2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)专题01集合

专题01集合

【考点预测】

1、元素与集合

（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：€和金.

（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图图）.

（4）常见数集和数学符号

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N.ZQR

说明：

①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个

元素在不在这个集合中就确定了.给定集合A={1,2,3,4,5），可知1eA,在该集合中，6定A,

不在该集合中；

②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的：也就是说，集合中的元素是不重复出现的.

集合A={a,b,c}应满足

③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合A={1,2,3,4,5}和8={1,3,5,2,4）是同

一个集合.

④列举法

把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{”括起来表示集合的方法叫做列举法.

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.

具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再

画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

2、集合间的基本关系

（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集

合6中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合8的子集，记作

（或Bn,读作“A包含于8”（或"3包含A”）.

（2）真子集（propersubset）：如果集合但存在元素xe8,且xeA,我们称集

合A是集合B的真子集，记作4。8（或8读作“A真包含于8”或"8真包含A

（3）相等：如果集合A是集合8的子集且集合B是集合A的子集,

此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此,集合A与集合B相等，记作A=B.（4）

空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作0；0是任何集合的子集，是任

何非空集合的真子集.

3、集合的基本运算

（1）交集：一般地，由属于集合A且属于集合8的所有元素组成的集合，称为A与3的

交集，记作APIS,即An8={x|xeA,一旦xwB}.

（2）并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合8的元素组成的集合，称为A与8的

并集，记作AUB,即AUB={x|xeA,或xeB}.

（3）补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A

相对于全集。的补集，简称为集合A的补集，记作G/A，即=且％史4}.

4、集合的运算性质

（1）ADA=A,AD0=0，AA5=SAA.

（2）AUA=A,AU0=A，AU3=BUA.

（3）An（C。A）=0,AU（C"）=U,Cu（CuA）=A.

【方法技巧与总结】

（1）若有限集A中有〃个元素，则A的子集有2"个，真子集有2"-1个，非空子集有2"-1

个，非空真子集有2"-2个.

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合8的真子集.

⑶AC\B=AoA\jB=BoCuB^CuA.

（4）Cu（AnB）=（CuA）U（4B）,Cu（AUB）=（CuA）n（C*）.

【题型归纳目录】

题型一：集合的表示

题型二：集合元素的特征

题型三：集合的关系

题型四：集合的运算

题型五：集合与排列组合

题型六：新定义

【题型一】集合的表示

【典例例题】

例1.（2022.安徽・芜湖一中三檄理））已知集合4=1,2<4},集合8=且1"},

贝回（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}

【答案】C

【解析】

【分析】

化简集合A,根据集合B中元素的性质求出集合B.

【详解】

VA=1x|x244}=[-2,2],8={x[xeN*ILr-1eA},

故选：C

【方法技巧与总结】

1.列举法，注意元素互异性和无序性

2.描述法，注意准确理解集合元素，能理解不同符号的元素

例2.（2022•山东聊城•二模）已知集合A={0,1,2},B={ab\asA,b^A],则集合8中元素

个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

由列举法列出集合8的所有元素，即可判断；

【详解】

解：因为4={0,1,2},aeA,beA,所以必=0或出?=1或粗?=2或"=4,

故3={/aeAbeA}={0,1,2,4},即集合B中含有4个元素：

故选：C

例3.（2022・安徽•寿县第一中学高三阶段练习（理））设集合A={x|V—》一6<0,xeZ）,

B={y|y=ln（W+l）,xeA},则集合8中元素个数为（）

A.2B.3C.4D.无数个

【答案】B【解析】【分析】

先解出集合A,再按照对数的运算求出集合5,即可求解.

【详解】

由f-x—6<0,解得一2Vx<3,故4={-1,（）,1,2},

In[（-Ip+1]=ln（l2+l）=ln2,ln（02+l）=0,ln（22+1）=In5,

故3={ln2,0,ln5},集合8中元素个数为3.

故选：B.

