《线性代数考试重点》

《概率论课本的课后题答案》

概率论考试重点题目（计科院这届大二老师给勾的）

页数：I题目

28页：|9、

56页：|16、22、24

80页：|14、16、17、18、19、20、21

107页：|9、10

110页：|30、

135页：|8、9、10、11、12、13、34、

136页：|28、

第一章行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:

201

⑴1—4—1

-183

201

解1—4—1

-183

=2x(-4)x3+0x(-1)x(-1)+1x1x8-0x1x3-2x(-1)x8-1x(-4)x(-1)

二一24+8+16—4=一4.

“c

⑵cQ

4b

人c

解cQ

4h

=acb+hac+cba-hbb-aaa-ccc=3abc-a3-h3-c3.

111

⑶%bc

a-b2c2

1l

^

解Q

I6Z2z?2

=hc2+ca2+ab2-ac2-ba'-cb1={a-b')(b-c\c—d).

%yx+y

(4)yx+yx

x+y%y

%yx+y

解yx+yx

x+y%y

=x(%+y)y+yx(%+y)+(%+y)yx_y3_(x+y)3_x3

=3%y(x+y)-y3_3x2y-x3-y3-x3=-2(x3+y3).

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数:

(1)1234;

解逆序数为0

(2)4132;

解逆序数为4:41,43,42,32.

(3)3421;

解逆序数为5:32,31,42,41,21.

(4)2413;

解逆序数为3:21,41,43.

(5)13•--(2/2-1)24•••(2H);

解逆序数为若1：

32(1个)

52,54(2个)

72,74,76(3个)

(2九一1)2,(21)4,(2〃一1)6,…,(2/1-1)(271-2)(n-1个)

(6)13…(2H-1)(2M)(2M-2)•••2.

解逆序数为及(〃-1)：

32(1个)

52,54(2个)

(2n-l)2,(2H-1)4,(2H-1)6,•••,(2«-l)(2n-2)(n-\个)

42(1个)

62,64(2个)

(2/i)2,(2及)4,(2八)6,•••,(2n)(2n-2)(n-1个)

3.写出四阶行列式中含有因子41闷23的项.

解含因子即。23的项的一般形式为(-1)d1。23。3/45,

其中小是2和4构成的排列，这种排列共有两个，即24和42.

所以含因子。11423的项分别是

(—1)%11^23^32^44—(-1)%11423a32。44=一〃11^23^32^445

(―1)%11。23。34。42=(-1)2。11。23。34。42=。11^23^34^42-

4.计算下列各行列式：

4124

102

^

720

1017

1

「20

412444

102120-

解12

2032=

43

10171001

01110

4T09±10

12202o

一

一

344一

1017

2141

1

3T21

z2\1

\n71123

6

oMC

21412140240

-11r-

3T213T22M3122

解1-1

123212301230

565622‘40

o2oi1

2140

1

-3722

o

1230=

0o00

岁

4四

3)

-abacae—bee

解bd-cdde=adfb-ce

bfcfbc-e

—111

=adfbce1-1=4abcdef.

QIOe

b1c

4)-oITl

解C

oOT4

1ooIoTo

。1O4

1J1o1o

A一p-

MolTol

-1c­.C

oo1dod

-T

1+aba0|c3+c^cA+abaad

=(-l)(-l)2+1-1c1=-1c\+cd

0-1d\|0-10

=(一1)(一1产11,"]=abcd+ab+cd+ad+1.

5.证明：

a-abb-

(1)2aa-Yb2b二（［一分；

111

证明

a22222

~abb\c2—ct\aah-ab-a

2aa+b2b\\2cib—a2b—2a

1111c3-c,|100

/3Iah-a2h2—a2

(1A+二(b—a)(b-a).=(a—h)3.

