基础公共课复习资料-高数下-高斯课堂讲义

蜂考速成课《高数/微积分下》版权声明：内容来自蜂考原创，讲义笔记和相关图文均有著作权，视频课程已申请版权，登记号：陕作蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时一多元函数（一）考点重要程度分值常见题型1.重极限★★0~3选择、填空2.偏导数，全微分，隐函数求偏导必考6~10大题一、重极限题型1.有理化24(24)(24)xy(24)(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)(ab)(ab)ab221limlim(x,y)(0(242,0))(x,y)(0,0)414题型2.重要极限公式(x,y)(2,0)yxxy(x,y)(2,0)x(x,y)(2,0)2xy1xy0xyxy题型3.无穷小替换lim(x,y)(2,0)1xy2e11lim(x,y)(2,0)12x2xyylim(x,y)(2,0)12x12121xy1~xy2exy1~xy☆重要极限公式这里的x要当做是一x1）lim1x0x112）x)x)xex0xx个整体，比如若0作为一个整体也满足这些公式。☆无穷小替换公式：当x0时1)x~sinx~tanx~x~x~x)~ex111

2)1x1~x1x~x2

221微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q（对某个变量求导的时候，其余变量均看作常数）u1(x)xxx(e)e1(lnx)x(a)alnaxx(sinx)cosx(cosx)sinx2(tanx)secx2(cotx)cscx(secx)secxtanx(arctanx)11x2(arcsinx)11x21(arccotx)(arccosx)1xlna(logx)a1x211x2题型1.z3x2y34x22y6，求：①z，xzy在（1,1）点偏导zz解：①6xy38x②9xy222xyz68x3xz9xy2722y题型2：zx4y44x2y2，求2zx2，2zy，2zy2，2zxz解：4x38xy2xz，4y38yx2y则z212x8y22x2z212y8x22y2，，注意：2zy，2zx在区域D内连续，则2z2zyx题型3.设xz，(y0)，求dzy解：z111xxyyx221()2y1zxx()222yxyyyx1()2y1y2x2yxy2x2题型4.yz，求x解：z1yy1()xxxyy22221()2xz11x12yxxyy221()2x11

222微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q题型5：x3yz3ez6，求zx，zy隐函数解题方法：1）构造函数F(x,y,z)；解：令Fx3yz3ez6FxF，F3z2ezx，3yz2）求FxFyFz由公式法得zFcosxz3FyxxF3ze22zyFzezzz3）zFzxxFyz别忘了负号FyFzxz题型6：设，求zydz(0,1)解：将点带入方程得z1，得这个点xzx

