单方程回归模型的经典估计

第一章基本的单方程回归分析

1第一章基本的单方程回归分析

经济计量研究始于经济学中的理论假设，根据经济理论设定变量间的一组关系，如消费理论、生产理论和各种宏观经济理论，对理论设定的关系进行定量刻画，如消费函数中的边际消费倾向、生产函数中的各种弹性等进行实证研究。单方程回归是最丰富多彩和广泛使用的统计技术之一。本章介绍EViews中基本回归技术的使用，说明并估计一个回归模型，进行简单的特征分析并在深入的分析中使用估计结果。2第一章基本的单方程回归分析

随后的章节讨论了检验和预测，以及更高级，专业的技术，如加权最小二乘法、二阶段最小二乘法(TSLS)、非线性最小二乘法、ARIMA/ARIMAX模型、GMM（广义矩估计）、GARCH模型和定性的有限因变量模型。这些技术和模型都建立在本章介绍的基本思想的基础之上。31.经典的单方程回归分析经典回归模型的构建：表达式、估计、统计检验非线性回归模型的转换、NLS模型假设与设定的检验模型预测与评价Eviews软件的相关操作41.1多元线性回归模型的估计

5多元线性回归模型

6

（3.1.11）可以把常数项0看作是样本观测值始终取1的虚变量的系数。多元模型的矩阵形式为（3.1.12）其中：Y是因变量观测值的T维列向量；X是所有自变量（包括虚变量）的T个样本点观测值组成的T(k+1)矩阵；是k+1维系数向量；u是T维扰动项向量。

矩阵形式71.1.1Eviews软件中构建模型8§1.1.1创建方程对象

Eviews软件基础创建方程对象

910§1.1创建方程对象

EViews中的单方程回归估计是用方程对象来完成的。为了创建一个方程对象:从主菜单选择Object/NewObject/Equation或Quick/EstimationEquation…，或者在命令窗口中输入关键词equation。在随后出现的方程说明对话框中说明要建立的方程，并选择估计方法。§1.1.2在EViews中对方程进行说明

1112§1.2

在EViews中对方程进行说明

当创建一个方程对象时，会出现如下对话框：

在这个对话框中需要说明三件事：方程说明，估计方法，估计使用的样本。在最上面的编辑框中，可以说明方程：因变量（左边）和自变量（右边）以及函数形式。有两种说明方程的基本方法：列表法和公式法。列表法简单但是只能用于不严格的线性说明；公式法更为一般，可用于说明非线性模型或带有参数约束的模型。13

§1.2.1

列表法

说明线性方程的最简单的方法是列出方程中要使用的变量列表。首先是因变量或表达式名，然后是自变量列表。例如，要说明一个线性消费函数，用一个常数c和收入inc对消费csp作回归，在方程说明对话框上部输入：

cspcinc

注意回归变量列表中的序列c。这是EViews用来说明回归中的常数而建立的序列。EViews在回归中不会自动包括一个常数，因此必须明确列出作为回归变量的常数。内部序列c不出现在工作文档中，除了说明方程外不能使用它。在上例中，常数存储于c(1)，inc的系数存储于c(2)，即回归方程形式为：

csp=c(1)+c(2)*inc。14

在统计操作中会用到滞后序列，可以使用与滞后序列相同的名字来产生一个新序列，把滞后值放在序列名后的括号中。

cspc

csp(-1)inc相当的回归方程形式为：

csp=c(1)+

c(2)csp(-1)+c(3)inc。通过在滞后中使用关键词to可以包括一个连续范围的滞后序列。例如：

cspccsp(-1to-4)inc这里csp关于常数，csp(-1)，csp(-2)，csp(-3)，csp(-4)，和inc的回归。

在变量列表中也可以包括自动序列。例如：

log(csp)clog(csp(-1))log((inc+inc(-1))/2)相当的回归方程形式为：

log(csp)=c(1)+c(2)log(csp(-1))+c(3)

log((inc+inc(-1))/2)15§1.2.2公式法说明方程

当列表方法满足不了要求时，可以用公式来说明方程。许多估计方法（但不是所有的方法）允许使用公式来说明方程。

EViews中的公式是一个包括回归变量和系数的数学表达式。要用公式说明一个方程，只需在对话框中变量列表处输入表达式即可。EViews会在方程中添加一个随机附加扰动项并用最小二乘法估计模型中的参数。

