河南省南阳市2023年高三理数二模试卷含答案

高三理数二模试卷一、单选题1．已知集合，则集合的所有非空真子集的个数是（）A．6 B．7 C．14 D．152．欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（）A． B． C．1 D．3．在等比数列中，已知，则等于（）A．128 B．64 C．64或 D．128或4．若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为（）A．3 B． C．2 D．15．变量X与Y相对应的一组数据为，，，，；变量U与V相对应的一组数据为，，，，.表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）.A． B． C． D．6．如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，是的中点，则（）A． B．平面C．平面 D．7．锐角是单位圆的内接三角形，角的对边分别为，且，则等于（）A．2 B． C． D．18．讲桌上放有两摞书，一摞3本，另一摞4本，现要把这7本不同的书发给7个学生，每位学生一本书，每次发书只能从其中一摞取最上面的一本书，则不同取法的种数为（）A．20 B．30 C．35 D．2109．已知函数（其中的图像与轴相邻两个交点之间的最小距离为，当时，的图像与轴的所有交点的横坐标之和为，则（）A． B．C． D．10．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：，贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小明期待想去影院看的．小明同学家附近有甲､乙两家影院，小明第一天去甲､乙两家影院观影的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小明同学（）A．第二天去甲影院的概率为0.44B．第二天去乙影院的概率为0.44C．第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为D．第二天去了乙影院，则第一天去甲影院的概率为11．传说古希腊数学家阿基米德的募碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则（）A．球与圆柱的表面积之比为B．平面截得球的截面面积取值范围为C．四面体的体积的最大值为16D．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围12．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图（单位：）所示，四边形为矩形，均与圆相切，为切点，零件的截面段为圆的一段弧，已知，则该零件的截面的周长为（）cm（结果保留）A． B． C． D．二、填空题13．的展开式的第项为．14．已知向量满足，则．15．已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线右支交于两点，若为等腰三角形，则该双曲线的离心率为．16．已知正实数满足，则的最小值为．三、解答题17．已知是数列的前n项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，是的前项和，证明：．18．如图，在三棱柱中，为的中点，为等边三角形，直线与平面所成角大小为.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.19．某超市采购了一批袋装的进口牛肉干进行销售，共1000袋，每袋成本为30元，销售价格为50元，经过科学测定，每袋牛肉干变质的概率为，且各袋牛肉干是否变质相互独立．依据消费者权益保护法的规定：超市出售变质食品的，消费者可以要求超市退一赔三．为了保护消费者权益，针对购买到变质牛肉干的消费者，超市除退货外，并对每袋牛肉干以销售价格的三倍现金赔付，且把变质牛肉干做废物处理，不再进行销售．（1）若销售完这批牛肉干后得到的利润为X，且，求p的取值范围；（2）已知，若超市聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否变质，超市需要支付兼职员工工资5000元，这样检查到的变质牛肉干直接当废物处理，就不会流入到消费者手中．请以超市获取的利润为决策依据，判断超市是否需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质？20．已知椭圆过直线上一点作椭圆的切线，切点为，当点在轴上时，切线的斜率为.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，求面积的最小值.21．已知函数（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；（2）若，判断关于的方程在内解的个数，并说明理由．22．极坐标系中曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，单位长度不变，直线均过点，且，直线的倾斜角为．（1）写出曲线的直角坐标方程；写出的参数方程；（2）设直线分别与曲线交于点和，线段和的中点分别为，求的最小值．23．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最小值为m，正实数a，b满足，证明：.

1．A2．B3．D4．B5．C6．D7．C8．C9．C10．D11．D12．A13．14．715．16．017．（1）解：时，，时，经验证时∴（2）证明：时时，，，∴．18．（1）证明：取中点，连接､，因为，为的中点，所以，故，因为为等边三角形，所以，又因为，面，因此平面，因为平面，所以平面平面，因为平面平面，所以直线在平面的射影在直线上，所以直线与平面所成角为，则，因为，，所以是正三角形，则，因为为等边三角形，，则，所以在中，由，得，则，所以，因为，面，所以平面，因为平面，所以，因为，在中，，，所以，又，所以，即，又平面，所以平面.（2）解：由（1）可知､､两两垂直，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，由于是的中点，易得，又由可得，所以，，设平面的法向量为，则，即，令，得，设平面的法向量为，则，即，令，得，设平面与平面的夹角为，易知，所以，即平面与平面夹角的余弦值为.19．（1）解：令Y表示这1000袋牛肉干中变质牛肉干的数量．由题意有，则，故．由，有，解得：．故当时，p的取值范围为．（2）解：当时，由（1）知，．设需要赔付给消费者的费用为Z元，有．由，以超市获取的利润为决策依据，故超市需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质．20．（1）解：当点在轴上时，直线，，，椭圆方程为（2）解：设切线为，设，则，且，则，直线为到直线距离，则.设，则，所以的最小值为.21．（1）解：由题意在上恒成立，得恒成立，令，则，当时，令，解得，令，解得，所以在为减函数，在上为增函数，故，故，即，所以实数的取值范围.（2）解：由，得等价于，令，因为在上，，单调递减，在上，故，，单调递增，注意到，，在和上各有一个零点，共有两个零点，故方程有两个实数根.22．（1）解：曲线的极坐标方程为，变形为，则曲线的直角坐标方程：，(t为参数)，(t为参数).（2）