高考数学重点难点复习(28)：求空间的角

求空间的角

空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好

地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想.

・难点磁场

(★★★★★)如图，a—1—B为60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在1上,

Mda,NGB,且MP与B所成的角等于NP与a所成的角.

(1)求证：MN分别与a、B所成角相等；

⑵求MN与B所成角.

・案例探究

［例1］在棱长为a的正方体ABCD—A'B'CD'中，E、F分别是BC、A'D'的中点.

(1)求证：四边形B'EDF是菱形；

(2)求直线A'C与DE所成的角；

(3)求直线AD与平面B'EDF所成的角；

(4)求面B'EDF与面ABCD所成的角.

命题意图：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强，属

★★★★★级题目.

知识依托：平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角.

错解分析：对于第⑴问，若仅由B'E=ED=DF=FB'就断定B'EDF是菱形是错误的，因

为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B'、E、D、F四点共面.

技巧与方法：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角

的大小也可应用面积射影法.

V5

(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B'E=ED=DF=FB'=2a,下证B'、E、D、F四

点共面，取AD中点G,连结A'G、EG,由EG』AB』A'B'知，B'EGA'是平行四

边形.

：.B'E//A'G又A'F/DG,；.A'GDF为平行四边形.

:.A'G〃FD,.'.B'、E、D、F四点共面

故四边形B'EDF是菱形.

(2)解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CP〃DE,交直线AD于P,

则NA'CP(或补角)为异面直线A'C与DE所成的角.

石V13

在CP中，易得A，C=^a,CP=DE=2&A'P=2a

岳

由余弦定理得cosA'CP=15

屈

故A'C与DE所成角为arccos匕.

(3)解：EDF内的射影在/EDF的平分线上.如下图所示.

又；B'EDF为菱形，.•.DB'为/EDF的平分线，

故直线AD与平面B'EDF所成的角为NADB'

在RtZSB'AD中，AD=&a,AB'=^a,B'D=&a

则cosADB'=3

旦

故AD与平面B'EDF所成的角是arccos3.

(4)解：如图，连结EF、B'D,交于。点，显然0为B'D的中点，从而O为正方形ABCD

—A'B'CD的中心.

作OH_L平面ABCD,则H为正方形ABCD的中心,

再作HMJ_DE,垂足为M,连结0M,则OM_LDE,

故/OMH为二面角B'—DE'—A的平面角.

亚V3

在Rt^DOE中，0E=2a,OD=2a,斜边DE=2a)

ODOEV30

则由面积关系得0M=DE10a

OH屈

在RtAOHM中，sinOMH=°M6

V30

故面BzEDF与面ABCD所成的角为arcsin6.

［例2］如下图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形,

侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120°.

求：(1)AC1的长；

(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值.

命题意图：本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题，属★★★★★级题目.

知识依托：向量的加、减及向量的数量积.

错解分析：注意<AA，A8>=<A4/5>=］2O。而不是60°,<A8,AO>=90。.

技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.

2

解:(1)\ACXl=ACt-AC,=(A4j+AC)(AAt+AC)

=(丽+而+而)(丽+而+而)

=1丽F+|和2+|而|2+2丽•薪+2丽•而+2而•标

由已知得：1丽|2=/,|薪|2=|而|2=/

<而而>=<丽，标>=120°,<~AB^\D>=90°

/.AA]•AB=bacos120°=—gab,4Al•AD=bacos120°=ABAD=0,

12222

r.l记\=2a+h-2ab,:.\ACt1=ylla+h-2ah.

(2)依题意得,IAC1=V2«,AC=而+而

BD}=AD+BA=AA]+AD—AB

.・.AC-BD1={AB+40)(A4+4。-AB)

22

=ABAAl+ADAA]+ABAD+AD-AB-ABAD=-ab

I西/二丽।•西=(丽+AD-丽(百+AD-AB)

22222

=\^\+\ADI+\AB\+2AA{AD-2ABAD-2AAiAB=2a+b

22

:\~BD}\=^2a+b

BO】AC-b

cos<BD^AC>=

I西11元1^4a2+2b2

b

：.BD1与AC所成角的余弦值为“/+2/.

•锦囊妙计

空间角的计算步骤：一作、二证、三算

1.异面直线所成的角范围：0°<9<90°

方法：①平移法；②补形法.

2.直线与平面所成的角范围：0°<9W90°

方法：关键是作垂线，找射影.

3.二面角

方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法.

注：二面角的计算也可利用射影面积公式S'=ScosO来计算

・歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★★)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中

心，P为棱A1B1上任意一点，则直线0P与直线AM所成的角是()

7tK7171

A.6B.4C.3D,2

2.(*****)设AABC和ADBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,NCBA=

NCBD=120°,则AD与平面BCD所成的角为()

A.30°B.45°C,60°D.75°

二、填空题

3.(****初已知/AOB=90°,过O点引/AOB所在平面的斜线OC,与OA、OB分另成

45°、60°,则以OC为棱的二面角A—OC—B的余弦值等于.

4.(★★★★)正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2:3,则这个三棱锥的侧面和底面

所成二面角的度数为.

三、解答题

5.(*****)已知四边形ABCD为直角梯形，AD〃BC,/ABC=90°,PA_L平面AC,且

PA=AD=AB=1,BC=2

⑴求PC的长；

(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小；

(3)求证：二面角B—PC—D为直二面角.

和aDBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD,ZABC=

ZDBC=120°

求：(1)直线AD与平面BCD所成角的大小；

(2)异面直线AD与BC所成的角；

(3)二面角A—BD—C的大小.

