全国通用版讲义第二章 点直线平面之间的位置关系滚动训练二

滚动训练二～2.3.4)一、选择题1．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()考点直线与平面垂直的性质题点根据线面垂直的性质判定线线垂直答案A2．关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是()A．①②B．③④C．①④D．②③考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案D解析①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以①④错误．3．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；④若α⊥β，m∥α，则m⊥β；其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案B解析根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.4．如图所示，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，则四面体P－ABC的四个面中，直角三角形的个数为()A．4B．3C．2D．1考点直线与平面垂直的性质题点根据线面垂直的性质判定线线垂直答案A解析∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形．又∵PA⊥平面ABC，∴△PAC，△PAB是直角三角形．又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形．从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC都是直角三角形，故选A.5．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1；②A1B⊥NB1；③平面AMC1∥平面CNB1.其中正确结论的个数为()A．0B．1C．2D．3考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案D解析由侧棱AA1⊥平面A1B1C1，可得AA1⊥C1M.由A1C1＝B1C1及M为A1B1的中点可得C1M⊥A1B1，∵AA1∩A1B1＝A1，∴C1M⊥平面A1ABB1，∴①正确；由C1M⊥平面A1ABB1可得C1M⊥A1B，又已知AC1⊥A1B，C1M∩AC1＝C1，∴A1B⊥平面AMC1，从而可得A1B⊥AM，又易证得AM∥NB1，∴A1B⊥NB1，∴②正确；易证得AM∥NB1，MC1∥CN，从而根据面面平行的判定定理可证得平面AMC1∥平面CNB1，∴③正确，故选D.6．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①与②B．①与③C．②与③D．③与④考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案B解析由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，同理GF⊥SEG；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A、C，同理排除D，故选B.7．如图所示，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是()A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′－BCD的体积为eq\f(1,3)考点平面与平面垂直的性质题点面面垂直性质的综合应用答案B解析因为平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面A′BD，所以CD⊥BA′.由勾股定理，得A′D⊥BA′.又因为CD∩A′D＝D，所以BA′⊥平面A′CD，所以∠BA′C＝90°.8．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，A1B1的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP⊥BN的点P所形成图形的周长是()A．4B．2＋eq\r(2)C．3＋eq\r(5)D．2＋eq\r(5)考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题答案D解析如图，取CC1的中点G，连接DG，MG，则MG∥BC.设BN交AM于点E.∵BC⊥平面ABB1A1，NB⊂平面ABB1A1，∴NB⊥MG.∵正方体的棱长为1，M，N分别是BB1，A1B1的中点，∴在△BEM中，∠MBE＝30°，∠BME＝60°，∴∠MEB＝90°，即BN⊥AM，又MG∩AM＝M，∴NB⊥平面ADGM，∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM(不包括M点)．∵正方体的棱长为1，∴矩形ADGM的周长等于2＋eq\r(5).故选D.二、填空题9．下列四个命题中，真命题的个数为________．①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若点M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．考点平面的基本性质题点确定平面问题答案1解析只有③正确．10．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝eq\r(2)，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________．考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角答案60°解析因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝AA1＝1，BC＝eq\r(2)，BA1＝eq\r(AA\o\al(2,1)＋AB2)＝eq\r(2)，则CA1＝eq\r(AA\o\al(2,1)＋AC2)＝eq\r(2)，所以△BCA1是正三角形，故异面直线所成角为60°.11.如图，已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为________．考点二面角题点知题作角答案eq\f(\r(2),3)解析在平面BC1内延长FE，CB，相交于点G，连接AG，过点B作BH垂直AG于点H，连接EH.∵BE⊥平面ABCD，AG⊂平面ABCD，∴BE⊥AG.∵BH⊥AG，BH∩EB＝B，∴AG⊥平面BEH，∴AG⊥EH.故∠BHE是平面AEF与平面ABC所成二面角的平面角．设正方体的棱长为a，则BE＝eq\f(a,3)，CF＝eq\f(2,3)a，∴GB∶GC＝BE∶CF＝1∶2，∴BG＝a，∴BH＝eq\f(\r(2),2)a，故tan∠BHE＝eq\f(BE,BH)＝eq\f(\f(a,3),\f(\r(2),2)a)＝eq\f(\r(2),3).三、解答题12．已知△ABC是边长为1的等边三角形，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到三棱锥A－BCF，其中BC＝eq\f(\r(2),2).(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行、垂直综合问题的证明证明(1)在等边三角形ABC中，AD＝AE，∴eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC)，在折叠后的三棱锥A－BCF中也成立，∴DE∥BC.∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF.(2)在等边三角形ABC中，F是BC的中点，∴AF⊥BC，折叠后，AF⊥CF.∵在△BFC中，BC＝eq\f(\r(2),2)，BF＝CF＝eq\f(1,2)，∴BC2＝BF2＋CF2，因此CF⊥BF.又AF∩BF＝F，AF，BF⊂平面ABF，∴CF⊥平面ABF.13．如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定证明(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.四、探究与拓展14．已知二面角α－l－β为60°，动点P，Q分别在平面α，β内，P到β的距离为eq\r(3)，Q到α的距离为2eq\r(3)，则P，Q两点之间距离的最小值为()A.eq\r(3)B．2C．2eq\r(3)D．4考点线、面平行、垂直的综合应用题点垂直的计算与探索性问题答案C解析如图，分别作QA⊥α于点A，AC⊥l于点C，PB⊥β于点B，PD⊥l于点D，连接CQ，BD，则∠ACQ＝∠PDB＝60°，AQ＝2eq\r(3)，BP＝eq\r(3)，∴AC＝PD＝2.又∵PQ＝eq\r(AQ2＋AP2)＝eq\r(12＋AP2)≥2eq\r(3)，当且仅当AP＝0，即点A与点P重合时取最小值．故选C.15．在如图所示的四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝1，AD＝2，E为PD的中点．(1)求证：CE∥平面PAB；(2)求证：平面PAC⊥平面PDC；(3)求直线EC与平面PAC所成角的正切值．考点线面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定(1)证明取PA的中点M，连接BM，ME，则ME∥AD且ME＝eq\f(1,2)AD，又因为BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，所以ME∥BC且ME＝BC，所以四边形MECB为平行四边形，所以BM∥CE，又CE⊄平面PAB，BM⊂平面PAB，所以CE∥平面PAB.(2)证明因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥DC，又因为AC2＋CD2＝2＋2＝AD2，所以DC⊥AC，因为AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，所以DC⊥平面PAC