基本思想方法了解解二元一次方程组的消元方法，经历从“二元”到“一元”的转化过程，从而体会消元的思想，以及把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的化归思想。（二）利用二元一次方程组解决生活实际问题能将生活中的实际问题转化为数学问题，即能列出二元一次方程组解决实际问题，其关键是找出题目中蕴涵的相等关系，并建立方程组求解.学习要求（1）要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，在平时的学习中，应该不断积累用方程思想解题的方法。（2）在交流和反思的过程中建立知识体系，体验学习数学的成就感。（3）列二元一次方程组的关键是能正确分析出题目中的等量关系，问题往往与生活实际相贴近，与社会关系的热点问题相联系，请平时注意搜集、观察与分析。整合拓展创新类型之一二元一次方程（组）及其解的概念问题1.二元一次方程（组）的概念例1若2x|m|+（m+1）y=3m-1是关于x、y的二元一次方程，则m的取值范围是（C）A、m≠－1 B、m=±1 C、m=1 D、m=0解析:根据二元一次方程的概念可得|m|=1,且m+1≠0，所以m=1,选C.变式题2方程是二元一次方程，是被污染的的系数，请你推断被污染的的系数的值可能是（C）A、不可能是B、不可能是C、不可能是1D、不可能是2.解析:根据等式的基本性质将原方程进行变形，未知数x的系数是-1，当其等于0，即1时，此方程只含有一个未知数，是一元一次方程，因此选C.例2下列方程组中，属于二元一次方程组的是 （D）A、 B、 C、 D、解析:本题考察对二元一次方程组的概念的理解.答案选D变式题写出一个以为解的二元一次方程组.解析:答案有无数种，如等.2.二元一次方程（组）的解的含义例3适合方程x+y=5且x、y绝对值都小于5的整数解有（C）B.3C解析:二元一次方程的解有无数组，本题用简单列举法:绝对值小于5的整数有9个,分别取x=－4,－3,－2,－1,0,1,2,3,4;再计算出对应的y的值,其中符合条件的解有4组.选C.变式题1若x+y=0,且|x|=2则y的值为（D）A0B2C－2D±2解析:因为|x|=2,所以x=±2,当x=2时,y=－2,当x=－2时,y=2,选D例4已知二元一次方程组的解是（B）A.B.C.D.解析:本题有两种解法：一种是将被选答案代入方程组，逐个验证；另一种是解方程组，求出其解.答案选B变式题1以为解的方程组是（C）A、B、C、D、解析:将代入各方程组中，能使某方程组的两个方程的左右两边的值都相等，则此方程组的解是.答案选C.变式题2在下列方程组中，只有一个解的是（C）（A）; （B）;（C）;（D）解析:观察各方程组的未知数的系数特征，将方程组A、B、D中的方程②两边都同时除以3，发现方程组A、B、D均无解，选C.类型之二二元一次方程组的解法1.代入法例5解方程组：解析:因为方程组中相同未知数表示同一个量，方程①中的y=2x,所以方程②中的2x可用y代替，这样，方程②转化成了关于y的一元一次方程.或将方程②中的y用2x代替，这样，方程②转化成了关于x的一元一次方程.解：将①代入②，得．解这个方程，得．将代入①，得．所以，原方程的解为点评：本题用代入消元法求解，充分体现了将“二元”转化为“一元”的消元思想.变式题解方程组解析:对于方程组中的②中,未知数x的系数为1,因此可以把②变形为x=13-4y,用代入法消去方程①中的未知数x,从而求出y的值.解:由②得，x=13-4y③把③代入①,得2(13-4y)+3y=16-5y=-10y=2把y=2代入③,得x=5所以原方程组的解是点评：本题运用代入消元法求解，需运用等式的基本性质将方程②变形为用含y的代数式表示x的形式.2.加减法例6.用加减法解下列方程组（1）解方程组（2）解方程组：解析:（1）方程组①式与②式中未知数y的系数互为相反数，将①式与②式相加，可消去其中一个未知数y,达到消元的目的.（2）观察方程组中两个未知数系数，发现y的系数成整倍数关系，则只需将①式两边同乘以2，则两个方程中y的系数互为相反数，将两式相加可消去“一元”，达到了消元的目的.解：（1）①+②得4x=8,解得x=2,将x=2代入②得,6+2y=8,解得y=1，所以原方程组的解是（2）①得：③②③得：11x=33,解得x=3把x=3代入①得：9-y=5,解得y=4.所以原方程组的解是点评：第（2）题也可用代入消元法求解.变式题1解方程组解析:未知数的系数没有绝对值为1的,也没有哪一个未知数的系数相同或成相反数或成整倍数关系,但观察发现,x的系数绝对值较小,因此,我们找到2和3的最小公倍数6,然后把①×3,②×2,便可将①、②的x的系数化为相同,这样通过相减就可以把未知数x消去.使“二元”转化为“一元”.解:①×3,得6x+9y=36③②×2,得6x+8y=34④③-④,得y=2将y=2代入①,得x=3所以原方程组的解是点评：求出方程组的解后，应将答案代入原方程组进行检验，并形成习惯.