16

用公式说明方程的好处是可以使用不同的系数向量。要创建新的系数向量，选择Object/NewObject…并从主菜单中选择Matrix-Vector-Coef,为系数向量输入一个名字。然后，选择OK。在NewMatrix对话框中，选择CoefficientVector并说明向量中应有多少行。带有系数向量图标的对象会列在工作文档目录中，在方程说明中就可以使用这个系数向量。例如，假设创造了系数向量a和beta，各有一行。则可以用新的系数向量代替c：

log(csp)=a(1)+beta(1)*log(csp(-1))1.1.3多元线性回归模型的基本假定

假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关（无多重共线性）。

假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性。

假设3，解释变量与随机项不相关

假设4，随机项满足正态分布

上述假设的矩阵符号表示

式：

假设1，n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，即X满秩。假设2，

假设4，向量

有一多维正态分布，即

同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重要假设：假设5，样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界常数，即n∞时，

假设3，E(X’)=0，即

其中：Q为一非奇异固定矩阵，矩阵x是由各解释变量的离差为元素组成的nk阶矩阵

假设6，回归模型的设定是正确的。

或1.1.4普通最小二乘估计对于随机抽取的n组观测值如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：

i=1,2…n

根据最小二乘原理，参数估计值应该是右列方程组的解

其中

于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：

解该（k+1）

个方程组成的线性代数方程组，即可得到(k+1)个待估参数的估计值$,,,,,bjj=012L。k□正规方程组的矩阵形式即由于X’X满秩，故有

普通最小二乘法的原理:矩阵表达普通最小二乘法（OLS）的原理：就是通过使残差平方和最小求出回归系数的估计值。即：25普通最小二乘法的原理:矩阵表达利用估计值向量，定义残差列向量，可得：26向量微商27无约束条件极小值的一阶条件：利用线性齐次函数、二次项的向量微商得到一阶条件为：28无约束条件极小值的二阶条件：因为XTX是正定矩阵，因此二阶条件满足，b为极小值。2930

设参数

=(0,1,…,k)的估计值为b=(b0,b1,…,bk)，运用矩阵形式，OLS是要最小化式（3.1.13）（3.1.13）得到极值条件XTU=0，确定正规方程组，可以估计出回归系数向量b为（3.1.14）

1.1.5

参数估计量的性质

在满足基本假设的情况下（有限样本），其结构参数的普通最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有：

最小均方误差性、线性性、无偏性、有效性（最小方差性）；（正态性）同时，随着样本容量增加（无限样本），参数估计量具有：

渐近无偏性、渐近有效性、一致性。

样本容量问题

所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。

⒈最小样本容量

样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）,即

n

≥

k+1因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+1

2、满足基本要求的样本容量

从统计检验的角度：

n30时，Z检验才能应用；

n-k≥8时,t分布较为稳定

一般经验认为:

当n≥30或者至少n≥3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。

模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明

1、线性性

其中,C=(X’X)-1X’为一仅与固定的X有关的行向量

2、无偏性

3、有效性（最小方差性）

这里利用了假设:E(X’)=0其中利用了

和经典假设条件下，最小方差估计量为OLS估计量正态性又因为残差服从正态分布，所以37*二、最大或然估计对于多元线性回归模型易知Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率

对数或然函数为对对数或然函数求极大值，也就是对

求极小值。即为变量Y的或然函数

因此，参数的最大或然估计为结果与参数的普通最小二乘估计相同*三、矩估计（MomentMethod,MM）

OLS估计是通过得到一个关于参数估计值的正规方程组并对它进行求解而完成的。

该正规方程组

可以从另外一种思路来导:

求期望

:称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了原总体回归方程所具有的内在特征。

由此得到正规方程组

解此正规方程组即得参数的MM估计量。

易知MM估计量与OLS、ML估计量等价。矩方法是工具变量方法(InstrumentalVariables,IV)和广义矩估计方法(GeneralizedMomentMethod,GMM)的基础

在矩方法中利用了关键是

E(X’)=0

如果某个解释变量与随机项相关，只要能找到1个工具变量，仍然可以构成一组矩条件。这就是IV。

如果存在＞k+1个变量与随机项不相关，可以构成一组包含＞k+1方程的矩条件。这就是GMM。§1.1.6

在EViews中估计方程

4546§1.3

在EViews中估计方程

1.3.1

估计方法

说明方程后，现在需要选择估计方法。单击Method：进入对话框，会看到下拉菜单中的估计方法列表：

标准的单方程回归用最小二乘估计。其他的方法在以后的章节中介绍。采用OLS，TSLS，GMM，和ARCH方法估计的方程可以用一个公式说明。非线性方程不允许使用binary，ordered，censored，count模型，或带有ARMA项的方程。47

