初中数学 导学案：多边形的内角和与外角和 全市一等奖

多边形内角和与外角和（3）学习目标：探索多边形的外角和公式，并会用公式解决问题.学习过程：一、认识多边形的外角、多边形的外角和1．ABBCEFD图1如图1，DF是边CD的延长线，ABBCEFD图1在多边形的每个顶点处分别取这个多边形的个外角，这些外角的和叫做这个多边形的外角和.2.阅读课本第32页“做一做”.(1)如图2，∠α、∠β、∠γ是△ABC的三个外角，这三个角的和就是三角形的外角和.下面探求∠α+∠β+∠γ=?AABCαβγ123图2因为∠1+∠=180°①，（平角定义）∠2+∠=180°②，（平角定义）∠3+∠=180°③，（平角定义）①+②+③，得，∠1+∠+∠2+∠+∠3+∠=3×180°.又因为∠1+∠2+∠3=180°，（三角形的内角和等于180°）所以∠α+∠β+∠γ=.BACBACD1234αβγδ图3三角形的外角和等于360°．(2)如图3，∠α、∠β、∠γ、∠δ是四边形ABCD的4个外角，这4个角的和就是四边形的外角和.四边形的外角和等于多少呢？因为∠1+∠=180°①，∠2+∠=180°②，∠3+∠=180°③，∠3+∠=180°④，①+②+③+④，得，∠1+∠+∠2+∠+∠3+∠+∠4+∠=4×180°又因为∠1+∠2+∠3+∠4=°，（四边形的内角和等于°）所以∠α+∠β+∠γ+∠δ=.结论2：四边形的外角和等于°．(3)设n边形的n个内角分别是∠1、∠2、∠3、…∠n，与这些内角分别相邻的一个外角分别是∠α1、∠α2、∠α3、…∠αn.因为∠1+∠α1=180°，∠2+∠α2=180°，∠3+∠α3=180°，…∠n+∠αn=180°,将这n个式子相加，得∠1+∠α1+∠2+∠α2+∠3+∠α3+…+∠n+∠αn=n180°.又因为∠1+∠2+∠3+…+∠n=(n2)180°,所以∠α1+∠α2+∠α3+…+∠αn=n180°(n2)180°,即∠α1+∠α2+∠α3+…+∠αn=360°.结论：n边形的外角和等于360°.即任意多边形的外角和等于360°.二、解决问题：1.一个多边形的每一个外角都等于30°,这个多边形的边数是_____.2.已知一个多边形的内角和与外角和共2160°，求这个多边形的边数.解：设.根据题意，得三、分类讨论“剪去五边形一个角”阅读课本第33页“议一议”.将五边形剪去一个角，分3种情况：(1)如图4，剩下的多边形ABCDGE为边形，它的内角和为，外角和为；(2)如图5，剩下的多边形ABCDF为边形，它的内角和为，外角和为；(3)如图6，剩下的多边形ABCD为边形，它的内角和为，外角和为.图4图5图6A图4图5图6ABCD图7四、探究三角形外角和的其他方法如图7，过点A作AD∥BC.你能根据图7，说明三角形的外角和等于360°吗？课外练习一、选择题（每题4分，共20分）1．五边形的内角和是（）A．720° B．540° C．360° D．180° 2．已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形3．(2009年武汉)如图1，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠DCO的大小是（）A．70° B．110° C．140° D．150°4．（2010年广西柳州）一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为（）A．9B．8C．7D．5．（2010年四川省自贡）一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A．10B．11C．12 D二、填空题（每题4分，共20分）6．（2010湖南株洲）已知一个边形的内角和是1080° ，则=．7．（2010福建莆田）一个n边形的内角和是720°，则n＝___________.8．一个多边形共有5条对角线，则这个多边形是_____边形，其内角和为_________°．9．多边形的边数每增加1，其内角和就增加__________°．10．一个正多边形的每内角都等于等边三角形的一个角的2倍，这个多边形的边数是_____．三、解答题（共60分）11．（8分）求10边形的内角和的度数．12．（8分）几边形的内角和是1800°？13．（8分）已知两个多边形的内角和是1800°，且这两个多边形的边数之比为2∶5，求这两个多边形的边数．14．（8分）若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2006°，则这个内角是多少度？此多边形的边数是多少？15．（8分）如图2，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的值．图图216．（10分）某机器零件的横截面如图3所示，按要求线段AB和线段DC的延长线相交成直角才算合格，一工人测得∠A＝23°，∠D＝31°，∠AED＝143°，请你帮他判断该零件是否合格，并说明理由．图图317．（10分）如图4所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与F重合，试判断∠1＋∠2与2∠A的大小关系，并说明理由．图图4答案1．B2．D3．D4．D5．D6．87．68．5，5409．18010．611．解：10边形的内角和的度数为(10－2)·180°＝1440°．12．解：设多边形的边数为n，则有(n－2)·180°＝1800°，解得n＝12，故12边形的内角和是1800°．13．解：设这两个多边形的边数分别为2n、5n，由题意得(2n－2)×180＋(5n－2)×180＝1800，解得n＝2，则2n＝4，5n＝10．答：这两个多边形分别是四边形与十边形．14．解：设这个多边形的边数为n，除去的这个内角为x°（0＜x＜180），图2由题意得(n－2)·180°－x°＝图2化简，得x＝180n－2366∵0＜x＜180∴0＜180n－2366＜180，解得＜n＜∵n是整数∴n＝14，从而x＝180n－2366＝180×14－2366＝2520－2366＝154°．答：除去的这个内角是154°，这是14边形．15．解：如图2，连接CD，则∠E＋∠F＝∠ODC＋∠OCD，故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝∠A＋∠B＋∠BCD＋∠CDA＝360°．16.解：该零件不合格，理由如下：如图，延长AB、DC相交于点F，延长DE交AB于点G．∵∠AED＝∠A＋∠AGE，∠AGE＝∠D＋∠F，∴∠AED＝∠A＋∠F＋∠D∵∠A＝23°，∠D＝31°，∠AED＝143°∴∠F＝∠AED－∠A－∠D＝143°－23°－31°＝89°≠90°∴该零件不合格．17.解：方法一：∠1＋∠2＝2∠A，理由如下：连接AF，则∠1＝∠EAF＋∠EFA，∠2＝∠DAF＋∠DFA，∴∠1＋∠2＝∠EAF＋∠EFA＋∠DAF＋∠DFA＝∠EAD＋∠EFD由折叠可