例4.（2022・湖南・岳阳一中一模）定义集合A8的一种运算:

4<8>8={幻了=°2-瓦0€4&5},若4={-1,0},5={1,2},则中的元素个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据集合的新定义确定集合中的元素.

【详解】

因为40B={x|x=/-6,aee8},A={-1,0},B={1,2},

所以4®B={0,-1,-2},

故集合A88中的元素个数为3,

故选：C.

例5.(2022•山东济南•二模)已知集合人={1,2},3={2,4},C={z\z=xy,xGA,yGB],

则C中元素的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意写出集合C的元素，可得答案.

【详解】

由题意，当x=l时，z=x>=1,当x=2,y=2时，z=xy=4,

当x=2,》=4时，z=xy=16,

即。中有三个元素,

故选：C

例6.(2022・全国•高三专题练习)用C(A)表示非空集合A中元素的个数，定义

C(A)-C(B),C(A)>C(B)

A*B=已知集合4=5|/+》=0},

C(B)—C(A),C(A)<C(3)'

B={x|(x2+ax)(x2+ax+l)=0},且A*8=1,设实数〃的所有可能取值构成集合S,则

C(S)=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

根据条件可得集合8要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.

【详解】

由A={x|f+x=O},可得A={-1,O}

因为(/+奴)(/+奴+1)=0等价于x?+ax-0或/+以+1=0,

\\.A={-],O},A*B=],所以集合B要么是单元素集，要么是三元素集.

(1)若5是单元素集，则方程丁+双=0有两个相等实数根，方程/+奴+1=0无实数根，

故a=0；

(2)若B是三元素集，则方程f+ax=O有两个不相等实数根，方程/+以+1=0有两个

相等且异于方程*2+以=0的实数根，即4=0na=±2且aNO.

综上所求4=0或。=±2,即S={0,—2,2},故C(5)=3,

故选：D.

【点睛】

关键点睛：本题以A*3这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想

的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合5要么是单元素集，要么是三元素集，即

方程方程/+奴=0与方程/+如+i=o的实根的个数情况，属于中档题.

【题型二】集合元素的特征

【典例例题】

例7.(2022•重庆南开中学模拟预测)已知集合4={-1,0,1},B={a+b\a&A,b&A\,则集

合8=()

A.{-1,1}B.{-1,0,1}C.{-2-1,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

【答案】D

【解析】

【分析】

根据A={T,O,1}求解8={a+@aeA/€A}即可[详解]

由题，当aeA,eA时。+匕最小为(―1)+(—1)=—2,最大为1+1=2,目一可得

(-1)+0=-1,0+0=0,0+1=1,故集合8={-2,—1,0,1,2}

故选：D

【方法技巧与总结】

1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。

2.研究两(多个)集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。

例8.(2022•全国•高三专题练习)已知集合4={。,)，)|/+»243,彳€乙＞€2},则A中元素

的个数为()

A.9B.8C.5D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

根据x,y满足的关系式求得x,y的可能值，从而求得集合元素个数.

【详解】

由厂+y~43,得—^3wxw乖＞,-乖＞-y-，

XxeZ,yeZ,所以X£{-1,0,1},yG{-1,0,1）,

易知Ix与y的任意组合均满足条件，所以A中元素的个数为3x3=9.

故选：A.

例9.（2022••模拟预测（理））已知集合4=卜k2-5》£0},B={x\x=2k-l,keZ},则AflB

中元素的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

解不等式求出A={x|04x45},从而得到不等式组，求出上的值，进而得到AQB中的元素，

求出答案.

【详解】

山f-5x40得：（）4x45,所以A={X|04X45},^B=[^x=2k-\,k&Z],令0＜2々一145,

解得：k&Z,当&=1时，x=l,当k=2时，x=3,当々=3时，x=5,故Ap|8

中元素的个数为3.

故选：B例10.（2022.福建.模拟预测）设集合A={-2,-1,1,2,3},B={y|y=log,|x|,xeA},

则集合8元素的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据集合B的描述，结合对数函数性质列举出元素即可.