1.3.2估计样本

可以说明估计中要使用的样本。EViews会用当前工作文档样本来填充对话框。

如果估计中使用的任何一个序列的数据丢失了，EViews会临时调整观测值的估计样本以排除掉这些观测值。EViews通过在样本结果中报告实际样本来通知样本已经被调整了。

在方程结果的顶部,EViews报告样本已经得到了调整。从1978年2006年期间的29个观测值中,EViews使用了28个观测值。48

1.3.3估计选项(Options)

EViews提供很多估计选项。这些选项允许进行以下操作：对估计方程加权，计算异方差性，控制估计算法的各种特征。§1.1.7

方程输出

4950§1.4

方程输出

在方程说明对话框中单击OK钮后，EViews显示估计结果：

51

§1.4.1系数结果

1.

回归系数(Coefficient)

系数框描述了系数的估计值。最小二乘估计的系数b是由以下的公式计算得到的

如果使用列表法说明方程，系数会列在变量栏中相应的自变量名下；如果是使用公式法来说明方程，EViews会列出实际系数c(1),c(2),c(3)等等。对于所考虑的简单线性模型，系数是在其他变量保持不变的情况下自变量对因变量的边际收益。系数

c是回归中的常数或者截距---它是当其他所有自变量都为零时预测的基本水平。其他系数可以理解为假设所有其它变量都不变，相应的自变量和因变量之间的斜率关系。52

2.标准差

(Std.Error)

标准差项报告了系数估计的标准差。标准差衡量了系数估计的统计可信性----标准差越大，估计中的统计干扰越大。估计系数的协方差矩阵是由以下公式计算得到的：这里û

是残差。而且系数估计值的标准差是这个矩阵对角线元素的平方根。可以通过选择View/CovarianceMatrix项来察看整个协方差矩阵。其中ût53

3.t-统计量

t统计量是由系数估计值和标准差之间的比率来计算的，它是用来检验系数为零的假设的。

4.概率（P值）

结果的最后一项是在误差项为正态分布或系数估计值为渐近正态分布的假设下,指出t统计量与实际观测值一致的概率。

这个概率称为边际显著性水平或P值。给定一个P值，可以一眼就看出是拒绝还是接受实际系数为零的双边假设。例如，如果显著水平为5%，P值小于0.05就可以拒绝系数为零的原假设。对于例3.1的结果，系数inc的零假设在1%的显著水平下被拒绝。§1.1.8

方程操作

5455§1.5

方程操作

1.5.1方程视图

以三种形式显示方程：EViews命令形式，带系数符号的代数方程，和有系数估计值的方程。

可以将这些结果剪切和粘贴到支持Windows剪贴板的应用文档中。56

·EstimationOutput显示方程结果。

·Actual,Fitted,Residual以图表和数字的形式显示因变量的实际值和拟合值及残差。

·

Actual,Fitted,ResidualTable以表的形式来显示这些值。57

·GradientsandDerivatives...描述目标函数的梯度和回归函数的导数计算的信息。详细内容参见附录E，“梯度和导数”。

·CovarianceMatrix以表的形式显示系数估计值的协方差矩阵。要以矩阵对象保存协方差矩阵，可以使用@cov函数。

·CoefficientTests,ResidualTests,andStabilityTests

这些是“定义和诊断检验”中要详细介绍的内容。581.5.2方程过程

·Specify/Estimate...编辑方程说明、改变估计方法、估计样本。

·Forecast...用估计方程的预测。

·MakeModel创建一个与被估计方程有关的未命名模型。

·UpdateCoefsfromEquation把方程系数的估计值放在系数向量中。

·MakeRegressorGroup创建包含方程中使用的所有变量的未命名组（常数除外）。

·MadeResidualSeries...以序列形式保存回归中的残差。

·MakeDerivativeGroup创建包含回归函数关于其系数的导数的组。

·MadeGradientGroup创建包含目标函数关于模型的系数的斜率的组。59

例3.1:本例是用中国1978年〜2006年的数据建立的居民消费方程：

cst=c0+c1inct+ut其中:cs是居民消费；inc是可支配收入。方程中c0代表自发消费，表示收入等于零时的消费水平；而c1代表了边际消费倾向，0<c1<1，即收入每增加1元，消费将增加