令Fzy

zyzFx11，zFy11，yFzx1xz1zzz22(0,1,1)由公式法得zFx1xFzzFy1yFzdzdxdy练习1.1：z2xsin2ye，求zx，zy练习1.2：求ux2y2z2，求xz练习1.3：设，求zyz2x2练习1.4：设zx,y由方程sin11所确定，求z。(0,1)3微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q课时二多元函数（二）考点重要程度分值常见题型1.复合函数求偏导必考6~10大题2.偏导，连续，可微关系★★0~3选择、填空一、复合函数求偏导（先画出关系链，同路相乘，不同相加）题型1.zeu2v，uxy，v，求zx，zy解：zzuzvxuxvxeeyu2v2u2vzeyxy2xy2)uvzzuzvyuyvyuvuve22e2xxyxyexxy2xy2)题型2.zf(x2y2,e)，求zx，zyf解：ux2y2,vezfufv12xf22f12xuxvxuvzfufvf1(2y)f2xexyyuyvy2'f'12xyxyx题型3：设zf(x,)，其中f具有二阶连续偏导数，求y2zyxf1zfufvux,vff解：y1y2xuxvxz()11uv2xyyvyyyvyzxvfvff1()222xx11f()()ff()12222222yyyyx1xfff2yyy223xyfff具有相同的关系链124微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考学习交流Q二、偏导，连续，可微的关系（背诵）偏导存在可微偏导连续连续练习2.1：zu2v2，u2xy2，vx2，求zx，zyy2练习2.2：设z(2x,)，其中f具有二阶连续的偏导数，求x2zy练习2.3：考虑二元函数的下面四条性质:(1)f(x,y)在点(x,y)连续；(2)f(x,y)f(x,y)在点(x,y)连续；00xy00(3)f(x,y)在点(x,y)可微分；(4)00f(x,y)f(x,y)存在.x00y00若用"PQ"表示可由性质P推出性质Q，则下列四个选项中正确的是（）（A）(2)(B)(2)(C)(4)(D)(4)5微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营题fx,yxy3x3y9x3的极值(一般极值)322解：6x902f3xx得驻点：0),2),(0),(2)y6y02f3yAfxBf0Cf6y666在（1,0）点，B21260，有极值，且A0,有极小值f(1,0)5在（1,2）点，B20，无极值在（-3,0）点，B20，无极值在（-3,2）点，B20，有极值，且A0,有极大值f(3,2)31选择题中常考知识点：1.驻点一定是极值点（×）（若B20,则无极值）2.一阶导数不存在的点）3.可导函数的极值点一定是驻点（）（去掉了一阶导数不存在的情况）题2.：将正数a条件极值）解：设三个数分别为x,y,z条件极值求法：目标函数：f1确定目标函数fx,y,z条件函数：xyza2确定条件函数gx,y,z注意把a移项构造拉格朗日函数：3构造拉格朗日函数LxyzaLf,,,,xyzgxyzL0xL0yL0zxyza0xyza3LxyLLLz0000(x0,y,z)00为唯一极值点即为所求极值点。故所求乘积最大：aaaa3f3337微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营练习3.1:f(x,y,z)x23,求在(1,1,1,)的梯度练习3.2：uz43x2y2在M沿2的方向导数练习3.3：求函数zx2y2xy1的极值练习3.4：求函数z，在附加条件xy1下的最大值。练习3.5：周长为2P矩形，绕一边旋转一周得到圆柱，求圆柱体积最大。练习3.6：zx33x23y2在D:x2y2上的最大值和最小值（提升）8微信扫一扫4小时速成课程课时四空间几何向量考点重要程度分值常见题型1.向量（点乘、叉乘）★★★0~3选择、填空2.空间平面与直线★★★★★0~7大题3.空间曲线的切线与法平面★★★0~6选择、填空或大题4.空间曲面的切平面与法线★★★0~6一、向量（点乘、叉乘）题型1：aij2kbi2jk求①a及cosb②单位向量e③aba向量点乘公式：ababcos解：a3(2914222b1211416222aeaa312,,ab213223a1,y,z2,y,zbx1122ab1xyyzz1xyyzz21212a21yz221yz11xyze(1,1,1aaaa)ab3362ab必考点）★cbabacacb且（即垂直于a和b所在的平面）注：经常用于求平面的法向量题型2：计算ij2kbi2jk，求ab注意第二项是负解：abijk123231312ijkij2111121217kab)注：叉乘是个向量熟练以后可省略9蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营二、空间平面与直线1)空间平面及其方程点法式方程nP0,y,z00AxxByyCzz0ABCn,,平面的任意法向量p(0,y,z)x00化简得CzAx0By0Cz00任意一点CzD（一般式）02）空间直线及其方程1）对称式方程P0,y,zx00s,,ABCx对称式方程xyyzz000ABCp(,0y,z)00平行于直线的任何s一个方向向量直线上任意一点ByAx112）一般式：AxBy22CzD011CzD022两个平面的交线x3）参数方程yzx0y0z0题型1:求过3个点B2和C2的平面方程解：(故AB就是该平面的一个法向量。ijkn3316021所求平面方程为x3y16z10x3y6z80题型2：已知平面xyz50和5x8y4z0求其交线对称式方程和参数方程x解y5x8yz54z00则ijknijksn11n1143n2584求出方向向量10微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营5.空间曲面的切平面与法线sM点求出的切平面的法向量n即是法线的方向向量s题型2ezz4在点0处的切平面与法线法向量和方向向量求法：1构造F解设Fezz42求F,F,FxyzFy1x则Fx2snyF2ze11zx2y1即切平面为x22yz0法线为z123,,snFFFxyz练习4.1：已知a，b2)，求ab1练习4.2：已知平面6xyz6021平面的法向量2在平面上找一点3求过点3,0,且与已知平面平行的平面练习4.3：过点且平行于直线xxy2y1100的直线练习4.4：求通过两平行直线xy3232z和xy34z1的平面方程32练习4.5：求出曲线xt,yt2,zt3上的点，使在该点的切线平行于平面x2yz4练习4.6：求曲面z2x24y2在点处的切平面及法线方程12微信扫一扫4小时速成课程课时五二重积分考点重要程度分值常见题型1.直角坐标下计算2.极坐标下计算必考~15大题一、直角坐标系下的计算记作：fx,ydDf,被积函数d面积元系D为积分区域xy直角坐标下计算二重积分步骤：1）画出区域D的图形2）写出x，y的范围（重点）3）代入计算（注意：被积函数保留至第三步计算）x型x：常数常数（y：函数函数（x）左x右下y）上xyf(x)f(x,y)f(x,y)右上xyfx左（）下Dy型y：常数常数（x：函数函数（y）下y上x）左x右yxf(y)f(x,y)f(x,y)上右yxfy下左（）D题1：计算，其中D的y1，x2，yx围成.D1.