变式题2已知：关于的方程组为的值为（D）A、－1B、C、0D、1解析:认真观察此方程组的系数，发现只要用①-②，便可得到x-y=1,这里巧妙地运用加减消元法，则很顺利地得到正确答案.选D.点评：用代入法或加减法解二元一次方程组时,“代入”与“加减”的目的就是“消元”，化“二元”为“一元”.3.灵活消元例7.用适当方法解方程组解析：（1）将原方程组化简后再选择适当的方法求解；（2）观察方程组的特征，可将原方程组的两个方程分别去分母、去括号，转化为二元一次方程组的一般形式，再选用适当的方法求解；也可用整体代入法或加减法解题，也可用“换元法”求解.解：变式题1用适当方法解下列方程组（1）（2）解析:（1）观察发现，本题用代入法或加减法解题过程都比较繁琐，但若将①、②式相加或相减，则可简化系数，解题过程将被简化.（2）该题可先消常数，答到简化运算过程的目的.解：点评：灵活选择适当的方法可简化运算，同时可发展同学们的思维能力，提高解题速度.变式题2已知，则x-y=-5.解析:由①+②得3x+3y=15,x+y=5,由①-②得x-y=-1,x-y=(x+y)(x-y)=-5.点评：代入法和加减法这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”，把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化为“已知”的重要数学思想。类型之三二元一次方程组的综合应用1.构造二元一次方程组解决问题例8.已知|3x+y–2|+(2x+3y+1)=0,求x、y的值。解析：绝对值有非负性质（即不是负数），完全平方也有非负性质，如果两个非负数相加为0，那么每一个数必须是0，于是可得到：3x+y–2=0；2x+3y+1=0.把它们组成方程组，再解方程组即可得到x、y的值。解：由绝对值及完全平方的非负性质得即由①得y=-3x+2.③把③代入②，2x+3(-3x+2)=-1,解得x=1,把x=1代入③，得y=-1.所以x=1，y=-1。点评：本题是根据两个非负数和为0，那么这两个数都为0，把原来的一个等式转化为两个方程，再组合成一个方程组，从而解决问题.这种转化的方法要注意体会.变式题已知5+|x+y-3|+(x–2y)=5,则（C）ABCD答案：C例9.已知与都是方程y=kx+b的解，则k与b的值为（A）（A），b=-4; （B），b=4;（C），b=4;（D），b=-4解析：根据题意可得方程组解得，b=-4; 因此选A变式题已知与是同类项.则s+t=5.解析：根据同类项的定义，可列出方程组为解这个方程组得t=2,s=3,所以t+s=5.点评：将已知条件转化成解二元一次方程组问题，可解决求值问题.2.应用二元一次方程组求待定系数或代数式的值例10.若二元一次方程组的解满足方程.则k=.解析：将k当作常数，解关于x、y的二元一次方程组，用k表示，再代入，求出k的值．①+②得,4x=12k,解得x=3k,把x=3k代入①得，y=-k,把x=3k,y=-k,代入方程中得，k+2k=5,解得.变式题1若方程组有无穷多解，则3ax+1=b的解是.解析：此方程组可通过加减消元法，转化为关于x的一元一次方程（其中a、b当成已知常数），形如Ax=B，当A=0，且B=0时，此方程有无穷多解，则方程组有无穷多解.①+②得(1+a)x=2-3b,根据题意得1+a=0，且2-3b=0,所以a=-1,b=,代入方程3ax+1=b中得，-3x+1=,解得x=.点评：把已知条件转化为能够直接应用的关系，是解题的关键.一般来说，一个相等关系通常只能求出一个未知数的值.要求出两个未知数的值，需要两个相等关系，这一点在今后的学习中逐步能体会到.类型之四用方程组解决生活实际问题1.用方程组解决简单实际问题例11根据题意列方程组:开学报到时小刚带了新版人民币50元和10元共12张240元准备交代办费,求小刚携带50元和10元的人民币各几张?【思路分析】问题中包含的两个相等关系为：新版人民币50元张数+10元张数=12张；新版人民币50元总价值+10元总价值=240元解:设小刚带50元的人民币x张,带10的人民币y张,根据题意列方程组得点评列二元一次方程组的关键是找出问题中蕴涵的相等关系.变式题1小芳买了35张贺卡,共花了50元钱,其中大贺卡每张2元,小贺卡每张1元,小芳买大、小贺卡各多少张?【思路分析】设买大贺卡x张,小贺卡y张,则大贺卡总价值2x元,小贺卡总价值y元，相等关系为：大贺卡张数+小贺卡张数=35张,大贺卡总价+小贺卡总价=50元.解:设买大贺卡x张,小贺卡y张,根据题意列方程组得,解这个方程组得.答:买大贺卡15卡,小贺卡20张.点评理解题意找出相等关系是解决问题的关键.变式题2七年级(2)班的一个综合实践活动小组去A、B两个超市调查去年和今年“五一”节期间的销售情况。下图是调查后小敏与其他两位进行交流的情景，请你根据他们的对话，分别求出A、B两个超市今年“五一”节期间的销售额.