c1元。60

例3.1:中国1978年〜2006年的数据建立的居民消费方程：

cst=449.07+0.734*inct+ût

(8.64)(126.1)R2=0.998

D.W.=0.53其中:cs是居民消费；inc是可支配收入。方程中c0=449.07代表自发消费，表示收入等于零时的消费水平；而c1=0.734代表了边际消费倾向，0<c1<1，即收入每增加1元，消费将增加

c1元。从系数中可以看出边际消费倾向是0.73。也即1978年~2006年中国居民可支配收入的73%用来消费。§1.2多元回归方程的统计量及统计检验统计量统计检验拟合优度R2调整拟合优度回归标准差残差平方和对数似然函数值因变量均值和标准差（S.D）AIC准则Schwarz准则HQC信息准则变量显著性的t检验方差显著性的F检验Durbin-Watson统计量6162

§1.2多元回归方程的统计量及统计检验

1.R2统计量

R2统计量衡量在样本内预测因变量值的回归是否成功。R2是自变量所解释的因变量的方差。如果回归完全符合，统计值会等于1。如果结果不比因变量的均值好，统计值会等于0。R2可能会由于一些原因成为负值。例如，回归没有截距或常数，或回归包含系数约束，或估计方法采用二阶段最小二乘法或ARCH方法。

EViews计算R2的公式为：，其中，û

是残差，是因变量的均值。预测误差评价63一、拟合优度检验1、可决系数与调整的可决系数则

总离差平方和的分解由于:

=0所以有：

注意：一个有趣的现象66

2.R2调整

使用R2作为衡量工具存在的一个问题，即在增加新的自变量时R2不会减少。在极端的情况下，如果把样本观测值都作为自变量，总能得到R2为1。

R2调整后的记为，消除R2中对模型没有解释力的新增变量。计算方法如下：

从不会大于R2

，随着增加变量会减小，而且对于很不适合的模型还可能是负值。67

3.回归标准差

(S.E.ofregression)

回归标准差是在残差方差的估计值基础之上的一个总结。计算方法如下：

4.残差平方和:TSS

残差平方和可以用于很多统计计算中，为了方便，现在将它单独列出：68

5.对数似然函数值

EViews可以作出根据系数的估计值得到的对数似然函数值（假设误差为正态分布）。似然比检验可通过观察方程严格形式和不严格形式的对数似然值之间的差异来进行。对数似然值计算如下：

69

6.Durbin-Watson

统计量

D-W统计量衡量残差的一阶序列相关性，计算方法如下：

作为一个规则，如果DW值小于2，证明存在正序列相关。如果大于2小于4，则存在负序列相关。在例1的结果中，DW值很小，表明残差中存在序列相关。关于Durbin-Watson统计量和残差序列相关更详细的内容参见“序列相关理论”。对于序列相关还有更好的检验方法。在“序列相关的检验”中，我们讨论Q统计量和LM检验，这些都是比DW统计量更为一般的序列相关检验方法。D.W.统计经验的假设、决策70D.W.统计检验判断7172

7.因变量均值和标准差（S.D）

y

的均值和标准差由下面标准公式算出：

8.AIC准则(AkaikeInformationCriterion)

计算公式如下：

其中l

是对数似然值

我们进行模型选择时，AIC值越小越好。例如，可以通过选择最小AIC值来确定一个滞后分布的长度。73

9.Schwarz准则

Schwarz准则是AIC准则的替代方法:选择模型或变量滞后阶数时，SC值越小越好。10.HQC信息准则(Hannan-QuinnCriterion)：选择模型或变量滞后阶数时，HQC值越小越好。74

10.F统计量和边际显著性水平

F统计量检验回归中所有的系数是否为零(除了常数或截距)。对于普通最小二乘模型，F统计量由下式计算：

在原假设为误差正态分布下，统计量服从

F(k–1,T–

k)

分布。

F统计量下的P值，即Prob(F-statistic),是F检验的边际显著性水平。如果P值小于所检验的边际显著水平，比如说0.05，则拒绝所有系数都为零的原假设。对于例1，P值为零，因此，我们拒绝回归系数为零的原假设。注意F检验是一个联合检验，即使所有的t统计量都是不显著的，F统计量也可能是高度显著的。二、方程的显著性检验(F检验)

