数学模型市场经济中的蜘蛛网图片暑期选讲

1数学模型中南大学数学科学学院应用数学与应用软件系2

市场经济中的蜘蛛网模型

在自由贸易市场上你注意过这样的现象吗：一个时期由于猪肉的上市量远大于需求，销售不畅导致价格下降，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其他农副产品。过一段时间后猪肉上市量大减，供不应求导致物价上涨。原来的饲养户看到有利可图，有重操旧业。这样下一个时期会出重现供大于求，价格下降的3局面。在没有外面干预的情况下，这种现象将如此循环下去。在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可避免的。因为商品的价格是由消费者的需求关系决定的。商品数量越多价格越低。而下一时期商品的数量由生产者的供求关系决定，商品价格越低生产的数量就越少。这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是震荡的。在现实世界里这样的震荡出现不同的形式，有的振幅渐小4趋向平稳，有的则振幅越来越大导致经济崩溃。当然政府会对后者采取干预手段。这一节我们先用图形方法建立所谓“蛛网模型”，对上述现象进行分析，讨论市场经济趋于稳定的条件。用分差方程建模，对结果进行解释，并适当推广。5

蛛网模型

记第k时段商品的数量为xk,k=1,2,…。这里我们把时间离散化为时段，一个时段相当于商品的一个生产周期，如蔬菜、水果可以是1年，肉类则是一个饲养周期。同一时段商品的价格yk取决于数量xk

,设

yk

=f(xk)

(1)它反映消费者对这种商品的需求关系，称为需求函数。因为商品的数量越多价格越6低，所以在图8-1中用一条下降曲线

f表示它，f

为需求曲线。

下意识段商品的数量xk+1由上一时段价格yk决定，设

xk+1=h(yk),或yk=g(xk+1)(2)它反映生产者的供应关系，称供应函数。因为价格越高生产产量才越大，所以在图中供应曲线是一条上升曲线。7

图中两个曲线相交于P0(x0,y0)点。P0是平衡点，因为一段对某个

k

有xk

=x0，则由(1)、(2)可知yk

=y0

，xk+1=x0,yk+1=y0,…，即商品的数量和价格将永远保持在p0(x0,y0)点。但在实际生活中的种种干扰使得x,y不可能停止在P0点，不妨设x1偏离x0(如图8-1）。我们分析随着k的增加xk,yk的变化。8图8-1

需求曲线f和供应曲线g，

p0是稳定的平衡点9

数量x1给定后，价格y1由曲线f上的P1点决定，下一个时段的x2由曲线g上P2点决定，y2又由f上的P3点决定，这样得到一些列的点P1(x1,y1),P2(x2,y1),P3(x2,y2),P4(x3,y2),…，在图8-1上这些点将按箭头所示方向趋向于P0(x0,y0),这表明P0是稳定平衡点，意味着市场经济（商品的数量和价格）将趋向稳定。但是，如果需求函数和供应10函数由图8-2的曲线所示，则类似的分析发现，市场经济将按照P1,P2,P3,P4，…的规律变化而远离P0，即P0不是稳定的平衡点，市场经济趋向不稳定。11图8-2P0是不稳定的平衡点12

图8-1和图8-2中折线P1P2P3P4…形似蛛网，于是，这种需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学上称为蛛网模型。实际上，需求曲线f和供应曲线g的具体形式通常是根据各个阶段商品数量和价格的一些列统计资料x1,y1,x2,y2,…得到的。一般地说，f取决于消费者对这种商品的需求程度和他们的消费水平，g