【思路分析】分析三个同学的对话，从中发现问题中的已知量、未知量及相等关系.解：设A、B两个超市去年“五一”节期间的销售额分别为x、y万元.根据题意列方程组得解这个方程组得.=115,=55.答：A、B两个超市今年“五一”节期间的销售额分别为115万元、55万元.点评：本题图文并茂，需认真审题，设间接未知数可使问题简化.2.运用列表法分析问题、解决问题例12为响应承办“绿色奥运”的号召，某中学初三（2）班计划组织部分同学义务植树180棵，由于同学们参与的积极性很高，实际参加植树活动的人数比原计划增加了50%，结果每人比原计划少栽了2棵树，问实际有多少人参加了这次植树活动？【思路分析】本题可通过列表来表示植树活动的有关数量.每人植树棵数人数植树总棵数原计划xy180实际x-2180根据每人植树棵数×人数=植树总棵数,可列出两个方程.解：设原计划每人植树x棵，原计划参加人数为y人，则实际参加人数为人.根据题意列方程组得将xy当成一个整体，把①代入②得y=30,则=45.答：实际有45人参加了这次植树活动.点评：运用整体代入法是解此特殊方程组的关键.变式题1甲桶装水49升，乙桶装水56升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶装满后，乙桶剩下得水恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的，求这两个水桶的容量.【思路分析】本题可以通过列表来表示前后两桶水的变化。（1）乙桶倒给甲桶.容量原有水量变化结果甲x49+(x—49)x乙y56—（x—49)56—（x—49)=105—x此时相等关系为：乙桶剩下的水量=×乙桶的容量。（2）甲桶倒给乙桶。容量原有水量变化结果甲x49—(y—56)49—（y—49)=105—y乙y56+（y—56)y此时相等关系为：甲桶剩下的水量=×甲桶的容量。解：设甲桶的容量时x升，乙桶的容量时y升。根据题意列方程组得解得答：甲桶的容量是63升，乙桶的容量是84升。点评：有些题目中，数量之间的关系不够明显，有时还有变化，为了弄清题意，理顺数量之间的关系，需要通过设计一些表格来帮助我们解题。如本例中，分析时用了较大的篇幅，花了一定的时间，但到实际解题时却显得很简便。变式题2水源透支问题令人担忧，节约用水迫在眉睫。针对居民用水浪费现象，某城市规定了居民每月每户用水8m,超标部分加价收费。某户居民连续两个月的用水和水费分别为12m，22元；10m，元，试求该户居民每户每月用水收费标准。【思路分析】若设不超过8m的水的单价为x元/m，超过8m的水的单价是y元/m，通过下面表格理顺各个量的关系。不超过8m的水费/元超过8m的水费/元用水费/元第一个月8x（12—8）y22第二个月8x（10—8）y解答：设不超过8m的水的单价为x元/m，超过8m的水的单价是y元/m。根据题意列方程组得解方程组得答：该户居民每户每月用水收费标准是：不超过8m的水的单价为元/m，超过8m的水的单价是元/m。点评：列表可以帮助我们尽快地理解题意，我们在解题时，不要怕麻烦，分析问题的能力会逐渐提高。3.运用画示意图法分析问题、解决问题例13一列匀速行驶的火车通过一座160米长的铁路桥用了30秒，若它以同样的速度穿过一段200米长的隧道用了32秒，求这列火车的速度和长度.【思路分析】本题可通过画线段图来表示有关量的数量关系，火车在通过铁路桥时，从车头上桥到车尾出桥历时30秒，火车所行驶的路程是桥长与火车长的和；同理，它穿过一段200米长的隧道用了32秒，其所行驶的路程是隧道长与火车长的和.若设火车速度是xm/s,火车长为ym,其示意图如下所示：解：设火车速度是xm/s,火车长为ym,根据题意列方程组得解方程组得答：火车速度是20m/s,火车长为440m.点评：有关速度、时间及路程的问题，一般情况下可通过画直线型示意图帮助理解题意，这充分运用了数形结合的思想方法.变式题1.汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误30分钟到达；若每分钟行驶50千米，那就可以提前30分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间.【思路分析】本题可通过画线段图来表示有关量的数量关系，找到相等关系.设甲、乙两地之间的距离为x千米，原计划行驶的时间是y小时.可画出示意图，发现相等关系.解：设甲、乙两地之间的距离为x千米，根据题意列方程组得解方程组得答：甲、乙两地之间的距离为450千米，原计划行驶的时间是小时.点评：如果不画线段图也能发现相等关系，则不必画线段图.在解题时注意单位统一.中考名题欣赏例1.请写出一个以为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：①由两个二元一次方程组成，②方程组的解为这样的方程组可以是．