基础公共课复习资料-高数上-高斯课堂讲义

蜂考速成课《高数/微积分上》版权声明：内容来自蜂考原创，讲义笔记和相关图文均有著作权，视频课程已申请版权，登记号：陕作蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时一极限、连续、间断点考点重要程度分值常见题型1.函数★★0~3选择、填空2.极限必考6~10选择、填空、大题3.连续4.间断点1.函数题1.求函数yx3x1x25的定义域解：x0x24x3x13150，即函数的定义域为x4,03题2.f(2xx2求f(x)解：令t2x3，则3xt2得()(3)21239()1239ftttfxxxt24244242.极限记作:f(x)A左极限xx0f(x)A右极限xx0f(x)Axx01)xx表示0xx02)xx表示0xxxx0,0xxxx3)极限存在的充要条件：f(x)f(x)（左右极限存在且相等）xxxx00题1：设函数f(x)x，当x0时求极限值x解：xx1xxx0x0xx1xxx0x0左右极限存在但是不相等，故无极限1微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q题2.设函数f(x)1x1，当x1时求极限值yx解：1limarctanlimarctan()xxx111221limarctanlimarctan()xxx1112左右极限存在但是不相等，故无极限2x题3.设函数f(x)e2，当x2时求极限值xx解：20exex2x2左极限存在，右极限不存在xeex2x2x2所以极限不存在3.连续f(x)f(x)（极限值=函数值）0xx0题1.f(x)21xx2x1x是否连续解：分界点在x1处左极限：f(x)x21x1x1右极限：f(x)2x1x1x1函数值：f1f(x)f1函数连续x1题2.x93x0f(x)xkx0在x0处连续，则k等于多少xxx93(9911解：极限值：f(x)x0x0x0x06xx(x9x93函数值：f(0)k根据极限值等于函数值，所以k162微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q题3.确定a,b，使21xxf(x)b0x1ex0x在(,)内连续。在分界点为x1处解：在分界点为x0处左极限：f(x)ex1x0x0左极限：f(x)babx1x1右极限：f(x)bbx0x0右极限：f(x)x21x1x1函数值：f1可得ab1

函数值：f(0)b可得b1b1联立ab1a0b13.间断点第一类间断点可去间断点跳跃间断点f(x)f(x)f(x)0xxxx00f(x)f(x)xxxx00第二类间断点f(x)xx0，f(x)xx0题1.求函数f(x)x21x3x22的间断点，并判断其类型解：f(x)(xx(xx在点xx2处无定义，故xx2为间断点在x1处x1极限值：f(x)2x2x1x1左右极限存在且相等，故点x1为可去间断点在x2处左极限：右极限：x1f(x)x2x2x2x1f(x)x2x2x2故为第二类间断点3微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q题2.求函数f(x)1e1x0xx)x0的间断点，并判断其类型解：在x0处左极限：f(x)x)0x0x0右极限：1f(x)ex1x0x01e左右极限都存在，但是不相等，故x0为跳跃间断点1x时0fxe定义域x1故在x1处也是间断点x1左极限：1f(x)ex01f(x)ex0x1x1右极限：1()xfxe1x1x1故x1为第二类间断点4微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时一练习题1.y12x12xx32求fx的定义域；学完课时一和课时二，再做练习题x2.设f)1x，求fx).23.设fxsinx,x2ax,x如果fx存在，那么a为何值。x11x0x4.设fxex0sinx0；a0,b0问a和b取何值时fx在x0处连续1xx0x5.设fxxx01x1xxx0问fx在x0处是否连续1sin2xx0x6.设fxkx01xsin2x0x求常数k的值，使函数fx在定义域内连续7.求函数间断点，并判断其类型1yxx113xx12sinx2fx,x01x1exx214fx,x111ex5微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时二求极限值考点重要程度分值常见题型1.有理化、多项式求极限3.重要极限公式4.无穷小公式4.洛必达法则必考10~20选择填空大题必考1.有理化、多项式x题1：求极限x0x93xx93xx(x9解：936xxxxxxx000093(99x题2：求极限例：x3x4x2327x5x3324233423x3x2xx3解:3253xx75377xxxx32.重要极限公式sin10sin011))e0sin3x题1：求极限x0xsin3xsin3x解：33xxxx003题2：求极限x02xxsin2x2x2xsin2x1sin2x1sin2x解：22x0x0x0x0x0xxx2x2xx2xx1题3：求极限)xx0111解：)x1()1()xex()(1x0x0x06微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q11题4：求极限)nnnn2n1211n1n1nnn1)))eennnn1解：nnnn2223.无穷小1)定义：以0为极限的函数称作无穷小例：x0时，x,2x2,x0称为x0时的无穷小x时，112,,0xxx123称为x时的无穷小2)无穷小比较,为自变量某种趋向下的无穷小①0，称为的高阶无穷小②kk0，称为的同阶无穷小②1，称为的等阶无穷小3)等价无穷小替换公式:x时（①x0才成立②x作为整体看待，不仅仅指x）0①sinxxxxxxxx1xx1exx②x)a1~xn111x~n111n1aa1xx21~2~xx223x题1：求极限x02x3x3x3