【详解】

当％=±2时，y=1；

当％=±1时，y=0；

当x=3时，y=log23.

故集合8共有3个元素.

故选：B.

f尤2x<0

例11.(2022•全国•高三专题练习)函数/(x)=，：一八，则集合"""(切=0}元

[4sinx,0<x<^-

素的个数有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】D

【解析】

【分析】

根据分段函数/(X)解析式，结合集合元素要满足的性质/[/(x)]=0,通过分类讨论求所

有满足条件的x的值，进而确定集合中元素的个数.

【详解】

当x40时，f(x)-x2-0,解得x=0,

当0vx4万时，若/(x)=4sinx=0,解得x="，

当xWO时，^f(x)-x2-71,解得x=-6，

当0cxM万时，若/(x)=4sinx=万，贝!]sinx=(,解得x=arcsin?或万一arcsin?.

又•••儿〃切=0

,y(x)=o或〃力=乃

》=0或》=万或x=-6ng%=arcsin—ng%-arcsin—.

44

集合{x|/[〃x)]=0}元素的个数有5个.故选：D.

例12.(2022・上海民办南模中学高三阶段练习)若ae{-l,3,/},则实数。的取值集合为

【答案】{0,1,3}

【解析】

【分析】

根据元素的确定性和互异性可求实数a的取值.

【详解】

因为a€{-1,3,/},故4=一1或°=3或4="3,

当。=-1时，/=_1,与元素的互异性矛盾，舍；

当〃=3时，=27,符合；

当时，4=0或。=±1,根据元素的互异性，4=0,1符合，

故a的取值集合为{0,1,3}.

故答案为:{0,1,3}

【题型三】集合的关系

【典例例题】

例13.（2022•江苏南京•高三开学考试）已知集合4={x|2,412},则Af^N的子集个数为（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】C

【解析】

【分析】

求出A「N={0,1,2,3},即得解.

【详解】

log=12

解：由题得2*412=2„-.x<log212.

因为log28<log212<log216,/.3<log212<4.

所以AnN={0,l,2,3}.

所以AAN的子集个数为2,=16个.

故选：C

【方法技巧与总结】

1.注意子集和真子集的区别和练习2.判断集合之间的关系：

（1）定义判断

（2）数形结合判断

例14.（2022•四川攀枝花•三模（理））设集合4={小>a},B=k,-3x+2>0},若

则实数a的取值范围是（）.

A.（-«,1）B.

C.（2,+oo）D.[2,+oo）

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出集合B,再山A=B求出实数。的范围.

【详解】

B=卜,-3x+2>0}={x|x>2或x<1}.

因为集合A={x|x>a},AuB,所以a22.

故选：D

例15.（2022•全国•高三专题练习）若集合A={xe7v|x<V2022）,实数a满足卜卜一底小=1卜

则下列结论正确的是（）

A.{a}cAB.a^AC.{a}eAD.aiA

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意得a=2G，再根据元素与集合，集合与集合关系求解即可.

【详解】

解：因为2"~我+|2=1，所以/-46“+12=0，解得4=26，

因为4=卜€昨4J2022},

所以aeA.所以{a}^A,a=A,{4}eA均为错误表述.

故选：D

beR,若集合卜,，［}={〃,a+40},则

例16.（2022・浙江•高三专题练习）已知aeR

“239+产9的值为（）

A.—2B.-1C.1D.2【答案】B

【解析】

除。

本题可根据卜,，/}={/，q+40}得出，a=a+

b,然后通过计算以及元素的互异性得出。、

b的值，即可得出结果.

【详解】

因为",，/}={/,°+6,0},

也=0

afZ?=0f/?=0

所以=〃+解得《或〈,

.\a=\kz=-1

当。=1时，不满足集合元素的互异性,

故a=_l,6=0,“刈9+。刈9=（一1）2。|9+099=一1,

故选：B.

