天津大学化工数学第七章偏微分方程

天津大学化工数学第七章偏微分方程第一页，共102页。2、线性、非线性、拟线性

方程经过有理化并消去分式后，若方程中没有未知函数及其偏导数的乘积或幂等非线性项，称该方程为线性线性：拟线性：

在非线性方程中，如果未知函数的所有最高阶导数不是非线性，则称此方程为拟线性完全非线性：除拟线性之外的非线性方程第二页，共102页。二阶，线性二阶，拟线性二阶，完全非线性第三页，共102页。3、齐次、非齐次不含有未知函数及其偏导数的项自由项：自由项为零的方程齐次方程：自由项不为零的方程非齐次方程：非齐次齐次第四页，共102页。二、二阶线性偏微分方程的分类，设则二阶线性偏微分方程一般可表示为：A,B,C,D,E,G,f都是x,y的函数第五页，共102页。二阶线性方程的分类：为方程中自变量域内任意一点，则分类判别条件如下：（ⅰ）若在点M处有：则方程在该点处为双曲线型例如（ⅱ）若在点M处有：则方程在该点处为抛物线型例如波动方程热传导方程第六页，共102页。（ⅲ）若在点M处有：则方程在该点处为椭圆型例如例1：判别下列方程的分类当，即异号，M点在二、四象限内，该区域内方程是双曲型当，即同号，M点在一、三象限内，该区域内方程是椭圆型当x或y为零，方程在x或y轴上是抛物型拉普拉斯方程第七页，共102页。三、三种典型方程的建立建立理论模型的原则步骤①抽象出系统的物化模型并简化、假设②确定输入、输出变量和模型参数，建立数学模型③模型求解④检验和修正所得的模型第八页，共102页。1、均匀弦的微小横振动方程的建立设有一根均匀柔软的细弦，张紧后两端固定如图，给弦以扰动，使其产生振动。确定弦上各点振动规律，即确定位移满足的方程。第九页，共102页。解：取一小微元段，分析受力情况x方向：u方向：ABT1T20xx＋Δxxuα1α2G(1)(2)第十页，共102页。简化假设（1）弦是均匀的，所以质量均布，设单位长度弦的质量为kg/m（5）弦是绝对柔软的，不能抗弯，因此弦上各点张力与该点切线方向一致。（2）弦的细小的，自重相比于张力显得很小，可以忽略。（3）振动方向与弦长方向相垂直，且振动保持在一固定平面内（4）振动是微小的，即弦上各点位移及弦的弯曲斜率很小微元段的质量：G=0x方向无运动，即：第十一页，共102页。无外力的均匀弦微小横振动方程——齐次一维波动方程x方向：u方向：第十二页，共102页。ABT1T20xx＋Δxxuα1α2F(x,t)x方向：u方向：假设振动过程中，除了张力外，还有其它外力作用，设单位长度弦上的横向外力为弦的强迫振动方程——非齐次一维波动方程第十三页，共102页。2、热传导方程一根长为l的均匀细杆侧面是绝热，横截面积足够小以至在任何时刻都可以把断面上所有点的温度看作是相同。设杆的截面积为S，比热为C，导热系数为k，密度为ρ。试确定温度分布函数满足的方程。x=0x=lxx+Δx0热量衡算：输入－输出＋产生＝累计第十四页，共102页。一维热传导方程:x处输入的热速率:x＋Δx处输出的热速率:微元段累计的热速率:第十五页，共102页。一维热传导方程一维波动方程（无外力）（有外力）（无内热源）第十六页，共102页。

三维热传导方程若物体内部有一个热流，T(x,y,z,t)其分布函数为M(x,y,z)第十七页，共102页。3、稳态方程（拉普拉斯方程）热传导持续进行下去，如果达到稳定状态，温度的空间分布不再变动，即则方程变为稳态浓度分布方程稳态温度分布方程第十八页，共102页。三种典型方程第十九页，共102页。是方程其中f是任意函数,如的通解可以验证对于方程：可以验证为其通解泛定方程第二十页，共102页。暂停：休息第二十一页，共102页。四、定解条件和定解问题1、初始条件（I.C.)：初始时刻的状态（一）定解条件例1对于弦的微小横振动问题，假设初始速度为零，初始位移符合正弦函数第二十二页，共102页。初始条件给定的是整个系统的状态，而不是某个局部（如入口、出口等）的状态。特别注意：