画出区域D图形2.写范围yyx上x型x12:y下y:1x12x3.代入计算注：二重积分中，被积函数必须保留至第三步计算Dx1222x2111111923xx2281y2xy左x右2y型D1y:1221222221y1yxxy:219232yy28113蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营题2.写区域范围专项练习：计算fx,ydD(1)D为y2x，yx2围成D1D2(4,2)x型：x:01D：1:D:2x:14y:x2xy:x2xf(x,y)dxdyDf(x,y)dxdyf(x,y)dxdyDD121x4xdxf(x,y)dydxf(x,y)dy0x1x2(4,2)y型：y:122y2f(x,y)f(x,y)1y2Dx:yy22(2)D为x2y2R2围成x型：x:RRRRy:RxRx2222RRx22f(x,y)f(x,y)RRx22DRy型：y:RRx:R2y2R2y214RRRy22f(x,y)f(x,y)RRy22D微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营题3：计算2，其中D的(2)xy22Dx2y21围成.2解：(2)xy22D222xyDD22DD此处的积分区域D为圆，关于y轴对称故D222xy02x2y2关于x为奇函数221)若被积函数关于x为奇函数，且积分区域D关于y轴对称，则积分为02)若被积函数关于y为奇函数，且积分区域D关于x轴对称，则积分为0（区域D的面积）3)若被积函数f1，则AD3x1交换积分次序题4：f(,y)101：根据范围，画出区域2：把范围写成y型x:13y:0x1xx3yyx1y:02x:y13133：代入原式即把原来x型转化成y型，3x123f(x,y)f(x,y)100y1或者把原来y型转化成x型。二.极坐标下的二重积分（大题中必考）补充知识点：极坐标2.什么是极坐标1.直角坐标转化极坐标15用和表示的函数是原点到函数上点的长度x方法：令ysin例x2y242cos22sin24是和x轴夹角得2（极坐标）蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营极坐标求二重积分方法：画出区域D写出和范围::1（常数）2：1（函数）2代入公式Dfx,y22df,sind11题1：求x2y其中D为x2y242D利用公式带入计算解：①画出区域D②写出和范围Dxydxdy22x:02y24（覆盖整个圆区域）:02222222dcossind002122223ddd30000（任意角度）1833题2.求xy22D为x2y21和x2y24围成的第一象限的部分.D解：①画出区域D②写出和范围③代入公式计算Dx2ydxdy21122：：0122202d201d2cos2622d12sin2d蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营2D为12y题3.求xyx围成的区域.22D解：①画出区域D②写出和范围③代入公式计算：2202：Dx23ydxdy22cos0222cos022138322cosd3329练习5.1：计算二重积分xd区域D由D22y练习5.2：交换积分次序2f(,y0yyx和yx所围成的第一象限部分.2练习5.3：计算二重积分sinx11x0y练习5.4：求D为e22xyDx2y2a2围成的区域。练习5.5：求xy22D为x2(y21围成的区域。D17微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营课时六三重积分考点重要程度分值常见题型1.直角坐标下计算2.柱坐标下计算必考10~15大题★常用函数图形（很常用，必须记住，而且要会画）xyzRzR2x2y2zx2y2zx2y22222一、直角坐标下计算方法记作：fxyz(,,)，f(x,y,z)是被积函数，为积分区域，题型1：计算xy()，其中为平面，xyz0xyz1在第一象限部分。1）画出立体图，确定z的范围直角坐标下计算三重积分套路z1xyz=01)画立体图z:01xy确定z的范围（zz）2）投影到面，确定x和y的范围2)投影图确定区域D的范围（同二重积分）1yx113）代入计算x:01y:01x3)代入计算f(,,1x1xy(dxdy(xydzxy000xyf(x)zz(,y)222f(,,xyf(x)zz(,y)1111xxyxyz000被积函数保留至第三步计算1122xxx2yy18001微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营二、柱面坐标系下计算三重积分（很重要，一定要学会）柱坐标下计算三重积分套路：1）画立体图确定z的范围（zz）2）投影图确定区域D和的范围3）代入计算f(,,x所有的x和y替换ycossin()z(cos,sin)22上ddf(cos,sin,)dz.()z(cos,sin)11下二重积分的极坐标题型1：计算其中是由曲面.z与曲面z4围成.x2y21）画出立体图，确定z的范围2）投影到面，确定和的范围z4范围:xy224:02:02zx2y2243）代入公式求解求投影区域的方法：消去z224d00222zxyz4x2y2412224[z]d2230019微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营题型2.计算.其中是由z2x2y2及zx2y2围成解：1）画出立体图，确定z的范围2）投影到面，确定和的范围z2xy22上面z的范围：xy2xy2222x2y21:02:01zxy22下面z:2223）代入公式2122zdxdydzddzdz原式002171242d20题型3.设是由抛物面zx2y2与平面z1所围成的立体.求的体积（的体积）补充知识点：若被积函数f(x,y,z)1，则V解：:02z1:01211Vdvdddz002熟练之后11112242d224020解题步骤的文字可以不用写z练习6.1：计算三重积分，其中为三个坐标面与xy2围成。3，其中是由练习6.2：计算三重积分z2zxy及z2围成22练习6.3：计算(2y，其中是由平面z4及曲面zx2y2所围成的区域x2)微信扫一扫4小时速成课程课时七第一类曲线积分考点重要程度分值常见题型1.第一类曲线积分★★★★3~8选择填空或大题2.第二类曲线积分★★★★★6~103.格林公式★★★★★6~10大题一、第一类曲线积记作fx,y.L①画图.确定L的函数确定积分区间(a,b).②计算ds③代入公式，计算(,)fxyLLyfx：x:xx12x12()yx22fxfxyxx,11x1x2x1Lxfy：:yyy12yds12xydy2ffyyx2y(),1y1y2y1xxtLyytt:tt12t22()xtyt,1tfxtytx2ty2tt22t1()其中L为连接与B(两点的线段。