【点睛】

易错点睛:通过集合相等求参数时，要注意求出参数后，检验集合中的元素是否满足互异性，

考查计算能力，是中档题.

（多选题）例17.（2022•全国・高三专题练习）已知集合人={乂以2+2x+a=0MeR},若

集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据条件可知集合A中仅有一个元素，由此分析方程⑪2+2x+a=0为一元一次方程、一元

二次方程的情况，从而求解出。的值.

【详解】

因为集合A仅有2个子集，所以集合A中仅有一个元素，

当。=0时，2x=0,所以x=0,所以A={0},满足要求；

当时，因为集合人中仅有-一个元素，所以△=4-4〃=0，所以a=±l,此时A={1}或

A={—1},满足要求，故选：BCD.

例18.（2022•浙江•高三专题练习）设集合A={x|-34xW2},8={》限一1VxV2Z+1},且AR

B,则实数k的取值范围是（写成集合形式）.

【答案］伏1%<-2或一24及43}

【解析】

【分析】

由B14知，集合8为A的非空子集或空集，列出满足的包含关系，求得々的范围.

【详解】

由BaA知，集合8为A的非空子集或空集，

>-1>-3

gp-2k+l<2或&-1>2々+1,

k-\<2k+\

解得《<-2或

故答案为：{k\k<-2^-2<k<^}

【题型四】集合的运算-

【典例例题】

（多选题）例19.（2022.全国.高三专题练习）已知M、N均为实数集R的子集，且

NcgM=0,则下列结论中正确的是（）

A.MCCRN=0B.MUCRN=R

C.CRM\JCRN=CRMD.CRMCCRN=CRM

【答案】BD

【解析】

【分析】

由题可知W=利用包含关系即可判断.

【详解】

NCCRM=0

:.N三M,

若N是〃的真子集，则MCCRNW。，故A错误；

由N=M可得MUC£N=R,故B正确；

由N=M可得，故C错误，D正确.故选：BD.

【方法技巧与总结】

1.注意并集与交集的大小关系

2.补集和全集是不可分割的两个概念

例20.（2022•河南・汝州市第一高级中学模拟预测（文））己知集合

人二卜除.♦°}|二卜,一3+1）晨+24/+1）＜0},若AnB=0,则实数〃的取值范围是

（）

A.（2,+00）B.{l}u（2,+oo）

C.{1}U[2,同D.[2,网

【答案】C

【解析】

【分析】

先解出集合A,考虑集合B是否为空集,集合B为空集时合题意,集合B不为空集时利用2a.4

或/+1,,-1解出a的取值范围.

【详解】

由题意A=L4]，

B=卜,_(4+1)晨+241/+1)<o}={x[(x-2a)[x-(a2+1)]<o},

当3=0时，2a=〃+i，即。=1,符合题意；当即时，B=(2a,a2+1),则有

2a.4或a2+1„-1,即a..2.

综上，实数”的取值范围为{1}U[2,”).

故选：C.

例2L(2O22・天津和平•二模)已知全集为R,集合A={x|-2<x<l},集合B={x|—x2+x<o},

则AU低8)=()

A.(-2,1]B.(-1,1]

C.(-oo,-2)U[h+°o)D.(-<»,()]u(l,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】

化简集合8,由集合的并集、补集运算可求解.

【详解】由题意知A=(-2,1),B=(YO,0)5L+«0,所以=

所以Au(48)=(-2,1].