=fb-a2h-2a2

ax+byay+bzaz+bxxyz

Q)ay+hzaz+bxax+by=(a3+b3)yzx

az+bxax+byay+bzzxy

证明

ax+byay+bzaz+bx

ay+bzaz,+bxax+by

az+bxax+byay+bz

xay+bzaz+bxyay+bzaz+bx

=ayaz+bxax+by+bzaz+bxax+by

Zax+byay+hzxax+byay+bz

xay-\-bzzyzaz+bx

=a2yaz+bxX+b2zxax+by

zax+byyxyay+bz

XyzyzX

=a3yzx+Z?3zXy

%y.vyz

%yz%yz%yz

yzX+b3yzx=(a3+b3)yzx

z%yz%yz%y

a2(a+1)2(Q+2)23+3)2

b2@+1)20+2)23+3)2

=0;

⑶■2(c+1)2(c+2)2(c+3)2

△(d+1)2("2)2("3)2

证明

a2+D2g+2+92

2)

82+D2s+2)2+12

c2+D2g+22)2+92(C4—C3,C3—C2,C2-C］得)

d2Da93

++1^+

a22a+l2a+32a+5

b220+12b+32b+5

(得)

c~2c+l2c+32c+5C4-C3,C3—C2

d22d+l2"32d+5

22

2

a2a+l22

2o

b2/7+l22=

2

c2c+l22

d22d+l

1L11l

%d7

aZcT

(4)证明a2〃d2

a4c2d4

Z24c4

=(Q—b)(fl—c)(a—d)(b—c)(b—d)(c—d)(a+b+c+tZ);

证明

111l

匕d

〃c

加

I6Z22

〃2J

4c

I6Zc46/4

1111

_0b—ac—ad-a

—0h(h—a)c(c—a)d(d—a)

0b2(b2-a2)c2(c2-a2)d2(d2-a2)

111

=(b—a)(c-a)(d-a)bed

b2(b+a)c2(c+a)d2(d+a)

111

=(b—d)(c-a)(d-a)Oc-bd-b

0c(c-b\c+b+a)d(d-b)(d+b+a)

刘-咏-颂^-颂〜匕皿-叽心屋。）d（d+b+a）

=(a—1b)(a—一d)(b—c)(b—d)(c—d)(〃+Z?+c+d).

xT-ooo

o%1oo

二

6-一1--

5)ooX-=R〃+Q]X〃+,,,+。〃一]X+Q〃.

aa*%%X+

”-2

证明用数学归纳法证明.

当〃=2时，2=）丫』=%2+%%+。2，命题成立.

Ct-）人IC<1

假设对于5-1）阶行列式命题成立，即

&-l=x"x"4...+Q〃_2X+Q"_I,则按第一列展开，有

TOo0

To

2O上2

=XA3-

11X

-1

=xDn-i+an=x"+a\x+•一+an-]X+an.

因此，对于〃阶行列式命题成立.

6.设”阶行列式Q=det（。"），把D上下翻转、或逆时针旋转90。、

或依副对角线翻转，依次得

w(w-l)

证明A=。2=(T)kD,D3=D.

证明因为O=det(旬)，所以

a\\a\n

an\•••a,u,

R=.4"

a\\a\n

〃(〃一1)

=...=(-1)1+2+…+("-2)+(—£)=(_1)—.

=(一1尸(一1)"-2

同理可证

n(n-1)a\\an\〃(〃一1)

4=(一丁...........=（一1）丁少二（一1尸D.

ann

2=(-1尸2=(T)丁（一1）亍。=（一1严2。二。.

7.计算下列各行列式。k为左阶行列式）:

ai

⑴耍,.,其中对角线上都是。，未写出的元素都是0；

1a

解

a0001

0a000

00a00

5=（按第n行展开）

000a0

1000a

ooool

oooo

〃a

十oooo

a+(-l)2n-iZ

a

0000(〃-1)x(〃-1)

a(ZT-I)X(W-I)

a

n2n

二(-1严•(-1)〃+a"=a-a-=a-\a-l).

a(〃-2)(〃-2)

xa•••a

(2)。“=°x---a.

aax

解将第一行乘(-1)分别加到其余各行，得

Q

xaa

0O

a-xx-aO

a—x0x-a…

D=-

a-x000

再将各列都加到第一列上，得

。

x+(n-l)aaa•••O

0x-a0O

00x-a・・・=[x+(n-1)a](x-a)"~1.