应是位置坐标的函数。

第二十三页，共102页。（1）第一类边界条件—已知函数直接给出未知函数在边界上的值（狄里赫利（Dirichlet））例2一根弦长为l，两端固定进行微小横振动，建立其边界条件。2、边界条件（B.C.）例3细杆导热问题中，杆长l，两端分别保持温度T1和T2

，建立边界条件。第二十四页，共102页。（2）第二类边界条件—已知导数（牛曼（Noumann）条件）例4细杆导热问题中，杆长l，一端绝热，另一端有恒定热流q输入，试建立边界条件。x=0x=l

热流输出怎样？？第二十五页，共102页。（3）第三类边界条件——混合边界条件给出边界上函数值与其法向导数构成的线性关系（Robin条件）例4细杆导热问题中，杆长l，一端温度为T0，另一端与温度为T1的环境进行对流热交换，试建立边界条件。x=0x=l第二十六页，共102页。（4）积分—微分边界条件第二十七页，共102页。（5）衔接条件内外层壁：第二十八页，共102页。（二）定解问题初值问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题边值问题：

没有初始条件，只有边界条件的定解问题混合问题：

既有初始条件又有边界条件的定解问题定解问题泛定方程（P.D.E)定解条件初始条件（B.C.）边界条件（I.C.）第二十九页，共102页。五、线性迭加原理所谓迭加：即几种不同因素综合作用于系统，产生的效果等于各因素独立作用产生的效果之总和线性迭加原理：则级数也是该方程之解假设函数是线性齐次微分方程的特解。（i=1，2……）第三十页，共102页。第三十一页，共102页。六、分离变量法例1、设两端固定的有界弦微小自由横振动过程，初始位移为φ(x)，初始速度为ψ（x）解：（1）分离变量设（1）（2）（3）（4）到33页第三十二页，共102页。代入方程式（1）得分离变量得=设于是可得到两个常微分方程到35页第三十三页，共102页。=

=+

对于二阶线性常系数常微分方程：先求特征方程的解：分三种情况（ⅰ）特征方程的根r1,r2为实数时复习第三十四页，共102页。（ⅱ）特征方程的根r1=r2=r为重实数时（ⅲ）特征方程的根为复数，即

r1=α+βi

r2=α-βi

返回31页第三十五页，共102页。由边界条件式（2）知因为所以只能（5）（6）第三十六页，共102页。（ⅰ）设λ>0，则方程式（5）通解为（5）由由（2）解定解问题——解固有值问题

到37页第三十七页，共102页。解上述线性代数方程组得：即所以（ⅱ）设λ

=0，方程（5）通解为由由第三十八页，共102页。即所以（ⅲ）设λ

<0，令，此时通解为由由第三十九页，共102页。因为B不能为零，所以只能所以－称为固有值（或本征值）---称为固有函数（或本征函数）（7）返回36页返回54页第四十页，共102页。（3）求解不构成本征问题的常微分方程的通解（6）将代入上式（8）第四十一页，共102页。将式（7）与式（8）相乘，得到一组特解其中，是任意常数（8）（7）第四十二页，共102页。（4）应用线性叠加原理求（5）由傅里叶级数确定系数（9）第四十三页，共102页。暂停：休息第四十四页，共102页。复习f(x)在〔－l，l〕区间上的傅里叶展开式：第四十五页，共102页。在〔0，l〕区间上的只有余弦项的傅里叶展开式：在〔0，l〕区间上的只有正弦项的傅里叶展开式：第四十六页，共102页。傅里叶展开是基于三角函数的正交性第四十七页，共102页。根据正交性可直接确定系数：0000（10）第四十八页，共102页。至此，（9）～（11）即构成了例1中定解问题的解（11）第四十九页，共102页。总结分离变量求解的关键点1、假设代入齐次方程进行分离变量；2、分离齐次边界条件，组构本征值问题，并求解确定本征值本征函数；3、求解另外一个常微分方程；4、用线性叠加原理写出问题的解；5、代入初始条件，并用傅里叶展开法确定解中的常数。第五十页，共102页。例2一维导热问题（第三边值条件）长为l的均匀细杆，其侧面（圆弧面）绝热，杆的一端保持在0℃状态下，另一端则与温度为0℃环境介质进行自由热交换。假设初始时刻温度分布为φ(x)。试确定杆上各点温度随时间变化规律。（1）（2）（3）（4）到第52页第五十一页，共102页。（1）分离变量，设代入方程（1）得：于是得：（5）（6）比较波动问题得到两个常微分方程：返回上一页第五十二页，共102页。由边界条件式（2）（3）知（2）解本征值问题（7）（8）式（5）与式（7）、式（8）构成本征值问题第五十三页，共102页。同前述同样方法讨论本征值λ的三种取值情况经讨论仅当λ<0时才有非零解设于是方程式（5）通解为由式（7）得由式（8）得第五十四页，共102页。则即得本征值(n=1，2，3…)得本征函数第五十五页，共102页。（(3）将本征值代入式（6）并求解（4）由线性迭加原理得定解问题级数形式解(Cn