则与生产者的生产能力、经营水平13等因素有关。一旦需求曲线和供应曲线被确定下来，如何判断它们的交点—平衡点P0得稳定性呢？从图8-1和图8-2不难看出，当市场经济偏离P0点不大(|x1–x0|较小)时，P0点得稳定取决于f和

g

在P0的斜率。记f在P0点斜率的绝对值（因为它是下降的）为Kf，g

在P0点的斜率14为Kg

，则当

Kf

<Kg

(3)时P0是稳定点的（图8-1），而当

Kf

<Kg

(4)时P0点是不稳定的（图8-2）。由此可见，需求曲线越平，供应线越陡，越有利于经济稳定。在对这种现象作出15解释之前，我们先利用差分方程将蜘蛛网模型的结果用公式表示出来。差分方程形式在P0点附近取函数f和h的线性近似，设（1）、（2）式分别近似为

yk

–y0

=α(xk–x0),α>0

(5)xk+1–x0=β(yk–y0

),

β>0(6)16消去yk

,(5),(6)可合并为

xk+1=(-αβ)kxk+(1-(-αβ)k)x0

（k=1,2，…）

(7)（7）是一阶线性差分方程，对k递推不难得到

xk+1=(-αβ)kx1+(1-(-

(8)17由此可得，当k∞时xk

x0,使得P0稳定的条件是

αβ<1

或

α<1而k∞时，xk∞,即P0点不是稳定点的条件是

αβ<1

或

α<1

注意到(5)、(6)式中α、β的定义，有Kf=α，kg=，所以条件18

(9)、(10)与蛛网模型的(3)、(4)式是一致的。模型解释首先考察α、β得含义。需求函数f

的斜率α（取绝对值）表示商品供应量减少1个单位时价格的上涨幅度；供应函数h的斜率

β

表示价格上涨1个单位时（下一时期）商品供应的增加量。所以α的数值反映消费者对商品需求的敏感度，如果这19这种商品时生活必需品，消费者处于持币待购状态，商品量少缺，人们立即蜂拥购买，那么α会比较大；反之，若这种商品非必需品，消费者购买心理稳定，或者消费水平低下，则α值小。

β的数值反映生产经营者对商品价格的敏感度，如果他们目光短浅，热衷于追逐于一时的高利润，价格稍有20上涨立即大量增加生产，那么β值会比较大；反之，若他们素质较高，有长远的计划，则β较小。根据α、β的意义很容易对商场经济稳定与否的条件(9)、(10)做出解释。当供应函数g,即β固定式，α越小，需求曲线越平，表明消费者对商品需求的敏感程度越小（使(9)式成立），越利于经济稳定。当需求函数f

，21即α固定时，β越小，供应曲线越陡，表明生产者对价格的敏感程度越小(使(9)式成立),越利于经济稳定。反之，当α、β较大，表明消费者对商品的需求和生产者对商品的价格都很敏感，则会导致经济不稳定。从上述分析还可以看到，当市场经济趋向不稳定时政府有两种干预办法。一种办法是使α尽量小，极端情22情况是α=0，即需求曲线水平，这时不论供应曲线如何（即不论β多大），总是稳定的。这相当于政府控制物价，无论商品数量多少，命令价格不得改变。

另外一种办法是使β尽量小，极端情况β=0，即供应曲线竖直，于是不论需求曲线如何变化（即不管α多大），也总是稳定的。这相当于控23制市场上商品数量，当供应少于需求时，政府从外地购买或调拨，投入市场；当供过于求时，政府收购过剩部分，维持商品上市不变。模型的推广如果生产者的管理水平更高一些，他们在决定商品生产数量xk+1时，不是仅根据前一时期的价格yk

，而是更具前两个时期的价格yk和yk-1

。为了简单起见不妨设取二者的平均值(yk+yk-1)/2，24于是供应函数(2)式表示为（11）在P0点附近取线性近似时（6）式表示为

（12）25β含义不变。又设需求函数仍为（1）、（5）式表示。则由（5）、（12）式得到（13）（13）是二阶线性差分方程，为了寻求k∞时xkx0

，即P0点稳定的条件，不必解方程（13），只须利用判断稳定26条件—防城特征根均在单位圆内（见8.6节(9)式）。因为方程（13）的特征方程

容易算出其特征根为(14)27当αβ>8时显然有从而，|λ2