0000x-a

an3—1)"(a-n)"

(qfi

(3)%5

aci—1a—n

111

解根据第6题结果，有

111

aci-\a-n

。田二(T尸行列式为范德蒙德行列式.

an~x(”_1严(。一八严

anQT)"(a-n)n

/?(/?+!)

&+尸(—1)丁n[(a—，+1)一(。一/+1)]

w+l>/>j>\

w(n+l)

=(-l)2

n+l>/>j>\

"5+1)〃+(〃-1)+…+1■2

=(-1产"•(-1)一i一•n(j/)

n+l>/>j>\

=no-./•).

n+l>/>J>1

(4)%=£A；

C1U1

C"dn

解

册b„

D2I=夕(按第1行展开)

C1u\

CnL

bri0

°an-\

a}b}6Z]b\

Cjd、+(-1产也Cld\

4Todn-\

0dn0

再按最后一行展开得递推公式

D2n“d“D2n-2—b/1c“D2n—2,即D2n—

Dah

于是ln=ll（M-物）02，而。2=}=44一%,

i=2c\4

所以%=II(M-%).

/=1

(5)D=det(«y),其中aij=\i-j\;

解a^=\i-j\,

0131

〃

1二

1o122

i〃

211〃_3

320〃4

1_

・

-..3一

1

rr1

-21

1

n—1n—2n—3zi-40

o)00o

2o

-00

2o

-0

2-2o

-二

-2

・

--二

2n-32〃-42n-5

n-2

1+q1・…1

1]+%*,…1

(6)2=,其中,…

11-1+a

解

1+q1…1

1

D〃=]+%'''1

11…1+。”

ax00…001

一出

。20•••001

C'l一。2

0一。3〃3…001

与

000;~an-\an-\1

000…0~an1+Q〃

100.00

—110•00七1

0—11•00a31

=Q]42.

000--11an-\

000-0-1l+<

100.00

010-00a~l

001-00a~x

=4%…册

000-01an-l

n

000•••001+%T

/=1

二(q%・・q)(l+

8.用克莱姆法则解下列方程组:

X}+X2+X3+X4=5

X]+212-毛+4%=-2.

⑴9

2石—3%2一毛―5%4=-2

3X1+X2+2X3+].1X4=0

1111

1

1141

12zA

Ct

解因为。=S-5=-142,

0211

3-31

5-15-1

))

24141

A二2-2

-52r

2--2-5

13

o)-131o)11

y51

241

2<t-

-C1-

M-2-5-142

-3-2O112

所以Xl=~D=i,X2=-D=2,天吟=321

5玉+6%2=1

X1+5X2+6X3=0

(2)｛々+5七+64=0.

X3+5X4+6X5=0

X4+5X5=1

解因为

56000

15600

J01560=

I00156

00015

160005000

1

56000

1cl(60

15600u560

4=0156=1507,D2=0156=-1145,

100150015

1

56005600

15o00156o0

A01o60015o0

00o56001o6

00l150005

56001

1560O

A0156O

0015O

000

_1507_1145_703_-395_212

-6iz6a5z.，'2—6/-6/；5c，13-6a6r5c，*4-6a6a5z.，%—665<•

Axl+x2+x3=O

9.取何值时，齐次线性方程组匹+偌2+毛=0有非零解?

xt+2/Z¥2+x3=0

解系数行列式为

All

D=1R]=4一,2.令0=0,得//=()或/^1.

12〃1’

于是，当片0或加1时该齐次线性方程组有非零解.

[(1-4)%]—2X2+4毛=0

10.刃取何值时，齐次线性方程2%+(3-团%2+%3=0有非零解?

[■X]+马+(1—力W=0

解系数行列式为

1—A—241—/i—3+44

D=23-A121—711

111-/1101-Z

=(1—/l)3+(/l—3)—4(1—/I)—2(1—/l)(—3—A)=(1—/l)3+2(1—A)"+A—3.

