2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第一册 同步讲义 第15讲 幂函数及其性质5种题型 （解析版）

第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat14页第15讲幂函数及其性质5种题型【考点分析】考点一：幂函数的定义一般地，(为有理数)的函数，即以\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底数为\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自变量，幂为\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因变量，\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指数为常数的函数称为幂函数.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.考点二：常见的幂函数图像及性质：函数图象定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在上单调递增在上单调递减，在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点考点三：幂函数的单调性在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数.【题型目录】题型一：幂函数的概念题型二：幂函数的三要素题型三：幂函数的性质题型四：幂函数的图象题型五：幂函数的综合运用【典型例题】题型一幂函数的概念【例1】（2020·全国高一课时练习）在函数，，，中，幂函数的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】）因为，所以是幂函数；由于出现系数2，因此不是幂函数；是两项和的形式，不是幂函数；（），可以看出，常数函数的图象比幂函数的图象多了一个点，所以常数函数不是幂函数.故选：B.【例2】已知是幂函数，求、的值．【答案】【解析】由幂函数的概念易得关于、的方程组．由题意得解得即为所求．【题型专练】1．（2023·全国·高三专题练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B2.（2022陕西高一期末）已知函数为幂函数，则___.【答案】【解析】由于函数为幂函数，则，即，，解得或，所以，，因此，.故答案为：.3.（2021年广东潮州）已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值．【答案】见解析【解析】由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－3，,n＝\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(3,2).))所以m＝－3或1，n＝eq\f(3,2).题型二：幂函数的三要素【例1】（2021·陕西·西安市第三中学高一期中）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案.【详解】当时，定义域和值域均为，符合题意；时，定义域为，值域为，故不合题意；时，定义域为，值域为，符合题意；时，定义域与值域均为R，符合题意；时，定义域为R，值域为，不符合题意；时，定义域与值域均为R，符合题意.故选：C【例2】（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知幂函数的图象不过原点，则实数的取值可以为（

）A．5 B．1 C．2 D．4【答案】BC【分析】由幂函数的系数为，列方程求出实数的值，并检验函数的图象是否过原点，得出答案．【详解】令，解得或，当时，图象不过原点，成立；当时，图象不过原点，成立；故选：BC【题型专练】1.（2022·河南·济源市基础教育教学研究室高二期末（文））若函数是幂函数，满足，则_________．【答案】【分析】利用幂函数定义设，由，求解，从而得的解析式，即可求值.【详解】解：函数是幂函数，设，又，所以，即，所以，得所以，则.故答案为：.2.（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象经过点，则的值为___．【答案】##0.5【分析】由幂函数所过的点求解析式，进而求的函数值.【详解】幂函数过点，，解得，，故.故答案为：3.设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（）A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3【答案】A【解析】当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立；当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立；当或时，满足函数y＝xα的定义域为R，故选：A.题型三：幂函数的性质【例1】（2023·全国·高三专题）幂函数在x（0，+∞）上是减函数，则m＝（

）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1【答案】A【分析】根据幂函数的定义，令m2﹣m﹣1＝1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数在x（0，+∞）上为减函数即可．【详解】∵幂函数，∴m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2，或m＝﹣1；又x（0，+∞）时f（x）为减函数，∴当m＝2时，m2+m﹣3＝3，幂函数为y＝x3，不满足题意；当m＝﹣1时，m2+m﹣3＝﹣3，幂函数为，满足题意；综上，．故选：A．【例2】（2022·山东德州·高二期末）幂函数在区间上单调递增，则（

）A．27 B． C． D．【答案】A【分析】根据幂函数的概念及性质，求得实数的值，得到幂函数的解析式，即可求解.【详解】由题意，令，即，解得或，当时，可得函数，此时函数在上单调递增，符合题意；当时，可得，此时函数在上单调递减，不符合题意，即幂函数，则.故选：A.【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，则（

）A．函数为增函数 B．函数为偶函数C．当时， D．当时，【答案】ACD【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数的定义域可判断B项，结合函数的解析式，利用平方差证明不等式可判断D项.【详解】解：设幂函数，则，解得，所以，所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，当时，，故C正确，当时，，又，所以，D正确．故选：ACD.【例4】（2021·重庆巴蜀中学高一期末）已知幂函数在其定义域内不单调，则实数m=（）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】由幂函数定义，，解得：或，又在定义域内不单调，所以，故选：A．【例5】（2021·四川高一期末）若幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数，则=（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】因为是幂函数，所以；又在上是增函数，所以，解得，因为，所以或或，当时，，因为，所以是奇函数，不满足题意，舍去；当时，，因为，所以是偶函数，满足题意；当时，是奇函数，不满足题意，舍去；故，所以.故选：C.【题型专练】1．（2022·河南·高二期末（文））若幂函数在上单调递减，则（

