向量模型在数学复习中的应用

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向量模型在数学复习中的应用

XX市第三高级中学顾晓骅214026

向量是数学中十分重要的概念，在新课标中，向量以两个不同的层次平面向量与空间向量进入教材，向量的应用十分广泛，它是三角、代数、解析几何、立体几何等多种学科联系的纽带。作为一种数学或物理模型，具有很强的工具性。向量不仅是一个数学运算的对象，更是一种数学模型，一种数学观念。引进向量来处理问题，有时很快捷，也很简单明白。在历年的高考中，向量屡屡作为被考察的对象，地位逐年上升，形式也产生变化。教育部考试中心任子朝先生指出“向量已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。〞因此，高三数学复习要重视向量的这种模型作用。本文结合多年的高三复习经验，谈一点个人的想法。

(1)向量知识在代数中的应用利用向量数量积的一个重要性质|a变形为|ab||a||b|，b|2|a|2|b|2可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的题目，采用构造向量去解往往能化难为易，同时有效地提高学生的观测分析能力和想象能力。

例1：设x,yR,求证x4y4x2y2x3y32

分析不等式左边可以看作两向量x2,y2,x,y模平方的积，不等式右边可看作两向量

ax2,y2,bx,y内积的平方，所以有

x3ycosx4y4x2y2

223

22例2：设xR,求函数yxx1xx1的值域。

分析：由函数的结构，可将其变形为向量模的形式，然后再利用向量模的性质进行解题：

2211322x,yxx1xx1x222222

11则有y,x,构建向量

x,2222

由于

1,0y1.1，1。所以函数yxx1xx1的值域为22

（2）向量知识在立体几何中的应用

现行立体几何最大的变化是引进空间向量，空间向量已是立体几何中的重要内容，它改变了以往立体几何中

单一的规律证明的思维方法和解题方法，由于用向量来运算避免了繁琐的定性分析，使问题得到了大大简化。例3：如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC

2，BAA123

CAA1

3,ABAC1,AA12,点O是B1C与BC1的交点。（1）求AO与BC所成的角；（2）平面ABC与平面B1BC1C是否垂直？为什么？分析：已知条件集中在A处，应选择,,AA一组基底。1为

解：（1）设,,AA1,D为BC的中点，则

11,,22

所以11

22

1

111

332

14

212

3

)43326(ba)22,

22,

所以cos,=

3,所以AO与BC所成的角为3.33(2)

由于1,所以AD11)0222

所以

,故AD

BC,又BB1

AA11

2

=12coscos)0,所以BB1ADBB1,233

于是AD面BCC1B1,所以面ABC面BCC1B1。

像此题用向量解几何题的思路和方法，是向量应用的上乘之作，其实这种用法的出发点十分简朴；向量的纯粹运算用的只是向量之间的相互表示。另外此题假使建立空间直角坐标系来用向量的数量积，或用传统立体几何方法求解，那都是一件繁事。又如2023年XX高考卷立几题的其次问也可采用向量法来解，更显简单。我们要勉励学生灵活选用不同的方法解决立体几何问题。

（3）向量知识在解析几何中的应用

高考命题中对知识综合性的考察，往往在知识网络交汇点上设计试题，重视学科的内在联系和综合，而向量

则是三角函数、解析几何等多学科知识的交汇点。因此也是高考的命题热点。

例4已知定点F为（0,a）（a≠0），点PM分别在x,y轴上，满足0，点N满足。

（1）求点N的轨迹方程C

AGB（2）过F作一条斜率为k的直线l，l与曲线C交于AB两点，设G（0,a），

解(2)：由题意知，直线l的方程为y=kx+a,代入x2=4ay得x2-4akx-4a2=0

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4ak，x1x2=-4a2。

∴y1+y2=(kx1+a)+(kx2+a)=k(x1+x2)+2a=4ak2+2a，

y1y2=(kx1+a)(kx2+a)=k2x1x2+ak(x1+x2)+a2=-4a2k2+4a2k2+a2=a2.

∵G(0,-a),∴GA=(x1,y1+a),GB=(x2,y2+a).∴=x1x2+(y1+a)(y2+a)=x1x2+y1y2+a(y1+y2)+a

=-4a+a+a(4ak+2a)+a=4ak0.

2222222，求证:02

cos0，∴cos0，∴0

2.

又点G(0,-a)不在直线l上，∴A,B,G三点不共线.∴0

2.

此题由角的范围想到角的余弦值的正负，进而想到向量的数量积公式，转化为直线和