令D=0,得心0,A^2或入3.

于是，当曲),心2或入3吐该齐次线性方程组有非零解.

第二章矩阵及其运算

代=2%+2%%

1.已知线性变换：卜2=33+%+5%,

昌=3%+2%+3%

求从变量XI,%2,83到变量乃,”,为的线性变换.

解由已知：

21y\

51

1y

22

3y

2

zXT

y221、T9

/M-7

故56

y313

m2=<I_

—32332

ky-7

27,-4

y——7%-4%2+9%3

%=6%]+3%2—7%3.

%=3%]+2%2—4%3

2.已知两个线性变换

卜]=2%+%W=-3Z1+Z2

但=-2%+3%+2%,户2=2%+Z3

〔不=句+%+5%[为=—Z2+3Z3

求从Zl,Z2,Z3到%1,%2,%3的线性变换.

201丫弘01Y-31

解由已知2°)

-232%32201

15人0-1V

f-61(Xi=-6Z]+Z2+3Z3

=12-4，所以有卜2=12&-422+923.

—10—1[A3=-10Z1-Z2+16Z3

fl11、(123)

3.设4=11-1,B=-1一24,求3AB-2A及ATB.

(1-11J1°51J

解

fl123、fl11、

3AB-2A=311-24-211—1

U-i51-11

7

58

o56fl11)f-21322}

一ro

一--211-1-2-1720

90Li-iiJI429-2)

4.计算下列乘积:

4x7+3x2+lxl)(35、

lx7+(-2)x2+3xl6

5x7+7x2+0xl,

解(123)2=(lx3+2x2+3xl>(10).

3

(2}

(3)1(-12);

⑶

(2x(-1)2x21(-24、

解1(-12)=1x(-1)1x2=-12

、3x(—l)3x2,[36,

(\311

⑷(2140^0-12

⑺(1-134j1-31

(40-2)

fl31)

2140)0-12f6-78^

解1-134j1-31(20-5-6J-

(40-2)

入？*^*3)2^^97〃23

I。13“23a33

解(%x2七)《2。22。23

/%]、

=(。1[%]+4]2%2+“1/3112%1+。22%2+。23%3。13%1+。23%2+。33%3)X2

XX

=+。，2芯+/3后+2%2\2+2。13%七+2见3工2X3•

z12X/1O\

问

5设A/11

-=nuB=u

\13/k12/9

(\)AB=BA吗？

解AB^BA.因为",I),所以ABwHA

(2)(A+5)2=A2+2AB+B2吗？

解(A+B)2^A2+2AB+B2.因为A+B=(^

(A+5)2=(；5J229}

但屈+2W叫通+(*MW喉部

所以(4+B)2WA2+2AB+#.

(3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗？

解(A+B)(A-B)^A2-B2.

因为4+5=e5}4-3=1。，

(A+B)(A-B)=g兼通

而4一¥=(：：J_(；?=(常)，故5+切俗一切却一破

6.举反列说明下列命题是错误的：

⑴若4=0,贝L

解取A=[o)?贝UT=0,但AW0.

⑵若4=4贝l」A=0或A=£；

解取A=1：J则屋=4但AM且AWE.

(3)若AX=AY,且AM,贝l」X=Y.

解取44o}X=(，J)，F；)，

贝I」AX=AY,且AwO,但X^Y.

7.设1)，求T),…，屋

10Y10

A3=A2A=221U

Ak=U?)

(A1OA

8.设4=041,求屋.

(00刈

(41oY/t10、(无2411

解A2=0410210咫2/1

I。0矶00%(00刃

(%373公

A3=A2-A=0矛3咫

、00无)

〃4无6/、

屋=432=0少4才，

、00尤,

(九5/10均

A5=A4.A=0犬5无

、00九

‘龙k无7丝@无一2、

k2

AA-—0无球T

00无

用数学归纳法证明:当k=2时，显然成立.

假设女时成立，则上+1时，

无

无

左A1

o无o4OlA

k+

A-A-A=OoO0

^J

/元+i/+1）无t缺四犬/

=0元+1/+1）无T,

00无+i

I）

由数学归纳法原理知：

「无人比T”1元-2、

2

Ak=04尤t.

