竞赛复习科目数学高中数学竞赛总复习一

aa................................................................总复习竞赛习科目：-次2005-5

一数专题一、以极限载体考查等列

limn

an1q

)

当

＞时等比列极限存.当

＜时等列限在.若等列和的限在则定＜.当列

的是a

，则lima

A

.1.

设且b（＜a又()

求差.2.列由下列条确定：0x

x

ax

.若列的限存在，大于，求limx的值二、对为体充考比分的合比与比理例：数列,g,ag

的比是

.三、参最值通常考虑判式法.1.各项为实数的等差列的公差为其首项的平方与其余各项之和不超过100这样的列至多有四、以合式现常题要隐藏集的含被含.

项1.若和分别表数列项和，任正整数，

22

,Bn

.设集合n列项是Y中最大数，且＜＜

，求（二）求见数列的方法/fnr(nfnr(n,11且、求数列的通.I.形如

(n)

的阶递归式其通项法为

a

(a

)

f(k

.

II.形如a

f)a

的递归，其通求法为

aaaaa

)()f()()

.注意形

a

()

当数特时可考虑转化

af

)

的形，叠可出项②如a

fn))a

常需要转化为a

q(n

)或q(

Pq(

.例如：

)a

n)a

有b

,b

)(

)nb

有

b

n

.1.数

n

a,1

n

nan

确an2.在a

，a

4n3a6n2n

，求a

.III.形如a

pa(

的递归式有方法

a

rapa

r

，两式相得a

(

)

，故a

首项为

a

，且公比为的等比数列，先求出a

，再求出

a

.有方法二转化等比：a

()a

Pa

r

.

有

方

法

三：

迭

代

法aPa

P(Pa

=

a

有公

P

，,c

由a

定.有方法四特征根方法形如a

()()

的递式，有法两边同以

，得

ap

ap

q)p

，令

ap

，则b

q(np

，仿求得

b

，再.有方二推.例：()

为次数a

与

a

(

n

b

相减a

仿III.可求出

a

.1.已a，b中apb

pa,b

(,)（1）

；（

lim

a

b

./abappaaba1nnaabappaaba1nna

(00)

r

lga

qlgg

bg

b

qb

4

b

a

.

(a

p

p

1.列，10，且a

求2.列10aann

项nVI.

b

b

.

b

p

.

.

p

p

.2、4、7、11、16经观察现

故

.b

进

a

n

n2

a

11n2

n.1.列：1，3，8，，81，式.VII.动点设

a满足a

1

a,

n

nn

()

.若(x)

cx

相动点

n

bn

anan

b

n

aa

nn

来

若(x)

cx

相动点

1an

公d

bn

1an

b

n

a

1n

注a

亦动点.证明

ac

即

cx

d

此程根xx若x=x/a

pa

kpp=

a

.x≠x

aa

aqa

kq

q=

..满足

a

项n.列aan

n

求nVIII.

kn

(n

)

.

列a且

(n)a

()

求.IX.

praa

raa

.数列中，,x，

(n)

求、、线递推三应..知数列的前和与之足SaS(

且求..知数列,nn

ann

项n/2a2aa3.列足且nn1n

(n)

项.n4.列,a满足，且a0101n

aa

2

()

，求n5.列满足a

求、数的.I求导：数法于列常是以求和式现经要与项式定理系能用错位相消法和数问，都可以用求方法去）1.知nx

(xx)

列和2.知n

列和.3.和x

.II形如aPa

r

时，求变

S

a

r

r

r

r

当

为偶-

r

与+

r

恰

为时个-r，故

S

)

或P)

.1.知数列足

•a

)(

,4,①求；证明an,4;求项公式其前和.三、期列./1.列2,n

n

an1n

求2cos2.列a,,,足且对任意数都有aaa的值是.