解：

2x2x2x0x011x题2：求极限1x0x1x112x解：1xx1002x1x()27微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q题3：求极限x0xsinx2xxxsinxxx错解：0xxxx22x0x0（×）1xx2sin)21xxxx正解：xxxx2233x0x0x0题4：求极限x0exx2x2x)exexex)

解：xxx222x2x)x2x2x2x0x0x012x2(ex)x2113

x2x0x0x0x02x2x2x2x2442222题5：当x0时，1x1与是等价无穷小，求a1x1x12可求得1解：1ax0x024.洛必达法则若满足00，型，则fxfxgxgx①必须满足00，型才可以使用，其他形式，不能直接使用②若fxgx仍满足00，fxfx型，可以连续使用洛必达法则gxgx③洛必达法则不是万能的，求极限的时候，首选无穷小替换，再用洛必达法则题1：求极限x0xsinxx3（00型）可直接使用洛必达法则1x2xsinx1x21

解：x0xx0xx0x63228微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q题2：求极限xx232xx2（型）可直接使用洛必达法则u1(x)xx32x212解：2xx4x1422xxxxx(e)e1(lnx)xxx(a)alna11题3：求极限lim()（型）方法：通分xxsinx011sinxx0解：lim()（通分后变成x0x0）xsinxxsinx0sinxx（先用一部无穷小代换）2x0xx1（使用洛必达法则，上下求导）x02x2x1x220（再使用一步无穷小替换）x02x2x1(logx)a(arcsinx)xlna(sinx)cosx(cosx)sinx2(tanx)secx2(cotx)cscx(secx)secxtanx(cscx)cscxcotx11x2题4：求极限xx（0型）方法：取倒数x0(arccosx)11x2x解：xx（取倒数后变成1x0x0x1x2xlim01x0x0xx2型）1(arctanx)(arccotx)1x211x21题5：求极限lim(2)x（型）方法：取对数x11解：令ylim(2x)xx11ln(2)两边取对数yln(2x)（x1x1xx00型）BAAB1ln(2x)2xxlim11x1xx1x12xxy1ye1故1lim(2)xe1x19微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q题6：求极限x2sinxx0（00型）方法：取对数解：令yx2sinxx0两边取对数y2sinxx（0型）x0（取对数后变成2x1x0sinx型）22sinx2x2x22xlim()lim()lim()0xxxxxxx0x0x0x0sinx2y0y1故2sinxx1x0题7：求极限x1xx（0型）方法：取对数解：令1yxxx1x两边取对数yxln(exln(exxx（取对数后变成型）1e1e1xxx0xexxxexxexxexx1xe1xy0y1故11xxx课时二练习题1)x1x2x12x21112)2xxx23)x2xx221x2x4)xx5)x1xmxn11（m,n为正整数且mn）6)x0xsinxx2(ex7)x0xxxsinxx18)xex1x110)3xyx1x19)12x0xx10微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时三导数考点重要程度分值常见题型1.求导定义公式★★★★0~8选择、填空1）复合函数求导2.求导计算2）微分3）隐函数求导必考6~15选择、填空、大题4）参数方程求导3.可导，可微，连续之间的关系★★★0~3选择、填空1.求导定义公式（导数记作形式：y，fx，dydx）求导定义公式：fxfxxfx0000xx（这个式子有极限值就说明在这点可导）左导数：fxfxxfx000