方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。

1、方程显著性的F检验

即检验模型

Yi=0+1X1i+2X2i++kXki+ii=1,2,,n中的参数j是否显著不为0。

可提出如下原假设与备择假设：H0：0=1=2==k=0H1：j不全为0F检验的思想来自于总离差平方和的分解式：

TSS=ESS+RSS

如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性关系。

因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断。

根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立的条件下，统计量

服从自由度为(k,n-k-1)的F分布。

给定显著性水平，可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过

F

F(k,n-k-1)或F≤F(k,n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上的线性关系是否显著成立。对于中国居民人均消费支出的例子：一元模型：F=285.92

二元模型：F=2057.3给定显著性水平

=0.05，查分布表，得到临界值：一元例：F(1,21)=4.32

二元例：

F(2,19)=3.52显然有F

F(k,n-k-1)

，即二个模型的线性关系在95%的水平下显著成立。

2、关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论

由可推出：与或

在中国居民人均收入—消费一元模型中，

在中国居民人均收入—消费二元模型中，三、变量的显著性检验（t检验）

方程的总体线性关系显著每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的。因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。这一检验是由对变量的t检验完成的。

1、t统计量

由于

以cii表示矩阵(X’X)-1

主对角线上的第i个元素，于是参数估计量的方差为：

其中2为随机误差项的方差，在实际计算时，用它的估计量代替:

因此，可构造如下t统计量

2、t检验

设计原假设与备择假设：

H1：i0

给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k-1)，由样本求出统计量t的数值，通过

|t|

t/2(n-k-1)或|t|≤t/2(n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，从而判定对应的解释变量是否应包括在模型中。

H0：i=0

（i=1,2…k）

注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致

一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设H0：1=0

进行检验;

另一方面，两个统计量之间有如下关系：

在中国居民人均收入-消费支出二元模型例中，由应用软件计算出参数的t值：

给定显著性水平=0.05，查得相应临界值：t0.025(19)=2.093。

可见，计算的所有t值都大于该临界值，所以拒绝原假设。即:包括常数项在内的3个解释变量都在95%的水平下显著，都通过了变量显著性检验。四、参数的置信区间

参数的置信区间用来考察：在一次抽样中所估计的参数值离参数的真实值有多“近”。在变量的显著性检验中已经知道：容易推出：在(1-)的置信水平下i的置信区间是

其中，t/2为显著性水平为、自由度为n-k-1的临界值。

在中国居民人均收入－消费支出二元模型例中,给定=0.05，查表得临界值：t0.025(19)=2.093计算得参数的置信区间：

0

：(44.284,197.116)

1

：(0.0937,0.3489)

2

：(0.0951,0.8080)

从回归计算中已得到：如何才能缩小置信区间？

增大样本容量n，因为在同样的样本容量下，n越大，t分布表中的临界值越小，同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；提高模型的拟合优度，因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差平方和应越小。提高样本观测值的分散度,一般情况下，样本观测值越分散，(X’X)-1的分母的|X’X|的值越大，致使区间缩小。93

例3.2:中国1978年〜2006年的数据建立的居民消费方程：

cst=233.04+0.44*inct+0.45*cst-1

+ût

(3.82)(7.37)(5.01)R2=0.999

D.W.=1.8其中:cst

是居民消费；inct

是可支配收入；cst-1代表消费习惯。§1.3

非线性回归方程的估计

可线性转换的非线性回归方程非线性化模型：迭代估计法NLS模型比较分析：图形、统计值、残差分布94说明在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。如著名的恩格尔曲线(Englecurves)表现为幂函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线（Pillipscuves）表现为双曲线形式等。但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归模型的理论方法。一、模型的类型与变换

1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法

例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线

s=a+br+cr2c<0s：税收；r：税率设X1=r，X2=r2，则原方程变换为

s=a+bX1+cX2c<0

2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法

例如，Cobb-Dauglas生产函数：幂函数

Q=AKLQ：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动

方程两边取对数：

lnQ=lnA+lnK+lnL3、复杂函数模型与级数展开法

方程两边取对数后，得到：

(1+2=1)

Q:产出量，K：资本投入，L：劳动投入

：替代参数，1、2：分配参数例如，常替代弹性CES生产函数

将式中ln(1K-

+2L-)在=0处展开泰勒级数,取关于的线性项，即得到一个线性近似式。

如取0阶、1阶、2阶项，可得:1001.