7.(****初一副三角板拼成一个四边形ABCD,如图，然后将它沿BC折成直二面角.

(1)求证：平面ABDJ_平面ACD；

⑵求AD与BC所成的角；

(3)求二面角A—BD—C的大小.

8.(*****)设D是4ABC的BC边上一点，把4ACD沿AD折起，使C点所处的新位

置C'在平面ABD上的射影H恰好在AB上.

(1)求证：直线C'D与平面ABD和平面AHC'所成的两个角之和不可能超过90°；

⑵若/BAC=90°,二面角C'—AD—H为60°,求/BAD的正切值.

参考答案

难点磁场

(1)证明：作NAJ.a于A,MB_LB于B,连接AP、PB、BN、AM,再作ACJJ于C,BD±

1于D,连接NC、MD.

•；NA_La,MB_LB,，/MPB、/NPA分别是MP与B所成角及NP与a所成角，ZMNB,

ZNMA分别是MN与B,a所成角,：.ZMPB=ZNPA.

在Rt^MPB与RtZXNPA中，PM=PN,/MPB=NNPA,AAMPB^ANPA,；.MB=NA.

在Rt^MNB与Rt^NMA中，MB=NA,MN是公共边，AAMNE^ANMA,AZMNB=

ZNMA,即(1)结论成立.

(2)解：设NMNB=(),MN=V^a,贝ijPB=PN=a,MB=NA=V^asin0,NB=V^acos。,VMB

±B,BD_L1,；.MDJJ,，/MDB是二面角a一1一8的平面角，

.../MDB=60°,同理/NCA=60°,

2MB=^3-二戈

；.BD=AC=33asin9,CN=DM=6sm60°3asine,

VMB1B,MP±PN,.,.BP±PN

PCBD

VZBPN=90°,/DPB=/CNP,MBPDs/\PNC,，PNPB

即〃2_cWDB卜一(平sin]Rsin。

a4BN2-a2,034伍cos。)？

整理得，16sin40-16sin20+3=0

旦

解得sin20=44,sin0=22，当sin0=2时，CN=3asin0=‘2a>PN不合理,

舍去.

Asin。=2,；.MN与B所成角为30°.

歼灭难点训练

一、1.解析：(特殊位置法)将P点取为A1,作OEJ_AD于E,连结A1E,则A1E为OA1

的射影，又AM_LA1E,；.AM_LOA1,即AM与OP成90°角.

答案：D

2.解析：作AOJ_CB的延长线，连OD,则OD即为AD在平面BCD上的射影，

•.，AO=OD=2a,；./ADO=45°.

答案：B

二、3.解析：在OC上取点C,使OC=1,过C分别作CAJ_OC交OA于A,CBLOC交

OB于B,则AC=1,,OA=0，BC=K,OB=2,Rt^AOB中，AB2=6,AABC中，由余

73

弦定理，得cosACB=-3

V3

答案：一3

4.解析：设一个侧面血枳为S1,底面面积为S,则这个侧面在底面上射影的面积为3,由题

&=23_=J_=l

设得S3,设侧面与底面所成二面角为9,则cos9=Si3sl2,...9=60。.

答案：60°

三、5.(1)解：因为PA_L平面AC,AB_LBC,；.PB_LBC,即NPBC=90°,由勾股定理得

22

PB=y/PA+AB=V2

ylPB2+PC2=V6

APC=

(2)解：如图，过点C作CE〃BD交AD的延长线于E,连结PE,则PC与BD所成的角为

ZPCE或它的补角.

,/CE=BD=6,且PE=JPT+毋=M

PC"+CE?-PE?6

：.由余弦定理得cosPCE=2PCCE6

旦

.♦.PC与BD所成角的余弦值为6.

(3)证明：设PB、PC中点分别为G、F,连结FG、AG、DF,贝ljGF〃BC〃AD,且

GF=2BC=1=AD,从而四边形ADFG为平行四边形，

又AD_L平面PAB,...AD_LAG,即ADFG为矩形，DF_LFG.

在4PCD中，PD=^2,3=桓,F为BC中点，ADF1PC

从而DF,平面PBC,故平面PDCJ_平面PBC,即二面角B—PC—D为直二面角.

6.解：(1)如图，在平面ABC内，过A作AH_LBC,垂足为H,则AHJ_平面DBC,

ZADH即为直线AD与平面BCD所成的角.由题设知△AHBgZXAHD,则DH1BH,

AH=DH,

.\ZADH=45°

(2)VBC±DH,且DH为AD在平面BCD上的射影，

ABCIAD,故AD与BC所成的角为90°.

(3)过H作HRJ_BD,垂足为R,连结AR,则由三垂线定理知，ARLBD,故NARH为二

百nu_a

—Q,BH=一

面角A—BD—C的平面角的补角.设BC=a,则由题设知，AH=DH=22,在△HDB

6AH

中，HR=4a,，tanARH=HR=2

故二面角A—BD―C大小为n—arctan2.

7.(1)证明：取BC中点E,连结AE,7AB=AC,AAElBC

•.•平面ABC_L平面BCD,；.AE_L平面BCD,

VBC1CD,由三垂线定理知ABJ_CD.

又；AB_LAC,；.AB_L平面BCD,：ABU平面ABD.

平面ABD_L平面ACD.

(2)解：在面BCD内，过D作DF〃BC,过E作EF_LDF,交DF于E由三垂线定理知AF

IDF,NADF为AD与BC所成的角.

旦V6

设AB=m,贝U