题型1.xyL①画图，确定L和(a,b)计算dsy1OB1AxL:yx1x:01y11(222注2：被积函数利用L的函数进行替换，把所有变量变成统一区分：1.二、三重积分的被积函数不能动③代入公式计算2.曲线积分的被积函数一定化成统一L的函数1()[(22xydsxxdxL0注21蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营题型2.其中L为抛物线xdsLxy所从0到1的一段弧2①画图，确定L和(a,b)②计算ds③代入公式计算1L:xy2Lxy:2122xdsy1(2y)L0y:011(2y)2112y14y5510题型3：设L为椭圆xy的周长，则求xy224)12243L若被积函数f(x,y)1，（积分弧段的长度）LL解：xy2212()1213x4y2243(3x4y12L22LL题型4：设L为x2y21的周长，则求(xyL1.若被积函数f(x,y)关于x为奇函数，积分曲线L关于y轴对称，则f(x,y)0L2.若被积函数f(x,y)关于y为奇函数，积分曲线L关于x轴对称，则f(x,y)0L解：(xy0LLL2x2练习eyL.其中L为x2y2a2.yx及x轴在第一象限内所围成边界()练习7.2:设L为x2y21下半圆圆周，求xy22L练习7.3：设平面曲线xy22L:1，则32（设曲线长为a)xy9L22微信扫一扫4小时速成课程课时八第二类曲线积分考点重要程度分值常见题型1.第一类曲线积分★★★★3~8选择填空或大题2.第二类曲线积分★★★★★6~103.格林公式★★★★★6~10大题二、第二类曲线积分，记作(,),)