解析：本题结论开放，答案不唯一，如：例2二元一次方程组的解是（D）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．解析：本题考查二元一次方程组的解法及二元一次方程组的解的含义.有两种方法：一种是解方程组，求出其解；另一种是将被选答案代入方程组，逐个验证.答案选Ｄ.例3.解方程组解法一：由①，得．③把③代入②，得．解得．把代入③，得．所以原方程组的解是解法二：②①，得，解得y=2．把代入①，解得．所以原方程组的解为解法三：由①②，并整理，得．③由①②，得．④由③④，并整理，得．把代③，得．所以原方程组的解为点评：本题可运用代入法或加减法或简化系数法求解，每一种方法的目的都是“消元”，化“二元”为“一元”.例4.已知二元一次方程：（1）；（2）；（3）．请从这三个方程中选择你喜欢的两个方程，组成一个方程组，并求出这个方程组的解．解：选择（1）和（2）组成方程组.①＋②得：，．把代入①，得．所以原方程组的解是点评：（1）与（3）组成的方程组的解为；（2）与（3）组成的方程组的解为．例5.已知方程组的解为，则的值为（B）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．点评：本题考查学生对方程组的解的含义的理解及二元一次方程组的解法，将原方程组转化为关于a、b的二元一次方程组，并解此方程组，从而求出a、b的值.答案：Ｂ例6.若方程，和有公共解，则的取值为1．解析：题中3个方程有公共解，即3个方程中的未知数x、y分别表示相同的取值，所以，可将第1、2个方程组成方程组求出x、y的值，再代入第3个方程求出m的值.m=1.例7小刘同学用10元钱购买两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元．设1元的贺卡为张，2元的贺卡为张，那么所适合的一个方程组是（D）A． B． C． D．解析：分析题意发现两个相等关系为：大贺卡张数+小贺卡张数=8张,大贺卡总价格+小贺卡总价格=10元.答案选D.例8国家为九年义务教育期间的学生实行“两免一补”政策，下表是我市某中学国家免费提供教科书补助的部分情况．年年级项目七八九合计每人免费补助金额（元）1109050人数（人）80300免费补助总金额（元）400026200如果要知道空白处的数据，可设七年级的人数为，八年级的人数为，根据题意列出方程组为（D）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．解析：将上面表格填充完整，即可发现两个相等关系，从而发现正确答案.选D.例9下图是一个正方体的展开图，标注了字母“”的面是正方体的正面．如果正方体相对两个面上的代数式的值相等，求的值．解析：根据图形提供的信息可知：标有2x-5的面与标有y的面相对，标有5-x的面与标有y+1的面相对，因此可列出方程组求解.解：根据题意，得解方程组，得，例10某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？共计145元共计145元共计280元解析：设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为元和元．根据图形提供的信息可知：一盒“福娃”玩具价格+两枚徽章的价格=145元；两盒“福娃”玩具价格+三枚徽章的价格=280元.解：设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为元和元．根据题意列方程组，得解这个方程组，得答：一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为元和元．点评：本题图文并茂，根据图形提供的信息可发现问题中的两个相等关系，列二元一次方程组解决问题.例11市政府根据社会需要，对自来水价格举行了听证会，决定从今年4月份起对自来水价格进行调整．调整后生活用水价格的部分信息如下表：用水量（m3）单价（元/m3）5m3以内（包括25mx已知5月份小晶家和小磊家分别交水费19元、31元，且小磊家的用水量是小晶家的用水量的倍．请你通过上述信息，求出表中的x.解析：由小晶家和小磊家所交的水费可知，他们两家用水量都超过5m3，而且用水量不知，因此我们先设小晶家5月份用水ym3，则小磊家5月份用水m3不超过5m的水费超过5m的水费总水费小晶家10x(y-5)19小磊家10x31发现两个相等关系为:小晶家不超过5m的水费+超过5m的水费=19元;小磊家5月份不超过5m的水费+超过5m的水费=31元.解：设小晶家5月份用水ym3，则小磊家5月份用水m3.根据题意可列方程组，这是一个关于xy和x的二元一次方程组，可以解得，进而解得。点评将方程组化简后，把xy当成一个整体，解关于xy和x的二元一次方程组.例12某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1