故选：A

例22.(2022.湖北•荆门市龙泉中学二模)已知集合4=卜一<1>8=国嗝X41},全集

U=R,则()

A.{x|l<x<3}B.1x|0<x<l|C.|x|0<x<l}D.{x|l<x<3|

【答案】C

【解析】

【分析】

首先解分式不等式求出集合A,再解对数不等式求出集合B,最后根据补集、交集的定义计

算可得；

【详解】

解：由(<1，即?>0，等价于(x—1)x>0,解得x>l或x<(),

所以A==或x<0},由logsXWl,解得0<x43,

所以3={x|log3x41}={x[0<x43},

所以+A={x[()#x1),所以(64)门3=卜|0<犬41}；

故选：c

例23.（2022・湖南・长沙一中高三阶段练习）如图，已知集合4={-1,0,1,2）,

B={xeN+|l<2'<8},则图中的阴影部分表示的集合为（）

B.{-1,0,3}C.{-1,3}D.|0,

【答案】B

【解析】

【分析】

山题知B={1,2,3},进而得Ap|B={l,2},再求阴影部分表示的集合即可.

【详解】解：解不等式1<2、48得0<x43,所以3={1,2,3},

因为A={一1,0,1,2},

所以4「3={1,2}

所以，图中的阴影部分表示的集合为{-1,（）,3}.

故选：B

（多选题）例24.（2022•全国•高三专题练习）已知集合/={X|X2-3X+2<0},7V={x[x>-l）,

则（）

A.N三MB.MqN

C.“nNw。D.M23RN=R

【答案】BC

【解析】

【分析】

先化筒集合M,再结合集合关系包含与集合运算法则知识对各选项逐一分析即可.

【详解】

因为M={XM-3X+240},解不等式得M={x|14x42},又因为N={x|x>—1}.

对于A,由题意得M=故A错误；

对于B,由上已证可知B正确；

对于C,MHN={x\l<x<2}^0,故C正确；

对于D,因为a"={叶"一1},所以MuaN=（F,T[31,2]HR,故D错误：

故选:BC

例25.（2022.江苏.高三专题练习）已知集合4={小<1},8=3€时1门<1},则（CRA）CB=

【答案】{152}

【解析】

【分析】

先算出集合B和集合A的补集，然后再求它们的交集即可.

【详解】

由lnx<l得0<x<e,又xeN,所以x=l或2,8={1,2},

又”=[1收）,所以（CR4）CB={1,2}.

故答案为：{1.2}.

例26.（2022.浙江•高三专题练习）已知全集U=R,集合M={xe<3},

N={-4,-2,0,1,5}，则下列Venn图中阴影部分的集合为.

【答案】{一1,2,3}

【解析】

【分析】

由给定条件求出集合M,再由Venn图中阴影部分表示的意义求解即得.

【详解】

由题意，集合M={xeZk-k3}={x€Zk2<x<4}={-l,0,l,2,3},

则Venn图中阴影部分表示的集合是Mc%V={-l,2,3}.

故答案为:{7,2,3}.

【题型五】集合与排列组合

【典例例题】

例27.（2022•浙江温州•三模）设集合乂={4，生吗，%}=N，定义：集合

]

Y=^ai+a.\ai,aJGX,i,jeN\i^jj,集合S=y},集合

T=，?x,yey,xR），）,分别用|S|,⑺表示集合S,7中元素的个数，则下列结论可能成

立的是（）

A.|5|=6B.|S|=16C.|7>9D.|7|=16

【答案】D

【解析】

【分析】

对A、B:不妨设14%<。2<。3<4,可得q+。2<4|+%<%+能<。2+能，根据

集合y的定义可得y中至少有以上5个元素，不妨设

xt=at+a2,x2=at+a3,x}=ax+a4,x4=a2+a4,x5=a^+aA,则集合S中至少有7个元素，

排除选项A,若4+4=/+%，则集合丫中至多有6个元素，所以|S|祠=或=15<16,

排除选项B；对C：对XX八则?与土一定成对出现，根据集合T的定义可判断

xi占

选项C对D：取*={1,3,5,7},则丫={4,6,8,10,12},根据集合T的定义可判断选项D.【详

解】

解：不妨设144<%<%<%，贝+%的值为4+%，4+。3,4+%，%+a3,a2+a4,a3+a4,

显然，a,+a2<«,+a3<a,+a4<a2+a4<a3+a4,所以集合丫中至少有以上5个元素，

不妨设耳=q+a2,x2=q+a3,x3=q+a4,x4=a2+a4,xs=a3+a4,

则显然不々<XIW<X,X4<XR<X2X5<X3X5<X4X5,则集合S中至少有7个元素，

所以|S|=6不可能，故排除A选项；

其次，若则集合丫中至多有6个元素，则1sli=或=15<16,故排除B

项:

对于集合7,取*={1,3,5,7},则？={4,6,8,10,12),此时

(121233445555631

17bl6,故D项正确;

[3,5,2,3,5,4,5,3,，6,4,3,2,5,2,J

对于C选项而言，申丰j，x产X],则+与之一定成对出现，^L-ip_]<0,所以|T|

一定是偶数，故C项错误.

故选：D.

【方法技巧与总结】

利用排列组合思想求集合或者集合中元素的个数，需要运用逻辑分析和转化化归的思想

例28.（2022•全国•高三专题练习（理））设A是集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}的子集，只含有3

个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（）

A.32B.56C.72D.84

【答案】B

【解析】

【分析】

分类列举出每一种可能性即可得到答案.

【详解】

若1,3在集合A内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个：

若1,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；

:若1,8在集合4内，则还有一个元素为10；

共有6+5+4+3+2+1=21个.

若2,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；

若2,5在集合A内，则还有一个元素为7.8,9.10中的一个；

:若2,8在集合4内，则还有一个元素为10；

共有5+4+3+2+1=15个.

若3,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个：

若3,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；

:若3,8在集合A内，则还有一个元素为10；

共有4+3+2+1=10个.

若4,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；

若4,7在集合4内，则还有一个元素为9,10中的一个；

若4,8在集合A内，则还有一个元素为10；

共有3+2+1=6个.

若5,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；

若5,8在集合4内，则还有一个元素为10；

共有2+1=3个.

若6,8,10在在集合A内，只有1个.

总共有21+15+10+6+3+1=56个

故选：B.

例29.（202）安徽蚌埠•三模（理））设集合M={HX=G",，WGN”MM5},则M的子集个数

为（）

A.8B.16C.32D.64

【答案】A

【解析】

【分析】

根据组合数的求解，先求得集合〃中的元素个数，再求其子集个数即可.

【详解】

因为x=G","?eN*,，"45,由C；=C；=5,C；=C；=10,C；=l,

故集合M有3个元素，故其子集个数为23=8个.

故选：A.

例30.（2022・全国•高三专题练习）A,,={x\r<x<r+',x=3m,m&N},若同表示集合A“中

元素的个数，则|A|=,则闺+%|+阔+...+|/|=.

【答案】11682

【解析】

）11

【分析】解不等式7<3机<26可得|阕=11,再考虑《的整数部分，从而

⑷+|4|+|阕+…+闻的值.

【详解】

当〃=5时，25<3m<26,故〈?，即114m421,|阕=11，

由于2"不能整除3,且二=682±,

33

故从？到2"，3的倍数共有682个,

周+|阕+|阕+...+|4|=682.

故答案为：11，682.

例31.（2022.全国•高三专题练习）已知有限集合4={4，%用,…,4},定义集合

8=中的元素的个数为集合A的“容量”，记为"A）.若集合

，则）；若集合《且）贝

A={X€N|1<X<3},”A=A={xeN*|lx4“},”A=4041,lj

正整数〃的值是.

【答案】32022

【解析】

【分析】

化简A,可得"A）；根据“容量”定义可得4Hxe的L（A）=4041,解方程即可.

【详解】

A={xeN*|14x43}={1,2,3},则集合B={3,4,5},

所以“A）=3.若集合A={xwN*|lW〃},

则集合B={3,4,…,（〃7）+〃}={3,4「・,2〃_l},

故L（A）=2，L1-2=2〃-3=4041,解得〃=2022.

故答案为:3；2022

【点睛】

关键点点睛：解决新情景问题的关键是读懂题意，准确理解新定义集合的“容量”的含义，并

理解其本质.