x0x右导数：fxfxxfx000

x0x函数在某点可导的充分必要条件：fxfx（左导数等于右导数）00题1：求函数fxsinxx01xx0在x0的导数解:左导数f0xf0sinx10sinxf01xxxx0x0x0右导数f0xf01x101xxf01xxxxx0x0x0x0f0f01所以在x0处导数f01题2：已知f21，求函数h022fhfhh解：h(h)所以22fhfh22f22hh0h若f(xah)f(xbh)abfxA00()f(x)A00h0c11微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q2.求导计算题1.设yexx，求yf(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)x解：yexexexlnxlnxlnexxf(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)g(x)2题2.设yex，求u1(x)x(secx)secxtanx1xxxxysineeeeex解：xxeexx(e)e1(lnx)x(cscx)cscxcotx(arcsinx)11x2题3.设yxx2，求y11111解：22y1x12x22xx11x122xx1x1xx(a)alna(logx)a1xlna(sinx)cosx(cosx)sinx(tanx)secx2(cotx)cscx2(arccosx)(arctanx)1(arccotx)111x211x2x21x1x12xx21x21x21dy题4.设yfsinx，求2dx解：fsinxsinxsin2fx2x2x2xxfsinx2222题5.设yfx由方程1y确定，求yx0解：两边同时对x求导，得yey解得yy0yey1y把x0代入原方程可得y1所以eyye1yx0(0,1)12微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q题6.求曲线eye在x0处的切线方程。解：两边同时对x求导，得yeyyxyy0yexy当x0时代入原方程y1则y1e1则切线方程为y(x整理可得e1yx1e题7.设yx，求y1x2解：两边取对数得：ysinx1x212x两边同时对x求导得：yx1xsinx

y1x222x2x于是yyx1xsinx1xx1xsinxx2221x1x222xlnt)ytarctantdydxdy22题8.设，求，dx12tdy1t122dt1t1tdt1t2解：dy11dydttt12dxt22dxdt1t2dytdddx2dtdt12dyd12122dydxdxtt22124dxdtdttt参数方程求导方法：①dxdt②dydt③②①④d⑤dy22④①3.可导，可微，连续之间的关系(可导和可微可以认为是一样的，可导就是可微，可微就是可导)可导（可微）连续13微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时三练习题1.求函数f(x)2xsin2x,x0,x0在x0的导数。2.设11fx，求f(x)f(xn。()2000nnn3.设函数f(x)2xb,x1,x1为了使函数f(x)在x1处连续且可导，a,b应取什么值。4.设ysinxx，求y。5.设yx2)，求。6.设yfx)，求dydx。7.设yf(x)由方程exy确定，求。8.求曲线y2y在x0处得切线方程。9.设yxx，求y。2tx10.设2y1t，求dy2,2。14微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时四单调性与凹凸性考点重要程度分值常见题型1.单调性与极值点★★★★3~8选择、填空、大题2.凹凸性与拐点题1：求函数yxx)的单调性与极值。驻点：一阶导数为0的点解：定义域为x()1