又aa

a

则20051.各项为实数的等差数的公差为，其首项的平方与其余各项之和不超过100，样的数至多有

项.2.列足

,,（1当，求,并此想出一通公；11（2当，明所的有①a；②123.列：a

1a

,

求的数部.4.3数列,bc

关：a

,b

(n

，这里p为正.求；证：若，必有＞；（3若列的最为b,求的取范围.5.两列，满足,b

b

aa

(23,)

试项和/6.列，满足b,

a

111a2

,b

a(2,

)

下列：a＜＜；正整数，有＞；整数有＜.7.（不等式夹击法找数列范围）设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不小于，各和为，这样的数列共有（）个

B.个

C.4个

D.个20055

................................................................总复习八章-解析几何编写间2005-5修订时间总计一次2005-5

、关于值证明.平面解几何有方法：先取特殊置，求出这定值，再证般情况下等于这个定值.有方法：直证明法.1.圆x)y)

16

线l:kx.若Q连的点为与:xy

的点为，求证为定值.▲

L2.如，是圆：y

上动，是，N是射线上点，/OM150

，求点的轨迹方程▲

yCM

N

x、—大胆设参.1.已线y

px

及点(a,b),(ab0

pa

.M抛物线的点设直线AM、BM与物线的另一个交点为M、M.求证：当M点在抛物线上变动时（只要M、M存在且）直线M、M恒过一个定点，并求出这个定点的坐标三、看到长大关的程有点

(x,y

与点

(x,)

虑参方.1.过圆上点作条直ll

，分别交椭于A、B、C、四，ll倾斜角

且

.求证：A、B、、D四点圆▲

yD

x

C四、曲方程1.已知MN是圆的一条弦，R是MN的中点，过任作两条相交弦AB过A，，CD点的二曲线T交MN于，Q两点.求证：R是PQ中点.▲

yA

CMN

xP

R

QO

BD五、及整数的值余数.1.直平面称则到

32x43

距最

.六、坐标我们把坐标轴平移使某个点成新原点样减运算./解：＋＝1＝)，x＝－R(x－x)(解：＋＝1＝)，x＝－R(x－x)(y－y＋(x1.圆：9

(y)4

关于线:yx点，求的值.20051.

FF

x圆是椭上任意点，则的最值是4

.2.线y两支为如，正三角形的三顶位于此双曲线上.（1求：、Q不能都在双曲线的同一支上；（2）设（-1）在上，、在，求点、R的坐标xy3.圆：＋＝＞b＞，：＋y＝R其中b＜R＜.ab若A是圆上的动，是动圆Γ上的点直线椭ε动，求B两点的|AB的值（2004）设(x，y)，Bx，y)，直线AB的方为:y＝＋y＝kx＋m(1)因为既在椭，又直线AB上，从而yb将(代入(得：(ak＋b)＋2＋a(mb)＝0由直线与圆相切故＝kma)

－4(a

k

＋b)a(m－b

)0ka从：m＝b＋ak，x＝－m同理由B既在上又直线上，kR可得：＋m

R－bka－由(3)(4)得：＝＝a－Rm

)∴AB

＝

＋

＝)

mka－)(a－R)R－b＝＝Rm－R(a－R)(－b)ab＝＝＋b－R－RRab＝(a)－(R－)R

≤(ab

.即AB≤－b，当且仅当R＝取号.所以，、B两的距离的大为－b./2nn2．．．．．2nn2．．．．．．．．

18................................................................总复习七、章编写间2005-5修订时间总计一次2005-5

三列、.b若{b}奇数项的数列，若{b}偶数项的数列，则有2二.形如pa（qnn

.具步骤：写出特方x（对应

n

x对a

n

二根,x②若x可设axx1212

若1设a)x1

值aa1

定,c1

.有法二

(a

)

q，有法三代法，迭是决切列问通.1p三求.主方法：序相加错位相、数学纳法⑴等列前项和为，＜0时，最大值.如何定使取最值的有两法：nn一是求aa

＜0成立的；二是S

d2

n

a

d2

)n

利二次的性求值⑵如数列以看是一等差列与个等数列对应乘积求此数项和可依等比列前n项和的倒导方：错位/17n223333222222242t2OM2OM2n223333222222242t2OM2OM211减和.例：1,3,...(24