回归方程的函数形式

下面讨论几种形式的回归模型：（1）双对数线性模型（不变弹性模型）（2）半对数模型（3）双曲函数模型（4）多项式回归模型所有这些模型的一个重要特征是：它们都是参数线性模型，但是变量却不一定是线性的。

(1)

双对数线性方程

双对数线性模型估计得到的参数本身就是该变量的弹性。如设Qt为产值，Pt为价格，在

log(Qt)=

+log(Pt)+ut的估计式中，P增加1%时，Q大约增加β%，所以β相当于Qt的价格弹性。§1.6

线性回归方程的应用实例

101

[推导]

当

t+1期的P比上一期增加1%时，有

log(Qt+1)=

+βlog(Pt·1.01))=+βlog(Pt)+βlog(1.01))=log(Qt)+βlog(1.01)

移项得，

log(Qt+1)−log(Qt)=βlog(1.01))，即

，还原得

因此，P变化1%时，Q大约变化β%。

例3.3:下面建立我国居民消费的收入弹性方程：

log(cspt)=

0.41

+0.93log(inct)t=(5.65)(111.64)

R2=0.999D.W.=0.58其中cspt是城镇居民消费，inct是居民消费可支配收入。102

方程中消费的收入弹性为0.93，说明我国居民可支配收入每增加1%，将使得居民消费增加0.93%。103

(2)半对数模型

线性模型与对数线性模型的混合就是半对数模型或半对数模型包含两种形式，分别为：（3.2.10）

（3.2.11）

半对数模型也是线性模型，因为参数是以线性形式出现在模型中的。而且，虽然原来的变量x和y之间是非线性关系，但变量x（或y）经过对数变换后，变量ln(x)和y之间（或变量x和ln(y)之间）是线性关系，因此可以称其为半对数线性模型。类似双对数模型，半对数模型也可以使用OLS估计。104

半对数模型（3.2.10）和（3.2.11）中的回归系数具有直观的意义：，（3.2.12）即：1表示x变化1%导致y绝对量的变化量；1表示x的变化1单位导致y变化的百分比。特别地，如果在半对数模型式（3.2.11）中x取为t（年份），变量t按时间顺序依次取值为1，2，…，T，则t的系数度量了y的年均增长速度，因此，半对数模型（3.2.11）又称为增长模型。对于增长模型，如果1为正，则y有随时间向上增长的趋势；如果1

为负，则y有随时间向下变动的趋势，因此t可称为趋势变量。宏观经济模型表达式中常有时间趋势，在研究经济长期增长或确定性趋势成分时，常常将产出取对数，然后用时间t作解释变量建立回归方程。105

例3.4:我们建立半对数线性方程，估计我国实际GDP（支出法，样本区间：1978～2006年）的长期平均增长率，模型形式为其中：GDPPt表示剔出价格因素的实际GDPt

。方程中时间趋势变量的系数估计值是0.0939，说明1978～2006年我国实际GDP的年平均增长率为9.39%。F值或R2表明模型拟合效果很好，D.W.显示模型存在（正的）自相关。106

(3)双曲函数模型形如下式的模型称为双曲函数模型

这是一个变量之间是非线性的模型，因为Xt

是以倒数的形式进入模型的，但这个模型却是参数线性模型，因为模型中参数之间是线性的。这个模型的显著特征是随着Xt的无限增大，（1/Xt

）接近于零。

107

例3.5

美国菲利普斯曲线

利用美国1955～1984年的数据，根据菲利普斯曲线，即通货膨胀率t

和失业率Ut的反向关系，建立双曲函数：

估计结果表明，菲利普斯曲线所描述的t

和Ut的反向关系并不存在。之所以出现这样的背离，主要是因为20世纪70年代出现石油危机，从而引发了“滞胀”，通货膨胀伴随着高失业率。如果考虑到通货膨胀预期的影响，则可以在模型中引入代表通货膨胀预期的变量，比如用通货膨胀前期值来代表。108含有通货膨胀预期的菲利普斯曲线估计结果为

可以看出，加入通货膨胀预期因素后，模型的拟合效果很好，而且这时的模型体现出了失业率和通货膨胀率之间的显著的反向变动关系。

109§1.3非线性最小二乘估计

经典的计量经济学模型理论与方法是在线性模型的基础上发展、完善起来的，因而线性计量经济学模型领域的理论与方法已经相当成熟。但是，现实经济活动并不都能抽象为线性模型，所以非线性计量经济学模型在计量经济学模型中占据重要的位置，关于它的理论与方法的研究是计量经济学理论与方法研究的一个广泛的领域。假设回归方程为：其中f