y'=1

1+x由y'0可得单调增区间为x)由y'0可得单调减区间为x(0]所以x0为极小值点f(0)01)驻点一定是极值点（×）例yx3，y'3x20驻点为0)x不是极值点，因为在x0的左右两边y不是异号02)极值点一定是驻点（×）极值点存在于两处：①驻点；②一阶导数不存在点3)可导函数极值点一定是驻点（√）去掉了导数不存在的情况。题2：求函数yxex的凹凸区间及拐点。解：定义域为x,y'exx)yex(x由y0可得凹区间为x[2,)由y0可得凸区间为x(,2]y"0得x2，且左右异号;故拐点为2e）15微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q①f(x)0的点一定是拐点（×）要保证左右异号。②拐点一定是f(x)0（拐点存在于两处①f(x)0的点；②二阶导数不存在点）③二阶导数存在的函数，拐点一定是f(x)0（√）去掉了二阶导数不存在的情况。x题3：证明：当x0时，x)x1x。证明：令f(x)xx)f1101x故f(x)在)时单调增加，且f(0)0于是有f(x)0，即xx)0得证xx)，令g(x)x)x1x11g(x)01xx)2故g(x)在)单调增加，且g(0)0x故g(x)0，即x)01xx综合可得：x)x1x得证x)x1x课时四练习题1.求函数fx2x3x的单调性与极值322.求yx35x23x5的凹凸区间及拐点3.试证：当x0时，11exxx16微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时五不定积分考点重要程度分值常见题型1.直接积分★★★★0~3选择、填空5.凑微分必考3.换元法6~10选择、填空、大题4.分部积分法5.有理化积分★★★不定积分公式表：1.C2.（1）a1axdx（a1)（2）ln||xCxCa1x3.（1）xax（2）aCaeeCxx4.（1）sinxC（2）sinxC（3）xC（4）sinxC（5）xxC（6）xxC（7）sec2xC（8）csc2xC（9）xxC（10）xxC5.（1）1x（2）xCCa01xaxa222（3）1（4）xC1x21xaxaa22C（5）1xa（6）Cxaaxa22x2a2xxaC22（8）（7）xx2a2Cxa22axx2a2x2a2x2C2a217微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q1.直接积分题1：x(x25)517322222解：原式(x5x)xxC733x2题2：1x2（加项减项）解：原式3x3332(3)3x3arctanxC1x1x22题3：1xx)22111解：原式(xCx1xx22题4：2xexx(2e)x解：原式(2e)Cln(2)sin2x2sinxx2xcos2xsin2xx题5：sin2()21x1解：原式)sinxC2222x1212sinx22x题6：xsinx解：原式xsinxxsinxxsinx)22=xsin)sinxxCxsinxxsinx18微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q2.凑微分题1：2x)2解：原式12)2)12)3xdxxC22312x)C36题2：x1x2221222211解：原式x)(xd(xx1C2题3：15xx2111111解：原式x)5xd()5xCxxln52题4：1xx)111解：原式2d(x)2xC1(x)x1(x)221题5：1ex11解：原式xexde)eCxxx1e1e1题6：xx111解：原式dx)x)Cxxx题7：sinx1解：原式dxxC

xx题8：cos3解：原式cos2coscos2dsin213sin)dsinsinsinC319微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q题9：xxx)解：原式2xdx)x)2C3.换元法1题1：2x1解：令2xt，xt2，t211=2x2x)C

原式=t)ttCtt题2：13(ax)222解：令xasint，dxatdt11=原式=atdtsectdtata3321a2tC11xtC=Caaax2222根式形式依据公式所作替换对应三角形aaxsin2tcos2t1xasint22txa2x2a2x2ax12tsec2txat22txaxatan2tsec2t1xat22xtx2a2a20微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q4.分部积分法uvvvu题1：x解：原式121212121211212xxxdxxxxxxxC22222x24题2：x解：原式1arctan2xdx=xxxdxxx)11111222222221x2111xxxxC2222题3：解：原式xxxdxxx1xxxC题4：ex令xt，xt2，dxtdt解：原式et2tdettet2ettet2etc2xex2exC5.有理化积分题：x1x5x62xxABAxBxABxAB11(2)(()23x5x6(xx2)x3x2(x2)(x(x2)(x2(AB)x2A3Bx1AB12A3B1AB43x1434lnx33lnx2C

故(x5x6x3x2221微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时五练习题xx1）(x222）3）)4）e2b21x2x21x6）7）8）5）x3exex23x2x2a2x2x2110）11）12）9）xn2x113）xtan214）2xx122微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时六定积分考点重要程度分值常见题型1)凑微分，分部积分类型1.定积分计算2)换元换限类型必考6-8分大题3)反常积分2.定积分的性质★★★★★0-6分选择、填空3.积分的导数★★★★0-6分大题1、定积分的计算题1：计算定积分11（凑微分）024x11x11解：原式dx=d20202xx21122102260题2：计算定积分3（分部积分）2x032解：原式x033xxxdx22xxxdx00x1423331xx311022xx300题3：计算定积分2（分段积分）sinx0解：原式sinsin0xx402题4：计算，其中fxfx0x1x1（分段积分）1xx1221212122解：fxfxfxx1x20010112118xxx2326301题5：计算定积分ln2（换元换限）ex0t解：ex1t，xt2，

1t12x0时t0，x2时t故xt21ln2111et212212tt11tt0422200023微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Qa（换元换限）

题6：a2x20解：xasintdxatdtx时t0，xa时0t2a故a2x22acostacostdta222tdt00012ta212a2a22tsin2t2224001（反常积分—积分区间无界）