00比

I7

9.设46为〃阶矩阵，且A为对称矩阵，证明3幺3也是对称

矩阵.

证明因为*=4,

所以（方幺从而3幺8是对称矩阵.

10.设A,6都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要

条件是A3=3A.

证明

充分性：因为“=4炉=5且46=氏4,

所以（46）7=（比1）7="6三钻，即A6是对称矩阵.

必要性：因为“二人父二民且(A6)r=A6,

所以AB=(AB)T=BTAT=BA.

11.求下列矩阵的逆矩阵：

⑴Q

解A=Q。昨1,故一存在.因为4晓豺=97

故4肉*=(*2丹

cosS-sin^Y

，)(sinecose)

解H潞二歌•囿TW故A-1存在.

因为4侥③=(嚅黝

所以小#Y湍般.

<12-1A

⑶34-2;

(5-41J

<12-H

解A=34-2.|A|=2wO,故N存在.

15-41

AA4>

1211

Af-420)

A2242

2=-136-1

4A4

32337(-3214-2,

1-210、

所以f

“a20

(4)(]42…M).

0

k、

4u

解A=%.,由对角矩阵的性质知

0

Ian)

成X0

y^-1-

oX

Ia>u

12.解下列矩阵方程：

⑴K3X2I6}

4223

解2O8

⑵

解

fo1oWioo)fl-43、

(4)100X00120-1

(00V(01oj(1-2Oj

fO1OYYI-43Y100Y1

解X=10020-1001

(001JU-20人01oj

<01OY1-43Y100)(2-101

二10020-1001=13—4

(00认1-20Xo1OjU0-2j

13.利用逆矩阵解下列线性方程组:

%]+2/+3%3=1

(1)<2%+2%2+5%3=2;

[3%+5%2+%3=3

fl3丫矶

解方程组可表示为25x2

132

1人七,

/\12

/七!

故22

々

一

m一，从而有＜

七I35

\7

(2)<2X]-X2-3X3=1.

3%]+2%2—5%3=0

111

-A

23

-1

解方程组可表示为325

‘

1-1⑶⑸X1=5

故超2-1-310，故有4%2=0.

32-5；1^0；刍=3

14.设屋=。（人为正整数），证明（E-㈤一工E+A+PF-+屋］

证明因为Ak=O,所以E-Ak=E.

又因为E-Ak=(E-A)(E+A+A2+---+Ak~^,

所以(£-A)(E+A+A2+---+Ak~])=E,

由定理2推论知(E-A)可逆，且(E-Ayl=E+A+A2+--•+AA-1.

证明

一方面，有E=(E-A)T(E-A).

另一方面，由屋=0,E=(E-A)+(A-A2)+A2--------Ak-l+(Ak-1-Ak)

=(E+A+A2+--•+A^-1)(E-A),

故(E-Ay\E-A)=(E+A+A2+---+Ak-l)(E-A),

两端同时右乘(E-A)T,就有(E—A)T(E—A)=E+A+A2+••・+屋-1.

15.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆，并求

A-1及(A+2E尸.

证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,

即A(A-E)=2E,或A-^A-E)=E,

由定理2推论知A可逆，且£).

由^-A-2E=0得A2-A-6£=-4E,gp(A+2E)(A-3E)=-4E,

或(A+2E)-1(3E-A)=E

由定理2推论知(A+2E)可逆，且(A+2£)T=；(3£—A).

证明

由A2-A-2E=O得A2-A=2E,两端同时取行列式得麻_川=2,

即\A\\A-E\=2,故|A|M,

所以A可逆，而A+2氏4,融+2目=用=囿2,0,故A+2E也可逆.

由A2-A-2E=OnA(A-E)=2EnA-iA(A-E)=2A"nA-'=^(A-E),

又由A2-A-2E=O^(A+2E)A-3(A+2E)=-4E

=>(A+2E)(A—3E)=—4E,

所以(A+2E)T(A+2E)(A—3石)=—4(A+2E)-1,

(A+2E)T=；(3E-A).