是解释变量和参数

的函数。最小二乘估计就是要选择参数的估计值b使残差平方和最小：110

如果

f关于参数的导数不依赖于参数，则我们称模型为参数线性的，反之，则是参数非线性的。例如，是参数线性的，f关于参数的导数与参数无关。而其函数的导数仍依赖于参数，所以它是参数非线性的。对于这个模型，没有办法使用普通最小二乘估计来最小化残差平方和。必须使用非线性最小二乘估计技术来估计模型参数。

111

非线性最小二乘估计根据参数的估计值b选择最小化残差平方和。最小化的一阶条件是：（4.3.5）

其中G(b)是f(X,b)关于b的导数。

估计协方差矩阵为：

关于非线性估计的详细讨论，参见Pindick和Rubinfeld(1991,231-245页)或Davidson和MacKinon(1993)。即令112

对于非线性模型，无法直接求解式（4.3.5）。非线性方程有几种近似迭代方法可以完成参数估计。但是利用EViews估计非线性最小二乘模型很简单，对于任何系数非线性的方程，EViews自动应用非线性最小二乘估计，会使用迭代算法估计模型。1.说明非线性最小二乘估计

对于非线性最小二乘模型，必须使用直接包含系数约束的EViews表达式以方程形式来说明。可以使用缺省系数向量C中的元素(例如，c(1),c(2),c(34),c(87))，也可以定义使用其它系数向量。例如：

Y=c(1)+c(2)*(K^c(3)+L^c(4))就是缺省系数向量C的4个元素从c(1)到c(4)。113

例4.6：如果设定例3.1中的消费函数为非线性形式：（4.3.11）其中：cst是实际居民消费，inct是实际可支配收入。利用我国1978年～2006年的年度数据估计此非线性方程，由于用迭代法计算，首先要赋初值，比如可以设3的估计值b3初值是1，则可以利用OLS估计值(例3.1中，b1=449.07，b2=0.7345)作为b1

，b2

的初值。经过迭代，得到的非线性消费方程为

（4.3.12）

t=(0.49)(3.999)(37.92)R2=0.998114非线性形式的边际消费倾向为

即

MPCt

=c(2)c(3)inct(C(3)-1)=

1.4210.9348inc^(0.9348-1)115图4.3动态的边际消费倾向

因此，非线性情况下的MPC是时变的，根据式（4.3.11）计算得到的边际消费倾向序列如图4.3所示。注意，inc的平均值(7424.254)对应的边际消费倾向为

MPC=1.4210.93487424.254(0.9348-1)=0.743近似等于线性模型估计值，因为线性模型的参数反映的是变量之间平均意义上的影响关系。

116

2.估计方法选项

（1）初始值

迭代估计要求模型系数有初始值。选择参数初始值没有通用的法则。越接近于真值越好，因此，如果你对参数值有一个合理的猜测值，将是很有用的。在某些情况下，可以用最小二乘法估计严格形式的模型得到良好的初始值。总体说来，必须进行试验以找到初始值。在开始迭代估计时，EViews使用系数向量中的值。很容易检查并改变系数的初始值。要察看初始值，双击系数向量。如果初始值是合理的，可以对模型进行估计。如果想改变初始值，首先确定系数向量表使处于编辑状态，然后输入系数值。完成初始值设定后，关闭系数向量窗口，估计模型。117

也可以从命令窗口使用PARAM命令设定初始系数值。只需输入关键词PARAM，然后是每个系数和想要的初值：

paramc(1)414.88c(2)0.51c(3)1中设定c(1)=414.88，c(2)=0.51和c(3)=1。详情参见附录E。

118

（2）迭代和收敛选项

可以通过说明收敛标准和最大迭代次数来控制迭代过程。按Options钮并输入想要的数值。如果系数变化的最大值低于阈值，EViews报告估计过程已经收敛。例如，设定阈值为0.001，则EViews会通过检查系数的最大变化是不是小于0.001来决定是否收敛。在大多数情况下，不许改变最大迭代次数。然而，对于某些难于估计的模型，在最大迭代次数下迭代过程不收敛。这时，只需单击Options钮，然后，增加最大迭代次数并点OK接受选项，开始估计。EViews会使用最后一组参数值作为初始值进行估计。§1.4模型设定和假设的诊断检验？

