原点矩与中心矩

第10讲原点矩与中心矩协方差与相关系数教学目的：掌握矩、协方差及相关系数的概念、性质及计算。教学重点：矩、协方差及相关系数的概念和性质。教学难点：矩、协方差及相关系数的概念。教学学时：2学时教学过程：第三章随机变量的数字特征§3.3原点矩与中心矩随机变量的数字特征除了数学期望和方差外，为了更好的描述随机变量分布的特征，有时还要用到随机变量的各阶矩(原点矩与中心矩)，它们在数理统计中有重要的应用。定义1设X是随机变量，若E(Xk)(k=1,2,…)存在，则称它为X的k阶原点矩，记作v(X)，即kv(X)二E(Xk)，k二1,2,…k显然，一阶原点矩就是数学期望，即v(X)=E(X)。1定义2设随机变量X的函数[X-E(X)]k(k=1,2,…)的数学期望存在，则称E{[X-E(X)]k}为X的k阶中心矩，记作卩(X)，即k卩(X)二E{[X—E(X)]k}，k二1,2,…k易知，一阶中心矩恒等于零，即卩(X)三0；二阶中心矩就是方差，即1R(X)=D(X)。不难证明，原点矩与中心矩之间有如下关系：2卩=v—v221卩=v一3vv+2v33 12 1卩=v一4vv+6vv2一3v44 31 21 1等。定义3设X和Y是随机变量，若E(XkYi)(k,/=1,2,…)存在，则称它为X和Y的k+1阶混合矩。若E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]i}(k,l=1,2,…)存在，则称它为X和Y的k+1阶混合中心矩。§3.4协方差与相关系数协方差与相关系数的定义二维随机变量的数字特征中最常用的就是协方差与相关系数。定义3设有二维随机变量(X,Y)，如果E[X-E(X)][Y-E(Y)]存在，则称E[X-E(X)][Y-E(Y)]为随机变量X与Y的协方差，记作cov(X,Y)，即cov(X,Y)=E[X-E(X)][Y-E(Y)]而c°v(X己称为随机变量x与Y的相关系数，记作R(X,Y)，即円XD(Y)R(XY)=cov(X,Y)=cov(X,Y)'—jwyTD?)—(x)c(y)显然，协方差cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩。当cov(X,Y)=0，通常称随机变量X与Y是不相关的。协方差的性质cov(X,Y)=cov(Y,X)，cov(X,X)=D(X)由定义知性质(1)是显然的。cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)证cov(X,Y)=E[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

D(X土Y)二D(X)+D(Y)土2cov(X,Y)证D(X土Y)二E[(X土Y)-E(X土Y)]2二E[(X—E(X))土(Y-E(Y))]2二D(X)+D(Y)土2cov(X,Y)该性质可推广到任意场合，即D(X)+2工工cov(X,X)iiiji=1 i=1 i<jcov(aX,bY)=abcov(X,Y),a,b是常数。由定义知性质(4)是显然的。cov(X+X,Y)=cov(X,Y)+cov(X,Y)1212由定义知性质(5)是显然的。若X与Y相互独立，则cov(X,Y)=0，即X与Y不相关。反之，若X与Y不相关，X与Y不一定相互独立。相关系数的性质(1)R(X,Y)|<1⑵若X与Y相互独立，则R(X,Y)=0⑶当且仅当X与Y之间存在线性关系P{Y=aX+b}=1(a,b为常数，a丰0)时,R(X,Y)|=1R(X,Y)|=1,且R(X,Y)=-1,a<0证对于性质(1)，我们考虑随机变量Z=X-E(X)土Y-E(Y)，由协方差的性质VD(X)JD(Y)⑶可得 D(Z)=D(X空))+d(^EB)土2cov(X空),<D(X) JD(Y) JD(X) ^D(Y)=1+1土2R(X,Y)=2(1土R(X,Y))>0故|R(X,Y)|<1对于性质(2),由于X与Y相互独立，则有cov(X,Y)=0，由定义知R(X,Y)=0。

对于性质(3),若P{Y=aX+b}=1，则E(Y)=aE(X)+b,D(Y)二a2D(X),E[(X-E(X))(Y-E(Y))]E[(X—E(X))(aX+b-aE(X)—b)]_aD(X)_aTDWj^W) |a|D(X)~”R(X,Y)|=R(X,Y)|=1,R(X,Y)二1,事实上相关系数只是随机变量间线性关系强弱的一个度量，当|R(X,Y)|=1时说明随机变量X与Y之间具有很强的线性关系，当R(X,Y)二1时为正线性相关,R(X,Y)=-1时为负线性相关。当|R(X,Y)|<1时，随机变量X与Y之间的线性相关程度将随着|R(X,Y)|的减小而减弱，当|R(X,Y)=0时，意味着随机变量X与Y是不相关的。例1设随机变量Z服从［-兀，兀］上的均匀分布，又X二sinZ,Y二cosZ，试求相关系数R(X,Y)。E(X)=—卜sinzdz=0,E(Y)=—卜coszdz=0

2兀—K 2兀—KE(X2)=—JKsin2zdz=丄，E(Y2)=JKcos2zdz=丄2K—K 2 —K 2E(XY)=—卜sinzcoszdz=0

2兀—兀

cov(X,Y)二0,R(X,Y)二0相关系数R(X,Y)=0，随机变量X与Y不相关，但是有X2+Y2二1，从而X与Y不独例2设二维随机变量(X,Y)的联合概率分布如下:01-101/3

01/30101/3X-101p(x)X i1/3X-101p(x)X i1/31/31/3证易知X与Y的边缘概率分布分别是Y01p(y)Y i1/32/3由公式得11cov(X,Y11cov(X,Y)=(一1)x1x_+0x0x—+1x13 3二0一0x2二03所以X与Y是不相关的。但是，1p(0,0)二3因为1111 12x3 -[(-1)x3 +0x3 +1x3][(0x 3 +1x3]111p(0)Py(0)二3x3二9，p(0，0)丰Px(0)Py(0)故X与Y不相互独立。例3设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(f(x,y)二3兀,0,试证明随机变量X与Y不相关，也不相互独立。由于D关于x轴、y轴对称，故E(X)—JJxdxdy—0,E(Y)—JJydxdy—0,E(XY)—D D D