16.设A为3阶矩阵，|川号，求|(2A尸-5A*|.

解因为肥=占4*,所以

Ml

|(24尸一5A*|=|；A-1一51A|A-1|A一1一,A』

=卜24寸=(-2)3|AT|=-8|A|T=-8X2=—16.

17.设矩阵A可逆，证明其伴随阵A*也可逆，且(A*)7=(AT)*.

证明由U点A*,得4*=囿4一1所以当A可逆时，有

|A*|二|川"闫」=囿"-90,从而A*也可逆.

因为A*=H|A,所以(4*尸平「％.

又止击&甘冒川什】)*,

IA|

所以(4*尸=囿-%斗4「囿(4一1)*=(4一1)*.

18.设场阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明：

⑴若以|=0,则|A*|=0;

(2)|A*|=*T.

证明

⑴用反证法证明.假设H*|M,则有A*(A*)-1=£,由此得

4=AA*(A*)T=|A|E(A*)T=O,

所以A*=。，这与|A*|WO矛盾，故当囿=0时，有H*|=0.

(2)由于Uj/*,贝IJ44*=|A|E,取行列式得到囿以*|二囿".

若囿WO,则|A*|=|A|i;

若囿=0,由⑴知-*|=0,此时命题也成立.

因此|A*|=RL.

(0331

19.设4=110,AB=A+2B,求区

1-123；

解由AB=A+2E可得(A—2E»=A,故

f-233丫7033、f033、

6=缶-2£尸4=1—10110=-123

1T21Jl-l23；1ioJ

fio-

20.设A=020,且AB+E/hB,求B.

U01J

解由AB+E=A2+B^(A-E)B=A2-E,

即(A—E)3=(A—EXA+E).

001

因为M-EbO10=-1题，所以(A-E)可逆，从而

100

(101}

B=A+E=030.

U02；

21.设4=diag(l,-2,1),A*BA=2BA-8瓦求正

解由A*3A=23A-8£得

(A*-2E)BA=-SE,

5=-8(A*-2E)-1A-1=-8[A(A*-2E)]_|=-8(A4*-2A)-1

=—8(H|E—2A)T=-8(-2E-2A)-1=4(E+A)-1

=4[diag(2,-1,2)]-1=4diag(1,-1,1)=2diag(l,-2,1).

"1000、

22.已知矩阵A的伴随阵A*=1Q1Q,RABA-}=BA-l+3E,

、0-308,

求A

解由|A*|二|A?=8,得囿=2.

由ABA-}=BA~l+3E得AB=B+3A,

B=3(A—E)-1=3[4(E—AT)「A=3(E—；4*)T=6(2E-A*)T

/1ooo16000\

01oo06001

6I1

7o10-6060H

t

03o03077

-6

23.设—AP=A,其中尸A=(1%求屋.

解由kAP=A,得4=尸人尸\所以A“=A=PA"pT.

四=3,*(二iU中「力

1o1o

而

A11o2o，

4)

11十;一册却储3_f27312732、

故A\一(一683-684；,

I31)

A1“f-11

24.设AP=PA,其中尸=10-2A=1

b-iU

、5,

求44)二屋(5£-64+人2).

解^(A)=A8(5E-6A+A2)

=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(l,l,25)]

=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(l,0,0).

阳)"人尸若尸夕(人)尸*

lo

ooOoY-2-2-2

oo3

25.设矩阵A、B及A+B都可逆，证明也可逆，并求其

逆阵.

证明因为*(4+3)对=尸+4-|二47+3，

而A-\A+B)B-l是三个可逆矩阵的乘积，所以A-^A+B^可逆,

-|-1

即A+5可逆.(AT+BT)T=MT(A+3*T]T=3(A+8)TA.

121103n

26.计算0101012-1

002100-23.

000000-3)

23

o-3

则

I。4人。与广1。A2B2y

而451+B2=Q2Y3_1Yr-2_3AJ5_2^

21343

41-

o3-o23