,...①…+n=

n2

1

n6

③

n

、数列dR两等差数的同亦成个的差列此等差数的首项是两数的一相项公是个列的最公数12一见的.[]椭圆

xa

yb

的左右焦点分别是F,12

过F

1

y且倾斜角为θ的线交椭圆AB

两点，若

F|1

F

x则椭圆的离心率为=解：

AC

AFBF

AFBFe11BF(AFBFAFBF(11

e).注：题为直的方，解法如上，将tan

可又过

1

，AB方可定.果用比点，运量，是AB不椭上者一点在圆，只用比点.[]已抛线yPx

，当一过焦点的线与物线交于A,B两点,求x,y122

的.解（存在，(

p2

)

代入2则

2

2

P)x4

，xx1

p4

,yypxxy112

2

，当k不存时

A(

pp,p),(22

，成立.故xx12

p4

,yy1

2

成立.解（KAF

BF

t

1

2

14

2pt2

2

14

2

yx11

2

212

2

p4

▲

[]如图一过点F直线与抛物线交于AA,M,O三点共线，MN是线.求证：∥x轴

证：AM为过O点直=k，所以

p

x

.

pxx综上：yy2

yyxx2

p4

，y2px2

.

p2

2px

y

.故MB为平行x轴直线变题：若证线呢提示：要证共线即证k，下面就上法制了.[]如下图抛物yPx的点为，CD为线，为AB的中点.

▲

y求证：AMB共圆，∠为直角.

A/17

M

O

B

P

xOA12P2222AB14OA12P2222AB14证（1为故=AC,DFDB.又因为为梯形CABD1的位，故PM=BD2

AB

,故MP=AP=BP,所以AMB共，且为三角形外心.证（2

90

注[型例四]拓展根述，推双焦，径与线是交关；以圆焦弦为径的与准线是关系拓展2

为是的，其与AB构形角

使

需

或

角过A于交L于E在上括与AB构成角为角但由于AB这线要这检否范B于AB交L于在括与AB角[题]如下图，抛物线22，直交物于，B且OBO.求证：线AB过定点.证：设A(xy)(xy)令l：y=kx11令l：x，故(,k

A

yxkB(Pk,Pk)y2kx

，故可得恒过(

O

B

1[题型示六]已知抛线Px焦点为，直交物于B求：AF

1BFP

.证：

p2

,

p2

BF

p2

p(x)x22

p2

x(x)1

2p

二、区问题当求整点数常数列近法.

yx11.直角坐标平面上，求满足不等式x

的整点个2.张画有为的圆及圆内定点A且OA=a折叠纸使圆上某点AA点重这的每一折法，都留一条线折当A周有点求有折在线上集.（2003全国高联赛）三、的幂与轴.过定A任作线定圆于B、C两点

为定值，定值称为定点A定的1.向原半为的圆和另圆引切线长等的点在直线y

上，求心轨迹方程四、与数论结合若g数，P是正整数，10gppg时g=23.

()(g)130

构10g+13p巧妙的解出p=11，g=143/171.数()的象经过（，13与轴的交点为（，0与y的点（0q中是数q是整数，则满条件所有次函为

.20051.(形合)已知两点2,0),B(0点是圆22

上的意一点则积小（）

2

B.

C.

622

D.

3222.(立几何)设，B，D是空四个，满足AB⊥AC⊥AD，⊥ADeq\o\ac(△,，)BCD是（）A.钝三角形形形定

24总复习中数学二章-函数编写间2005-5

................................................................中数学竞赛总复（四）/17次2005-5四函专题、函数.I.与方程结.1.求)(

x)2x)

x)

的图与轴的坐II.三二个方程一能求出解，若要出解一是A(ax)

y)

)

（无交叉时）或A(axz)yz)量.

（x为主，判式Δ

只k=0故可变2.知,,a4