PxyxyL画图确定L的函数确定起点和终点②将所有变量化为统一，计算PLL:yf(x)x:xx起终将所有y换成x（yf(xdyf(x)dx）xPxfxQxfxfx=,(),()()终x起Lxfy:()y:yy起终将所有x换成y（xf(y),dxf'(y)dy）y[f(yy]f(y)[f(yydy终y起xxLyy:t:tt起终将所有x,y换成t（xxtxt)dt.....yytyt)）t[xtytxt)[xtytyt)终t起其中L从0)沿题型1：计算(xy)(xy)Lyx2到解：①画图，确定L和(a,b)(2,4)2L:yxx:01注1：只论起点和终点，不论大小②统一变量，代入公式计算Lxydxxydy122xxxx2xdx0注2：变量代换yx22123xx2xdx04323蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营题型2.计算，其中L是抛物线yx2上从到B上的一段弧L解：①画图，确定L和(a,b)B2L:xyy:11A②统一变量，代入公式计算1214xydxyy2ydy2ydyL1145注：没有Q(x,y)项，默认为0，不用管,其中L是抛物线练习8.1：计算(x2y)Lyx2上从点0)到点(2,4)的一段弧；，其中L是抛物线练习8.2：计算(xy)(yx)Ly2x上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧。24微信扫一扫4小时速成课程课时九格林公式格林公式（可以看做第二类曲线积分的简便算法）若积分弧段L为封闭的曲线L方向走，DQPPdxQdydxdyxyLD左手边，为正，反之则为负LPdxQdy1)D是L围成的区域2)格林公式是把第二类曲线积分QPxyDdxdy转化成了二重积分计算其结果★为负的情况一般不考3)注意P和Q对应的位置题型1：常规型例：计算曲线积分yxx2224，其中L为Lx2y2R2.L为逆时针解：L为封闭圆周曲线，故运用格林公式p22yQx24xx2y2R2Py2x2Qx2x4QP22yx4x2xyLD2x42x2dxdy2dxdy2AR2DD题型2：缺线补线型eyyeyx222yaxa.y0..其中L为逆时针上半圆周x22L解：半圆周不是封闭曲线，补齐有向线段L，构成封闭曲线。1LPesiny2yxQecosyxDL1Pecosy2xyQxecosyx25蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营由格林公式得QP1xx22(esiny2y)dx(ecosy2)dy()dxdy2dxdy2aaLLxy21DD然后计算在L上的计算积分值1代入y0，被积函数为01:y0x:02a代入eyydxeydyxxsin2cos20L1202aaLLLL11代入y0为常数，故0，含的项为0题型3：积分与路径无关型:（若QPxy,则L与积分路径无关，只与起点和终点有关），例：设L为圆周y4xx2从（0,0）到（2,2）的一段弧，求(x2(xL（解析：若按照第二类曲线积分公式计算，由于被积函数和积分弧段函数复杂，太麻烦）解：px2yQ(xBQpxy1A故积分与路径无关取OAB路径在上积分OA:y0x:022dxdyxdx22083在AB上积分AB:x2y:022(xy(x(2252087则=++cos2533练习9.1:计算(22)(2)，其中L由xxyLyx2xy2围成逆时针方向，其中L沿练习9.2：计算(x2y)dx(xsin2y)dyLy2xx由0)到(2,0)的弧段2，其中L为2)到4)的直线

练习9.3：计算(6xy2y3)dx(6x2y3xy2)dyL26微信扫一扫4小时速成课程课时十第一类曲面积分考点重要程度分值常见题型1.第一类曲面积分★★★3~8选择填空或大题2.第二类曲面积分★★★6~15大题3.高斯公式★★★★★1.第一类曲面积分，记作：fx,y,zds题型1..其中为zx2y2上对应0z1的部分解：第一类曲面积分解题步骤：

1)积分面函数Σ：zx2y21)确定积分曲面：zzx,y2)计算1z2z2xy2)计算ds3)将投影，确定区域Dxyzzxyx2y2x2y2ds1zzdxdy22xy22xy1dxdy2dxdyxyxy2222zzx,y4)代入，1zzxyfx,y,zDfx,y,zx,y1zz22xy3)画出投影图x2y21投影区域:02D：:014)将zx2y2和代入公式计算2221zdsxy2dxdy2dd22300Dxy27蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营题型2.设：x0则求2yzazxyz222222（积分曲面的面积）若被积函数f(x,y,z)1，则A解：0x2yzaz2222222xyzdsads22124aAaaa422练习10.1.计算其中为锥面xy22zxy介于z=0和z=1的部分22其中为球面练习10.2.计算x2x2y2z2a228微信扫一扫4小时速成课程课时十一第二类曲面积分第二类曲面积分（一般不会单独考，在高斯公式中涉及）记作：Px,y,zQx,y,zRx,y,z要在积分曲面上对以上三部分分别计算，三部分解题思路和步骤是一样的，因为过程太