=BnAn)第五十六页，共102页。（5）确定系数由初始条件由本证函数的正交性第五十七页，共102页。例3、求解稳态问题解：（1）分离变量设（1）（2）（3）能否用分离变量法求解？？？

能！！第五十八页，共102页。代入方程式（1）得分离变量得=设于是可得到两个常微分方程—由边界条件（3）（5）（6）第五十九页，共102页。（5）（2）解本征值问题凭经验当λ

<0，时有非零解令由由因为B不能为零能第六十页，共102页。所以（7）第六十一页，共102页。（3）求解不构成本征问题的常微分方程的通解（6）将代入上式（8）第六十二页，共102页。（将式（7）与式（8）相乘，得到一组特解其中，是任意常数第六十三页，共102页。（4）应用线性叠加原理求（5）由傅里叶级数确定系数（9）第六十四页，共102页。（10）（9）第六十五页，共102页。n为偶数时n为奇数时第六十六页，共102页。1、只能用分离变量法直接求解齐次方程、齐次边界定解问题2、本征值和本征函数由边界条件类型确定3、另外一个二阶常微分方程的形式及解由泛定方程的类型确定总结第六十七页，共102页。（b）（c）（d）（a）第六十八页，共102页。一维波动问题一维热传导问题二维稳态问题第六十九页，共102页。暂停：休息第七十页，共102页。七、非齐次边界的处理方法：将定解问题（A）转化为齐次边界问题（A）设使满足相应的齐次边界条件，即（1）（2）（3）（4）（5）第七十一页，共102页。则设由条件式（6）确定：（6）（7）则由条件式（7）确定：将以上结果代入第七十二页，共102页。（B）（a）

（a）（b）（c）（d）则V（x,t）满足的定解问题为：设第七十三页，共102页。例4设一均匀细杆，初始时全杆有一均一温度，然后使其一端保持不变温度，另一端则有恒定的热流输入，试求温度分布规律。解：问题可由下述数学形式表述（1）（2）（3）第七十四页，共102页。设使则设则由式（6）求得（4）（5）（6）（7）第七十五页，共102页。则代入原问题得设W（x,t）第七十六页，共102页。由经验，知唯时有解设则由边界，得所以第七十七页，共102页。（=0，1，2……）（n=0，1，2……）于是固有函数为第七十八页，共102页。最后由初始条件定常数第七十九页，共102页。第八十页，共102页。暂停：休息第八十一页，共102页。八、非齐次的泛定方程设第八十二页，共102页。例5两端固定的弦的强迫振动问题=0设解:而（1）（2）（3）（4）（5）转到82页第八十三页，共102页。（b）（c）（d）（a）返回上一页第八十四页，共102页。将式（4），式（5）代入式（1）得所以将式（3）代入所设：第八十五页，共102页。这里（5）（6）（7）（8）第八十六页，共102页。根据傅立叶展开于是有：因已设第八十七页，共102页。设则（6）对方程式（6）两边拉氏变换第八十八页，共102页。由卷积定理知=

第八十九页，共102页。第九十页，共102页。暂停：休息第九十一页，共102页。例6用本征函数系展开法解非齐次热传导问题解：（1）（2）（3）第九十二页，共102页。将上两式代入方程式（1）得＝0由初始条件式（3）第九十三页，共102页。于是方程（5）解为所以：最终解为（4）（5）于是方程（4）解为第九十四页，共102页。★重点掌握的内容：拉氏变换的定义和前5条性质；三种常用求解逆变换的方法；应用－求解常微分方程，积分-微分方程的方法。★