矩阵的初等变换

山东财政学院统计与数理学院2.5.1.矩阵的初等变换线性方程组的一般形式

什么是初等变换?2.5矩阵的初等变换与初等矩阵山东财政学院统计与数理学院对方程组起决定作用的是：系数和常数项所以，此方程组可以用下面的矩阵表示山东财政学院统计与数理学院如何解线性方程组？山东财政学院统计与数理学院可以用消元法求解：

始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换：（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．山东财政学院统计与数理学院若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B（方程组的增广矩阵）的变换．因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．山东财政学院统计与数理学院即，求解线性方程组实质上是对增广矩阵施行3种初等运算：(1)对调矩阵的两行。(2)用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数k后加到另一行对应元素上。统称为矩阵的初等行变换山东财政学院统计与数理学院定义1：下面三种变换称为矩阵的初等行变换:同理可定义矩阵的初等列变换

．矩阵的初等变换山东财政学院统计与数理学院注意：初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换山东财政学院统计与数理学院注：每一步变换用“→”表示，不能写成“﹦”.山东财政学院统计与数理学院2.5.2标准形矩阵特点：1、只在“主对角线”的左上方有非零元素1，其余全为零；2、元素1从左上到右下连续排列，其个数最少为0，最大为min{m,n}山东财政学院统计与数理学院定理2.5.1

任何矩阵都可以经过初等变换化为标准形矩阵.山东财政学院统计与数理学院等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价．例如，两个线性方程组同解，是一个等价关系山东财政学院统计与数理学院矩阵等价的性质：利用矩阵等价这一等价关系，则可将矩阵进行分类.思考：4×3矩阵可以分为几类？所以，矩阵等价也是一种等价关系山东财政学院统计与数理学院2.5.3初等方阵

定义2.5.3由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.

一般的，由三种初等变换得到三种初等矩阵.山东财政学院统计与数理学院－1山东财政学院统计与数理学院k山东财政学院统计与数理学院(3)将E的第j行(i列)的k倍加到第i行(j列)上得到的初等矩阵,记作1问：三类初等矩阵有何共同之处？山东财政学院统计与数理学院初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。山东财政学院统计与数理学院初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵例1：计算E经初等变换E经初等逆变换山东财政学院统计与数理学院山东财政学院统计与数理学院山东财政学院统计与数理学院(1)对A进行一次行初等变换，相当于用一个m阶的初等矩阵左乘A;(2)对A进行一次列初等变换，相当于用一个n阶的初等矩阵右乘A;

2.

初等变换和初等矩阵之间的关系：定理2.5.2于是，定理2.5.1可叙述为：定理2.5.1

任何矩阵都可以经过初等变换化为标准形矩阵.山东财政学院统计与数理学院（2）初等矩阵与初等变换的关系（定理2.5.2）能否帮助我们求初等矩阵的逆矩阵？思考：（1）将矩阵A与B等价用初等矩阵描述？山东财政学院统计与数理学院2.5.4矩阵可逆的两个充要条件定理2.5.5

n阶矩阵A可逆的充要条件是A可以表示为有限个初等矩阵的乘积.注意2：标准形矩阵中只有单位矩阵可逆（行列式不等于零）山东财政学院统计与数理学院2.5.5初等行变换法求逆矩阵定理2.5.5

n阶矩阵A可逆的充要条件是A可以表示为有限个初等矩阵的乘积.右乘AE左乘若干个初等矩阵变为A左乘若干个初等矩阵变为EA进行若干次初等行变换变为EE进行若干次初等行变换变为对A、E进行完全相同的初等行变换，当A变成E时，E变成山东财政学院统计与数理学院思考对矩阵（A,E)做一系列行初等变换，将其左半部分化为单位矩阵E,这时右半部分就是山东财政学院统计与数理学院

解：例3：山东财政学院统计与数理学院山东财政学院统计与数理学院练习：用初等行变换求可逆矩阵A的逆矩阵山东财政学院统计与数理学院山东财政学院统计与数理学院若作初等行变换时,出现全行为0，则矩阵的行列式等于0。结论：矩阵不可逆!求逆时,若用初等行变换必须坚持始终,不能夹杂任何列变换.注：即初等行变换另：利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵山东财政学院统计