过麻烦，所以基本不考，即使考到，也考其中一部分，，其中是球面1题1：计算曲面积分x2yz上侧在xyz0部分22解：解题思路积分曲面Σ：z1x2y2（最常考的一部分）

例：R(x,y,z)2)投影，确定D1）确认积分曲面：zz(x,y)3)代入计算:02:012）投影，将面，确定3）代入公式计算,,RxyzdxdyD1xy22DRx,y,zx,ydxdyDxy12d1d2600（若沿Σ的上、前、右方积分，为正反之则要加一个负号）29蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营，其中是沿曲面题2：计算曲面积分221xy上侧z41）积分曲面：z42）将曲面投影到xoy面，确定D3）代入计算412D30微信扫一扫4小时速成课程课时十二高斯公式高斯公式（可以看做第二类曲面积分的简单算法，非常常考）若积分曲面为封闭曲面的外侧

1)是封闭曲面围成的空间区域2)高斯公式是把第二类曲面积分转化成了三重积分计算其结果PQRxyz3)注意P、Q、R对应的位置4)题型一：常规性例：计算，其中是x2y2z2a2的外侧解：积分曲面为封闭的，故可以使用用高斯公式PxQyRz一定注意P、Q和R的位置，P1xQ1yRz1以及分别对哪个变量求偏导则1143V3a4a333球的体积公式：43VR3题型二：缺面补面型例：设是锥面zx2y2被平面z0和z1所截得部分的下侧，利用高斯公式计算曲面积分z2z2解：补齐面，则对闭曲面利用高斯公式11:z1PxQyRz22zPx1Qy1R2z2z31蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营利用高斯公式，先求在整个曲面上积分结果1z2z1z11211212dd2dzd00002上的积分结果求在1对于：z1代入原式（dz0，下式中带有dz的项全为0）1z2z111将投影到面上根据第二类曲面积分公式计算：1x2y211xy()用112211.其中为练习12.1:计算曲面积分x32xz23y2zx2y20z1取下侧.练习yxzyxz22是抛物面z2x2y2位2于z0部分的上侧。32微信扫一扫4小时速成课程课时十三常数项级数知识点重要程度分值题型1.概念★略不单独出题2.审敛法★★★★★基础（必考）基础知识3.交错级数★★★0~3选择、填空、大题4.绝对条件收敛★★★0-61.1认识级数

展开式uuuuu记作：unn123nn1n1lims有极限，则级数收敛。反之，级数发散令sn.若nunnn11例1：12nn例2：1n1n2n1111Sn2222n1n111221n11212nnS11111n1limSnlimnnn无极限，故级数1发散n1n1Slim11nnn2有极限，故级数112nn收敛3）性质（常在选择题中考）1.2无穷级数的性质收敛，则0u1）若级数unnnn1UVUnVnnnn1n1n12）nkUnkUnn1n1收收收收发发发发不确定33蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营1.3．两个常用的参照级数1)几何级数（也就是等比数列）nn0若q1，则级数收敛n若q1，则级数发散n1是发散。扩展：2)调和级数nn1n11p则级数收敛np，则级数发散p以上两种参照级数，经常用到，可以作为结论，直接使用2．审敛法（判别级数收敛与否的方法）22n敛散性题型1.判断正项级数nn2n1必要条件：解：un2n2nn2若收敛，则0uu；nnnn12n22u2nnnnn2n211n0故级数发散若u0则级数发散nnn的敛散性题型2.判断正项级数nn12n解：unn2n12n2u3n331n1n223nunn1nn1n1un11unn所以级数发散n的敛散性题型3.判断正项级数()nn12n1nn1解：u()u1nnn2n12n12nnn故级数收敛1u1nnn134微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营题型4..判断正项级数1的敛散性)nn1如果可以用等价无穷小替换则他们有相同的敛散性解：n时，11)~（等价无穷小）nn11和有相同的敛散性故)nnnn1111是调和级数，发散故也是发散的)nnnn113．交错级数（正负项交错）记作：1uuuu1unnn012n