【题型六】新定义

【典例例题】

例32.（2022・上海市进才中学高三期中）设S是整数集Z的非空子集，如果任意的,

有必eS,则称S关于数的乘法是封闭的.若T、V是Z的两个没有公共元素的非空子集，

roV=Z.若任意的a,0,ceT,有abcwT,同时，任意的x,y,zeV,有孙zeV,则下列

结论恒成立的是（）

A.T、V中至少有一个关于乘法是封闭的

B.T、V中至多有一个关于乘法是封闭的

C.T、V中有且只有一个关于乘法是封闭的

D.T、V中每一个关于乘法都是封闭的

【答案】A

【解析】

【分析】

本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答.考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的

非空子第T、V的并集，如T为奇数集，V为偶数集，或T为负整数集，V为非负整数集进

行分析排除即可.

【详解】

若7为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时7与V关于乘法都是封闭的，排除B、C：

若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D；

从而可得7、V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确.

故选:A.

【方法技巧与总结】

1.新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方

法并不难，难在“翻译”

2.新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”,

要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法理解。

例33.（2022•上海市松江二中高三开学考试）设集合中，至少有两

个元素，且SI满足：①对于任意见yeS,若都有肛eT；②对于任意x,yeT,若

x<y,则,eS.若S有4个元素，则SUT有个元素.

X

【答案】7

【解析】

【分析】

由题可知S有4个元素，根据集合的新定义，设集合5={外外,外,。4}，且已“2寸3寸」，

P、，P2，P、，%CN*,分类讨论PL1和Pl22两种情况，并结合题意和并集的运算求出SUT，

进而可得出答案.

【详解】解：由题可知，S^Ns,TcNs,S有4个元素，

若取S={2,4,8,16},则7={8,16,32,64,128},此时SUT={Z4,8,16,32,64,128},包含7个

元素，

具体如下：

设集合S={P1,P2，P3，pJ，且Pl＜P2Vp3Vp4，P\，P2'P3,PaCN*,

则PiP2Vp3P4,且p”P2，P3，P4eT,则"eS,

Pl

同王甲~£S,—€S,—€S,—GS,—€S,

Pl〃3PlP\P|

若Pl=l，则0222,则改＜小，故'i=P2,所以P3=PJ，

〃2Pl

又外＞乙＞乙＞1,故区=乌=生，所以P4=PJ,

PlP3〃3，2

故5={1,〃2，〃22，〃23}，此时〃2‘WT，〃2£丁，故外"6§，矛盾，舍去；

若Pl＞2,则甚＜匡＜。3,故包=P2，R=Pl，所以P2=P「，P3=Pl'，

P\PlPlPl

>—>—>—>1,故^^■二与二四，所以P4=P;，

PlPlP3P3P\

故S=M，P：,P「,Pl4},此时{p『,P14,pj,06,p,}qT,

若qeT,则&eS,故p：,i=1,2,3,4,故q=。:3-=],2,3,4,

PlP\

即9G{P0,p：,p；,p;,P,},故{,P：,pj,p：,p；}=T,

此时SUT={“,琢,即SUT中有7个元素.

故答案为：7.

例34.（2022.全国•高三专题练习）在整数集中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,

记为因，即因={4〃+修〃€2},/=0,1,2,3.给出下列四个结论.

则;则；④"整数。力属于同一“类””的充要条件

①2021②-1®Z=[0]u[l]o[2]u[3];

是“a-Ae[0]”.

其中正确的结论是（填所有正确的结论的序号）.

【答案】①③④

【解析】

【分析】

根据“类”的定义可判断①②③的正误；根据“类”的定义结合充分条件、必要条件的定义可判

断④的正误.

