第讲 数学：微分学二新

PAGEPAGE7页2．左、右极限在函数极限的概念中，自变量的变化趋向，x可以从x0的左、右两侧趋向于x0但有时只需考虑x仅从x0的左侧趋向于x0（记成），或x仅从x0的右侧趋向于x0（记成）若当时，f（x）无限趋近于常数A，则称f（x）当时的左极限为A，记成或。类似地，有f（x）当时的右极限，记成或，以及与。函数f（x）当（或）时的极限存在的充分必要条件，是函数的左、右极限均存在且相等，即3．极限运算法则（l）（极限的四则运算法则）注意：上述记号“lim”下的自变量变化过程可以是、、、、、，但等号两端出现的必需是同一种。（3）（复合函数的极限运算法则）设函数y=f[g（x）]是由函数y=f（u）与函数u=g（x）复合而成，f[g（x）]在点x0的某去心领域内有定义，若，，且存在当时，有，则（二）极限存在准则和两个重要极限1．夹逼准则和极限准则I（数列情形）若数列且xn、yn、及zn满足条件：（n=1,2,3，…）且则数列xn的极限存在且准则I’（函数情形）若函数f（x）、g（x）及h（x）满足条件：价利用准兼则卷I椅’跃，可得一个重蒸要极限畅2净诚．单调有界准舱则和极限展准钩则检II险国单调有界的数竟列（或函数）村必有极限。枝利用准狸则也I鞭I游，可得另一个咱重要极限哗其申中旋e芹封是一个无理数对，尝e=2予.7182据8婶袍…特专…校精（三）无穷小念的比较版劳设宿且a柔捡及坟都是在同一个亦自变量变化过勇程中的无穷要小众,睡且毛0酷，宝lim盆也是在这个变要化过程中的极笼限。煤若章lim汇=扯0尝，就称倘是比勉a量高阶的无穷小坚，记作鼻=国（漫a炒）；并称澡a赏是比婚低阶的无穷小；宫若吧lim稠=C再即0俩，就称率是霞与衬攻a狡洒同阶的无穷小扛；孩若岩lim呆=1,绢钩就称岂是阀与驴罢a尖途等阶的无穷小议，记摸作霜a吸锤。龙关于等价无穷矿小，有以下性糠质：呈若诵,型且继lim峡存在，则锋当汇x峡为0搅时，有以下常踏用的等价无穷亡小：（四）例题预一般地，对有哄理分式函数远其中动P禾（搏x朱割）渠、晌拴Q概趁（剩确x驳趣）是多项式依，兽断若猜（呼x川）短=灾Q殊（蚁x穴0倡）恋呢0蔽,盛则抄注意：灿若键恨Q脏肺（触致x励季0酿）干=0茂雕，则关于商的等极限运算法则球不能应用，需笛特殊考虑。求沸【琴榨解排良】晓旨（须x途2醉-9棒腹）续=0省溉，不能应用商撇的极限运算法请则。但分子、叉分母有公因暑子举x-3继,比故。献【贞慎解弓梯】宝获（沸x舒2演-5x+姨4楚）劝=0,答蚁（跨2x-扯3费）察=-1不,佩故从而呀【车例扰l-2朋-薯4汪】翅犬求坚。关【烈令解销门】花历袭当烫x昂中时，分子、分革母都为无穷大览，不能应用商摆的极限运算法怨则，但可先陆用臭x3荒刮去除分子、分妇母，故霸【页例费1-2-臭5义】祥监等于棍（返A钩里）佛1齿奸（钞B州容）傅0棍（雷C蚕花）不存在且不络是扔礼（D）贿【解逆】化垂稠由于暖=仔0诱，驰，按约照俊“急有界函数与无兆穷小的乘积是可无穷道小味”活，故应选烧（隙B倡）灾,向狂注意不要与极罗限蠢=宪1级相混淆。求。求。烫【曾朽解会漫】兼尽令且翻x糟＝三-t殊,垄则慨当团x饥佳时息，姜t穗。于是求。求。渔【解】拍当留x悔0苗萄时拍，咏tan2x开2x,s巴in5x架5慢x朽，所以求。共【解拒】饼怨挽当领x蹦0戒时，驼,cos况x扭-1用-妨,结所以等于睛（技A来第）熄2挣虎粗（到B泰劈）仓虾0谁（乖C精之）同装腥（犁D险腰）不存在且不疤是困帜【解炒】扇射梅因为所以永故极限不存在饲，且不熊是庙吨慰，应选杨（鹅D语仍）。剑【觉乡例鼻1-2-掠12东寿】翅扁设蛮f抖（廉厘x钻膛）絮=2早x凉＋崇3粥x受-2梦膊，则害当扬x兵0叮暗时，有源（盘A萄惩）来干f箭（忆姑x逢封）侧垒与镜x翻是等价无穷倡小溜蒜烧（仔B趣迷）兴胁f疲阴（捐上x调亲）编与对负x尚食同阶但非等价爱无穷强小票说叔（置C梳抵）历躺f念（朋叔x客碍）是全比殃曾x企础高阶的无穷沉小众龙（晓D照）甜f筛捆（宜严x孔终）是啄比午共x跟挤低阶的无穷小【解】难所以应选柳（钉B泡猪）。馅【穷惨例辰1-2裁-13商签】吼仅裁当益x净0壮纲时械，表tan众x造-sin臭x序创是妖x吧3口的傻娘（建A赴暮）高阶无穷尿小微棕怨症舒（途B项宵）低阶无穷小律（罩C饥孔）同阶但非等甚价无穷稀小陕碗际（瞒D贵浓）等价无穷小【解】福应选得（和C乒接）。遇注意：嘉当搁x砍O传深时盖，贝tan笑x爱~聋x宅，脸sin赠x悟~茄x围课，但不能得闯出勺tan搜x袭-sin左x蛋~x-秘x=0样湖，从而得出上贝述极限为零，包而选芽（怕A涛刘）。事实上，拘上面的计算结箩果表栏明肤tan护x曲-sin麦x望~鬼。由此可知，遥在利用等价无岗穷小求极限时卷，不能对分子龄或分母中的某衔个加项作代换慌，而应该对分博子或分母的整活体，或其中的换无穷小的因子靠作等价秀代换，才不致涛