向量相等与共线向量学案

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必修42．1．2

相等向量、平行向量与共线向量

1.能举例说明相等向量和共线向量的含义；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

1.2.通过对向量的学习，使同学们初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；培养同

学们认识客观事物的数学本质的能力.

理解并把握相等向量、共线向量的概念.

平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

1.请同学们课前将学案与教材P74?79结合进行自主学习（对教材中的文字、

图象、表格、符号、观测、思考、说明与解释、例题、阅读与思考、小结等都要细心阅读）、小组组织探讨，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；

2.在学习过程中用好“十二字学习法〞即：“读〞、“挖〞、“举〞、“联〞、“用〞、“悟〞、“听〞、“问〞、“通〞、“总〞、“研〞、“会〞，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.

一、学习准备

前面我们学习了向量相关概念，请同学们回想后完成以下填空：

1.向量的定义；2.数量与向量的区别；3.向量的模；4.向量的几何表示；5.零向量是；6.单位向量是：；7.平行向量的定义二、学习探究

既然我们学习了向量的概念，我们自然就要想一些问题，如：向量有相等吗？向量能比较大小吗？等，下面我们就来做一些探究吧！

1.相等向量请同学们观测图2.1.2-1的三组向量中a与b各有怎样的关系与特征？

ab图2.1.2-1abab●归纳概括相等向量：

挖掘拓展（1）向量由其模和方向所确定．对于两个向量a、b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？

（2）两个向量有相等、不相等，那么能比较大小吗？为什么？请举例说明？（链接1）（3）相等向量是否指起点和终点都一致的向量？

2.共线向量

阅读思考（1）假使两个向量所在的直线相互平行，那么这两个向量的方向有什么关系？（2）方向一致或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行记作a∥b，那么平行向量所在的直线一定相互平行吗？

3.任一组平行向量是否都可以移动到同一直线上？那么，几个相互的平行向量也叫做向量．

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●归纳概括共线向量：

●开心体验判断以下各命题是否正确

(1)若｜a｜=｜b｜，则a=b；(2)若a=b,b=c,则a=c

(3)若A、B、C、D是不共线的四点,则AB=DC是四边形ABCD是平行四边形的等价条件.

(4)平行向量就是指相互平行的直线上的向量.

（5）AB=CD的等价条件是A与C重合，B与D重合.

同学们通过探究与体验后，对向量共线有哪些感悟，能对此进行挖掘拓展吗？挖掘拓展

（1）假使非零向量AB与CD是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？（2）平行向量与共线向量有怎样的关系？（链接2）

（3）在直角坐标系中，任意一个向量a，可以平移到以原点o为起点的向量吗？平移后的向量与原来的向量有何关系？有没有不同的地方？（链接3）三、典例赏析

例1.判断以下命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D

④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB＝DC；⑤共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．

解后反思求解该题用到哪些知识？前面学习的相关知识中哪些是易混淆的？变式练习以下命题正确的是（A．a与b共线，b与c共线，则a与cB．

C．向量a与b不共线，则a与bD．有一致起点的两个非零向量不平行

例2（课本76页例2）如图2.1.2-2，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量

思路启迪：既要考虑模相等，还要考虑方向一致哦.解：

解后反思该题的题型怎样？求解时用到哪些知识与方法？●变式练习在图2.1.2-2中

(1)与向量OA长度相等的向量有_______个；

(2)写出与向量OA长度相等且方向相反的向量_______；图2.1.2-2

(3)与向量OA共线的向量有______________________.例3.某人从A点出发向西走了200m到达B点,然后改变方向向西偏北60°走了450m

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到达C点,最终又改变方向,向东走了200m到达D点．(1)作出向量AB、BC、CD(1cm表示200m)；

(2)求DA的模．

变式练习已知|AB|=1,|AC|=2,若∠BAC=60°,则|BC|=．

解：

四、学习反思

1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：相等向量、共线向量的概念都理解与把握了吗？平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系都弄明白了吗？

2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学与课堂美在哪里吗？

1.在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则（A．AB与AC共线B．DE与CBC．ADsin?1

?与AE相等D．AD与BD相等

2.以下命题正确的是（

A．向量AB与BA是两平行向量；B．若a、b都是单位向量,则a=b；C．若AB=DC,则A、B、C、D四点构成平行四边形；D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点一致.3．在以下结论中,正确的结论为（(1)a∥b且|a|=|b|则a=b(4)若a≠b则

；(2)a=b则a∥b且|a|=|b|；

(3)a与b方向一致且|a|=|b|则a=b；

a与b方向相反或|a|≠|b|.

A．(1)(3)B．(2)(3)C．(3)(4)D．(1)(3)(4)

4．在四边形ABCD中,AB=DC,且|AB|=|AD|,则四边形ABCD是．5.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证：KL=NM．

6.如图2.1.2-3,已知四边形ABCD是矩形,设点集M={A、B、C、D},求集合

T?PQ|P?M,Q?M且P、Q不重合.

图2.1.2-3

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7.教材P77页练习2、4；77页习题2.1A组2、3、4、5、6；B组1,2.

◆承前启后本节课我们学习了向量相等、共线向量等关概念，那么与向量还有哪些知识呢？向量怎样运算呢？

链接1.两个向量不能比较大小，只有“相等〞与“不相等〞的区别.

链接2.平行向量就是共线向量;共线向量不一定就是平行向量.

链接3.平移后的向量与原向量相等，但后面的向量的起点已固定，二向量a是自由的，所以前面向量a也叫自由向量.

课外阅读向量知识在中学有着十分重要的地位和教育价值，它的工具性特点在数学的大量分支中都有表达，特别在高等数学与解析几何中，向量的思想渗透的很广泛！将向量引入高中数学教材，并做为一种基础理论和基本方法要求学生把握。这是由于向量知识具有以下几大特点和需要.

首先，利用向量解决一些数学问题，将大大简化原本利用其他数学工具解题的步骤，使学生多把握一种行之有效的数学工具.

其次，向量的引入将使高中数学中“数形结合〞理论得到新的解析，为在高中数学贯彻“数形结合〞的教学理念提供一种崭新的方法.

向量具有很好的“数形结合〞特性.一是“数〞的形式，即利用一对实数对既可表示向量大小，又可以表示向量的方向；二是“形〞的形式，即利用一条有向线段来表示一个向量。而且这两种形式又是密切联系的，它们之间可以利用简单的运算进行相互转化。可以说向量是联系代数关系与几何图形的最正确纽带。它可以使图形量化，使图形间关系代数化，使我们从繁杂的图形分析中解脱出来，只需要研究这些图形间存在的向量关系，就可以得出确切的最终结论。使分析思路和解题步骤变得简单流畅，又不失严密.

第三，向量概念本身来源于对物理系中既有方向、又有大小的物理量，即物理学中所称的“矢量〞的研究。其实，“向量〞和“矢量〞是在数学和物理两门学科对同一量的两种不同称呼而已。在物理学中，矢量是相对于有大小而没有方向的“标量〞的另一类重要物理量。几乎全部的高中物理学理论都是通过这两类量来阐释的。矢量广泛地应用于力学（如力，速度，加速度等）和电学（如电流方向，电场强度等）理论之中，在高中新教材中引入向量章节，对向量进行系统深入的学习和研究。对同学们在物理课上