【详解】

时于①，•.•2021=4x505+1,则2021e[l],①正确；

对于②，•.-l=4x(-l)+3,则一1«3],②不正确；

对于③，•.・任意整数除以4,余数可以且只可以是04,2,3四类，

则2=[0]口[1]=[2]2[3],③正确；

对于④，若整数。、匕属于同一“类”，

则整数。、b被4除的余数相同，可设4=4%+k,b=4%+k,其中勺、%eZ,h{0,1,2,3},

贝|]°一/?=4(〃1一%)，故a-匕e[0],

若a-6e[0],不妨令a=4〃[+匕,6=4%+&(〃[,%eZ,kvk2e{0』,2,3}),

则。一人=4(”[-〃2)+(匕一%2),

显然4—%eZ,%—目c{0,l,2,3},于是得肉一周=。，.■《=心，即整数。力属于同一“类”，

「整数a*属于同一“类””的充要条件是“。-武网”，④正确.

正确的结论是①③④.

故答案为：①③④.

例35.(2022•全国•高三专题练习)若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸

吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合

A={-1,2},B={xp=2,a>0},若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为

【答案】{。，9}

【解析】

【分析】

分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出a值，即可求解

【详解】

当a=0时，5=0,此时满足BqA,

当a>0时,

所以当A8集合有公共元素=-1时，解得。=2,

当集合有公共元素箱=2时，解得°，故a的取值集合为{。，；，2).

故答案为：(o'z}

例36.(2022.全国•高三专题练习)已知数集A=『,f+1]3r+4J+9].若存在；UR,使得

对任意aeA都有一eA,则称A为完美集，给出下列四个结论：

a

①存在fe((),+oo),使得A为完美集；

②存在使得A为完美集；

③如果，用Z,那么A一定不为完美集；

④使得A为完美集的所有f的值之和为-2.

其中，所有正确结论的序号是.

【答案】①②

【解析】

【分析】

由题意得，awo,即/的范围为r<—9或Y<r<—1,或f>0,目.2x0,当4>0时，分r<—9,

f>0三种情况讨论，根据完美集可求得f的值，当4<0时，同理可得f的值，

从而可的答案.

【详解】

解：由题意得，a^O,即f的范围为f<-9或T<r<T,或t>0,且/IRO,

当；1>0时，

当f>0,又46[，/+1川上+4/+9],故人仁——。,

L」LJat+9t+4f+1t

2

------>t

t+9

<r+l

t+4

则有

—>/+4

r+1

-</+9

可得］(3)(,+4)*M+皿+4)，此时，(*)(f+4)=f(f+9)，解得E；

——>t

/+1

。且「"+1]山+4"+9],故知高岛9

当_4＜，＜一1,则、可

—>r+4

Z+9

—</+9

J+

j/(/+l)<2</(r+l)

信|(f+4)«+9)4/l4(f+4)G+9y

此时，f(，+l)=(f+4)(f+9),解得/=—3；

当<9,ae[M+l]U[t+4,r+9],故*焉，匕三号

2

---->t

f+9

—<r+ir(r+9)<2<r(/+9)

,4，可得.

则有，

(r+l)(r+4)<2<(r+l)(r+4)J

—>r+4

r+1

-<r+9

lr

此时，（f+l）（r+4）=f（f+9）,解得r=l（舍去），无解;

3

同理，当之＜0时，当-4＜，＜一1,t=—,当/＜一9或f＞0,无解.

2

综上，所有正确结论的序号是①②.

故答案为：①②.

【过关测试】

一、单选题

1.(2022•河北•模拟预测)已知全集/={1,2,3,4,5},M={2,3},N={3,4,5},则MU(0N)=()

A.{1,2}B.{1,2,3)C.{1,2,3,5)D.{2,3,4,5}

【答案】B

【解析】

【分析】

直接按照补集和并集运算即可.

【详解】

由题意知：0N={1,2},MU（0N）={1,2,3}.

故选：B.

2.（2022.陕西.模拟预测（理））已知集合4={4），=4+14＞2},集合8=也也=x+l,x＞2},

则An£B)=(

A.(1,3]B.(-oo,3]

C.(l,+oo)D.(1,3)

【答案】A

【解析】