题7：x2x22

01解：原式x1x1arctan1dx11x20x02441（反常积分—被积函数无界）题8：201x11解：原式d1x01x21011x(无值)12.定积分的性质题1：x3x1a①若被积函数fx为奇函数，积分区间对称a,a，则0fxabb②若fx1，则fxbaaa解：x3x1x3xx为奇函数，积分区域,对称，故3xx为奇函数，积分区域,对称，故x30故原式2题2：1I，1012Ix，2013Ix，比较30I，1I，2I大小3bb设xa,b，fxgx则fxgxaa解：在上，xxx故23III12324微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q2题3：fxxfx，求fx02解：令，则fxxAfxA0222两边积分fxxAsinxsin22A000即Asin22AAsin2fxxsin23.积分的导数xx

ftftfxxfxxd222211xx11题1：dx201t2解：原式2x1x41x22x10022题2：求极限x01t2exx2解：原式x00esinx2x22xx2esinx1x02x22x21e课时六练习题152.1.3x113.2xsin2020x24.，其中fxfx02x4xxx3210x11x2186.5.13xxxsinx1a7.ax22154x1xa28.1I，101I，201Ixdx比较30II大小1,2,I39.求极限xd1tdt010.求极限x01xt1t0sintxt025微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时七定积分的应用考点重要程度分值常见题型4)利用定积分求面积必考3-12分选择、填空、大题

5)利用定积分求体积1、用定积分求面积题1：计算yx，x轴，以及xe围成的图形面积yx解：dAlnxeeeAxxx1111dx题2：计算抛物线y22x与yx4所围成的图形面积8,41:dx2x2x解：xxxdx1222222Axdx221010322:2xx4dxxxxx22424Axx882422223AAA1233解法二：1y4y22解：y41y22142Ayy422423yy4y26226微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q2、用定积分求体积题3：计算yx，x轴以及xe围成的图形绕x轴和y轴旋转一周的体积分别是多少解：绕x轴r2x2xeeVxe2(xx11绕y轴VVVy外内Ve21e2外rxy22eyey内dy11122Veey(内内20021212则VVVeee1y外内22课时七练习题1.计算平面图形由抛物线y2x2与直线yx围成的面积2.求曲线ysinx0x与y0所围成的平面图形面积以及绕x轴旋转所得的体积3.过坐标原点作曲线yex的切线，该切线与曲线yex以及x轴围成的平面图形记为D①求D的面积A②求D绕x轴所围成的旋转体体积V27微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时八微分方程考点重要程度分值常见题型1.可分离变量★★★0~3选择、填空6.齐次微分方程★★★0~33.一阶线性微分方程必考6~10大题4.二阶常系数齐次5.二阶常系数非齐次1、可分离变量形式：g(y)f(x)方法：两边同时积分题1.2解：分离变量2两边同时积分2yy得：yx2CxCxCyeee221(1)yeeCeCeCxxC题2.xyyy0解：xyy0分离变量两边积分yyxyyx得yxC1xeCeCx11yeCxyeCxCxeC)1112、齐次微分方程形式:yx题1.x220解：y2212xxyyux令yuyxx整理得：

u1uu1212替换上式得：uxxuuuu分离变量uu21x28微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q两边积分得u12xu11u1xCu1将uy代回11yxCyxxx1yx化简整理：1xCxxyxyxCxy3、一阶线性微分方程形式：PxyQx题1.yex解：Px1，Qxex1Pxx通解公式：PxPxyeQxeCQxeeexPxxx所以方程通解：yexxCx题2.已知fx为可导函数，且满足方程，求fxtftx2fx0解：两边求导x2xfx整理得y2xPxxQx2x1Pxx2211Pxxx22Qxe2e2111xxx222故方程通解：fxe2e2C2Ce2xx时代入原方程tftx2fx00f0000f0代入0点，即02CC21x2故fx2e229微信扫一扫3小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q4、二阶常系数齐次线性微分方程形式：yPy0题1.求微分方程y2y3y0的通解.特征根r，r通解12解：特征方程r22r30rr12yCeCerxrx1212特征根：1123rryCCxerx11212则x3xyCeCe12rrixyeCxCx12sin12题2.求dy222y0的解,满足初始条件满足初始条件y04xy02x原方