高等应用数学上非国规高职公共课21163项目极限与连续

高等应用数学

——基础模块

项目介绍

在本项目中,我们在已经学习的函数及数列的基础上，进一步学习数列极限、函数极限、极限的运算、由极限值的特征对应的无穷大与无穷小、以及初等函数的连续性，为以后章节的学习做准备.项目二极限与连续任务一数列及其极限任务二函数的极限任务三无穷小与无穷大

任务四极限的运算法则

任务五两个重要极限

任务六函数的连续性与间断性任务七

初等函数的连续性

项目二极限与连续

一、数列的概念

二、数列的极限

三、数列极限的性质

任务一数列及其极限

一、数列的概念

任务一数列及其极限

定义1

二、数列的极限

任务一数列及其极限

定义2

任务一数列及其极限

任务一数列及其极限

三、数列极限的性质

如果数列是收敛的，数列存在下列性质：

定理1（唯一性）如果数列收敛，则数列的极限是唯一的.

定理2（有界性）如果数列收敛，则数列一定有界.

注有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.例如数列是有界的，但它是发散的.任务一数列及其极限

一、自变量趋向无穷大时的函数极限

二、自变量趋向有限值时的函数极限

任务二函数的极限

一、自变量趋向无穷大时的函数极限

任务二函数的极限定义1任务二函数的极限定义2

任务二函数的极限定理1

二、自变量趋向有限值时的函数极限

任务二函数的极限定义3

任务二函数的极限任务二函数的极限定义4定义5任务二函数的极限定理2任务二函数的极限

一、无穷小

二、无穷大

三、无穷小与无穷大的关系

四、无穷小的比较

任务三无穷小与无穷大

一、无穷小定义1

极限是0的变量，称为无穷小量，简称无穷小.

任务三无穷小与无穷大

定义1

性质1

有限个无穷小的代数和仍是无穷小.

即其中

（）.

性质2

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

推论1

常数与无穷小的乘积是无穷小.

推论2

有限个无穷小的乘积仍是无穷小.任务三无穷小与无穷大

无穷小与函数的极限之间的关系:

定理1在自变量的同一变化过程中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与一个无穷小之和，那么该常数就是这个函数的极限。即其中

任务三无穷小与无穷大

定理1

二、无穷大

任务三无穷小与无穷大

定义2任务三无穷小与无穷大

三、无穷小与无穷大的关系

任务三无穷小与无穷大

定理2

四、无穷小的比较

任务三无穷小与无穷大

定义3任务三无穷小与无穷大

一、极限的四则运算法则

二、复合函数的极限法则任务四极限的运算法则

一、极限的四则运算法则

任务四极限的运算法则定理1任务四极限的运算法则

任务四极限的运算法则任务四极限的运算法则

任务四极限的运算法则任务四极限的运算法则任务四极限的运算法则

二、复合函数的极限法则当遇到复合函数求极限时，可利用下面的复合函数的极限法则.任务四极限的运算法则定理2

任务四极限的运算法则

一、极限存在准则Ⅰ与重要极限

二、极限准则Ⅱ与重要极限任务五两个重要极限

一、极限存在准则Ⅰ与重要极限任务五两个重要极限准则I

可以看出上面的几个极限具有以下特征：（1）分子是某个角的正弦函数或正切函数；（2）分母是该角；（3）还要这个角时，它们的极限都为1.任务五两个重要极限任务五两个重要极限任务五两个重要极限

二、极限准则Ⅱ与重要极限

准则Ⅱ单调有界数列必有极限.任务五两个重要极限准则Ⅱ

可以看出上面的几个极限具有以下特征：（1）求极限式子的底数第一项为“1”；（2）底数的第二项为无穷小；（3）底数的两项相“＋”；（4）指数为第二项无穷小的倒数.

时，它们的极限都为.任务五两个重要极限

任务五两个重要极限

任务五两个重要极限

任务五两个重要极限

一、函数的增量

二、函数连续的定义

三、函数的间断点任务六函数的连续性与间断性

一、函数的增量

任务六函数的连续性与间断性定义1任务六函数的连续性与间断性

二、函数连续的定义

任务六函数的连续性与间断性定义2

任务六函数的连续性与间断性定义3任务六函数的连续性与间断性任务六函数的连续性与间断性定义4

任务六函数的连续性与间断性

根据函数连续的定义和基本初等函数的图象，可以得到：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.

三、函数的间断点任务六函数的连续性与间断性定义5任务六函数的连续性与间断性任务六函数的连续性与间断性任务六函数的连续性与间断性定义6任务六函数的连续性与间断性

一、连续函数的运算法则

二、初等函数的连续性

三、闭区间上连续函数的性质任务七初等函数的连续性

一、连续函数的运算法则

任务七初等函数的连续性

定理1定理2

任务七初等函数的连续性

二、初等函数的连续性

定理3

一切初等函数在其定义域内都是连续的.

注因为分段函数一般不是初等函数，所以定理3对分段函数一般不成立.在讨论分段函数的连续性时，要根据连续的定义讨论分段点的连续性.任务七初等函数的连续性

定理3任务七初等函数的连续性

任务七初等函数的连续性

三、闭区间上连续函数的性质

定理4

（最大值与最小值性质）如果函数在闭区间上连续，则在