）A．或2 B．2 C． D．【答案】C【分析】根据幂函数的定义以及其在上单调递减，列出方程以及不等式，即可求得答案.【详解】由题意可得,解得,故:C.2．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）已知幂函数上单调递增，则（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得且，从而可求出的值【详解】因为幂函数上单调递增，所以且，解得，故选：A3．（2022·全国·高一）已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（

）A．奇函数 B．偶函数C．在单调递减 D．定义域为【答案】C【分析】设幂函数的解析式，根据图象的点求得解析式，由其定义域可判断D,继而判断A,B,由其单调性判断C.【详解】设幂函数，由题意得：，故，定义域为，故D错误；定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，A，B错误；由于，故在在单调递减，C正确，故选：C4.（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．【答案】【分析】根据幂函数的性质求出的值，根据幂函数的单调性得到关于的不等式解出即可.【详解】幂函数在上是减函数，，解得，，或．当时，为偶函数满足条件，当时，为奇函数不满足条件，则不等式等价为，即，在R上为增函数，，解得：.故答案为：.5．（2022·辽宁丹东·高一期末）写出一个具有性质①②③的函数______．①定义域为；②在单调递增；③．【答案】（答案不唯一）【分析】根据函数的定义域、单调性、运算求得符合题意的函数.【详解】的定义域为，在区间递增，且，所以符合题意.故答案为：（答案不唯一）题型四：幂函数的图象【例1】（2022·全国·高一专题练习）幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；【详解】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，所以由图像得：，故选：D【例2】（2021·北京八十中高三阶段练习）已知幂函数的图象为曲线，有下列四个性质：①为偶函数；②曲线不过原点；③曲线C在第一象限呈上升趋势；④当时，.写出一个同时满足上述四个性质中三个性质的一个函数___________.【答案】【分析】根据幂函数的性质可得函数只能同时满足性质①③④，可取，证明即可.【详解】解：设幂函数的解析式为，若曲线不过原点，则，此时函数在，故②不成立，则当时，，故③不成立，所以幂函数不能满足②性质，不妨取，函数为偶函数，曲线C在第一象限呈上升趋势，当时，，所以幂函数满足性质①③④.故答案为：.（答案不唯一）【例3】（2022·全国·高一专题练习）如图所示是函数(且互质)的图象，则（

）A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且【答案】C【分析】根据幂函数的性质及图象判断即可；【详解】解：函数的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，在第一象限内，函数是凸函数，故，故选：C.【题型专练】1．（2022·全国·高一课时练习）图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（

）A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3【答案】D【分析】根据幂函数的图象，结合幂函数的性质判断参数的大小关系，即可得答案.【详解】由题图知：，，，所以，，依次可以是，，3．故选：D2.（2021·上海高一期末）幂函数，及直线将直角坐标系第一象限分成八个“卦限：（如图所示），那么，而函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于幂函数，因为，所以在第一象限单调递减，根据幂函数的性质可知：在直线的左侧，幂函数的指数越大越接近轴，因为，所以的图象比的图象更接近轴，所以进过第卦限，在直线的右侧，幂函数的指数越小越接近轴，因为，所以的图象位于和之间，所以经过卦限，所有函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是，故选：B3．（2021·上海高一期末）在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于A，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数为减函数，符合题意；对于B，二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数为减函数，不符合题意；对于C，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；对于D，二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；故选：A题型五：幂函数的综合运用【例1】（2021·湖南高一月考）已知幂函数在区间上单调递增.（1）求的解析式；（2）用定义法证明函数在区间上单调递减.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）解：由题可知：，解得或.若，则在区间上单调递增，符合条件；若，则在区间上单调递减，不符合条件.故.（2）证明：由（1）可知，.任取，，且，则.因为，所以，，，所以，即，故在区间上单调递减.【例2】（2022上海市大同中学高一期中）已知幂函数经过点．(1)求此幂函数的表达式和定义域；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)，定义域为；(2).【分析】（1）设，由，求出的值，可得出函数的解析式，进一步可求得该函数的定义域；（2）分析可知函数是定义在上的减函数，根据所求不等式可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.(1)解：设，则，可得，解得，所以，，由可得，所以，函数的定义域为.(2)解：由幂函数的性质可知，函数的定义域为，且在定义域上为减函数，由可得，可得.【题型专练】1．（2021·福建仙游一中高一开学考试）若幂函数在其定义域上是增函数.（1）求的解析式；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得或，又是增函数，即，，则；（2）因为为增函数，所以由可得，