n011例：判断1nnn1敛散性交错级数判定方法：1解：unn1则lim0n11且unun1n1nn故交错级数是收敛的u0nn收敛uun1n注意：一般项u不包括（-1）项n4．绝对收敛和条件收敛1)若n1u收敛，则u也收敛绝对收敛nnn12)若n1u发散，而u收敛条件收敛nnn111例：1nnn1111解:1nnnn1n1发散11而1nnn110nn为交错级数。满足11n1n收敛，故级数为条件收敛35微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营练习13.1：判断下列正项级数敛散性n11）12nn2）n12!nnn3）2nn13n练习13.2：判断级数1n1n1n1n1lnn敛散性36微信扫一扫4小时速成课程课时十四幂级数知识点重要程度分值题型1.收敛半径、收敛域★★★★★基础知识6~102.和函数★★★★★选择3.幂级数展开★★★★★0~8填空大题记作anx展开式2naaxaxax（含x项.且敛散性随x的取值不同而不同）n012n

n11.收敛半径，收敛区间，收敛域

收敛区间收敛域a若n1nan1收敛半径R000xRR(,)x(,)x0验证：xRx(,)x0nxn的收敛半径和收敛域题型1：求11nn1解：an1n1则nan1n1nann1n则收敛半径为R11收敛区间：x(101xnn1为交错级数，满足当x1时，级数1nn111n1n，故收敛。112n1发散的，则收敛域x1当x1时，级数1nnnn1137蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营题型2：求nx2n12n的收敛域(x当作整体a解：n1a21n1nnn12a22nnn则收敛半径R1，收敛区间x2(2)x(0,4)2当x0时，级数是发散的(nn1当x4时，级数1是发散的，则收敛域为x4)n121n2题型3：求nxnn02的收敛半径R2n1a2n121na1n解：nn2nannn12212n1则收敛半径R2x(2,2)，收敛区间x型l这种类型下，忽略l，1收敛半径Rk当x2时，级数是发散的2n1n1当x2时，级数2n1是发散的，则收敛域为x(2,2)n1练习14.1：求n2收敛域练习14.2：(xn2nxnn12n1nn1n1Sx（对幂级数求和）2.和函数，记作：anxnn0性质1：可导并逐项可导nxann1Sxann0n01n性质2：可积并逐项可积Sxaxndxaxn1nn0n0n138微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营麦克劳林公式,最常考11x11x1xx1xxxn2nn01-nx1xx21nx1nn1xn01xn1231xxxnxnxn1x

1)-1x-1n123n1n0ex2n1xxxx1xnn!2!n!n0xnn2n13521xxxnxx1-x12!2n1!nn02n22xxnxnnx-11-1n2!2n!2nn0x题型1：求级数1）求收敛域：n1n1nx的和函数和函数s(x)求法幂级数axnnn1an11a,limnlim1，nnnann1)求出收敛域1收敛半径R1，收敛区间为-2)先积后导或者先导后积3)利用麦克劳林公式当x1时，-1nn发散，nn发散，n1一定注意要先求出收敛域x时，1n发散，故收敛域为-。n12）本题先积后导：设Sxn1n11xxnnn12Sxdxnxdxxxxx001xn1n1111xSxSx11x1x201nnx1xxx21xn039微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营题型2：求n12n1x2n的和函数解：1）求收敛域an1121nan2nan2nnn1R1，收敛区间为(，当x1时，n1(n122n发散，1当x1时，n12n发散，则收敛域为(2n12nxx，两边同除以x2）令s(x)x2n2nn1n1得s(x)x2n，先导后积x2nn1s(x)n12n12n22xxxxxxn1n1n1xxxx(x))(x积分得x2)可得s(x)x2)，(1x242n1x2s(x)x1xx1x220x2要把x2看做整体，对应麦克劳林公式练习14.3：求n1n1xn1和函数练习14.4：求n1n(x和函数n1练习14.5：求2n1的和2nn012n1）（提示：ns(x)2n1xs()22nn0n040微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营3.幂级数的展开（将函数变成级数）1例：f展开成x的幂级数xx23x2解：fx111111x23x2x1x2x1x22x13x111112x13x111231nnnn(x1x(x1xn0n1111xx1(()nnn2233n0n0x2(x(11xx1111nnnnn1n123n0n0x3(x(4)11x(nn1x1n1n1

n023练习14.6：将f(x)3xx22，展开成x2的幂级数41微信扫一扫4小时速成课程蜂考速成课官方公众号：蜂考大学生备考集训营课时十五微分方程(选学)考点重要程度分值常见题型1.可分离变量★★★0~3选择、填空2.齐次微分方程★★★0~33.一阶线性微分方