119120§1.8定义和诊断检验

经验研究经常是一种相互影响的过程。这一过程从估计关系的定义开始。选择定义常含有几个选择：变量，连接这些变量的函数，以及当数据是时间序列时表示变量间关系的动态结构。不可避免地，在初始定义的恰当性方面存在不确定性。一旦估计了方程，EViews提供了评价方程定义质量的工具。随着改进，检验结果将影响所选择的定义，这一过程将重复下去，直到方程定义恰当为止。本节描述了在方程对象的View中关于定义检验统计量的多个菜单。我们试图提供足够的统计方法来进行这些检验，但是实际考虑的许多描述是不完全的，建议查阅标准统计和经济计量学参考资料。121

下面描述的每一检验过程包括假设检验的原假设定义。检验指令输出包括一个或多个检验统计量样本值和它们的联合概率值（P值）。

P值说明在原假设为真的情况下，样本统计量绝对值的检验统计量大于或等于临界值的概率。P值度量的是犯第一类错误的概率，即拒绝正确的原假设的概率，P值越大，错误地拒绝原假设的可能性就越大；P值越小，拒绝原假设时就越放心。例如，如果P值在0.01和0.05之间，原假设在5%显著性水平被拒绝而不是在1%水平。切记：对每一检验都有不同假设和分布结果。例如，有些检验统计量有确切的有限的样本分布（常为t或F分布）。其它是服从近似分布的大样本检验统计量。每一检验的内容都不同，将分别描述。122

其它检验在其它章节讨论。它们包括单位根检验、Granger因果检验和Johansen协整检验。

方程对象菜单的View中给出三种检验类型选择来检验方程定义。包括系数检验、残差检验和稳定性检验：

123§1.8.1

系数检验

系数检验对估计系数的约束进行评价，包括对遗漏变量和冗余变量特殊情况的检验。

一、Wald检验——系数约束条件检验

1.Wald检验原理

Wald检验没有把原假设定义的系数限制加入回归，通过估计这一无限制回归来计算检验统计量。Wald统计量计算无约束估计量如何满足原假设下的约束。如果约束为真，无约束估计量应接近于满足约束条件。下面给出计算Wald检验统计量的一般公式。124

对于一个线性回归模型

一组q个线性约束：

式中R是一个已知的

qk阶矩阵，r是

q维向量。Wald统计量简写为W，b为没有加入约束得到的参数估计值：

W

在H0下服从渐近2(q)分布。进一步假设误差独立同时服从正态分布，我们就有一确定的、有限的样本F-统计量

是约束回归的残差向量。F统计量比较有约束和没有约束计算出的残差平方和。如果约束有效，这两个残差平方和差异很小，F统计量值也应很小。EViews显示2和F统计量以及相应的P值。125

2.如何进行Wald系数检验

为介绍如何进行Wald系数检验，我们考虑一个例子。生产函数的数学形式为

在最初提出的C-D生产函数中，假定参数满足+=1

，也就是假定研究对象满足规模报酬不变。

Q为产出，K为资本投入，L为劳动力投入。很容易推出参数,分别是资本和劳动的产出弹性。那么由产出弹性的经济意义，应该有,

即当资本与劳动的数量同时增长倍时，产出量也增长

倍。1937年，提出了C-D生产函数的改进型，即取消了+=1

的假定，允许要素的产出弹性之和大于1或小于1，即承认研究对象可以是规模报酬递增的，也可以是规模报酬递减的，取决于参数的估计结果。126

例3.8

Cobb-Douglas生产函数估计形式如下：

利用美国主要金属工业企业的数据（27个企业的数据），C-D生产函数估计结果如下：

(1)127

从结果看LogL和logK的系数和小于1，但为确定这种差异是统计相关的，我们常进行有约束的Wald系数检验。选择View/CoefficientTests/Wald-CoefficientRestrictions，在编辑对话框中输入约束条件。约束条件应表示为含有估计参数和常数（不可以含有序列名）的方程，系数应表示为c(1)，c(2)等等，除非在估计中已使用过一个不同的系数向量。为检验

+=1的规模报酬不变的假设，在对话框中输入下列约束：

c(2)+c(3)=1单击OK，EViews显示Wald检验如下结果（原假设：约束条件有效）：

EViews显示F统计量和

2统计量及相应的P值。2统计量等于F统计量乘以检验约束条件数。本例中，仅有一个约束条件，所以这两个检验统计量等价。它们的P值表明我们可以确定地接受规模报酬不变的原假设。128

下面考虑检验多个约束条件的情况。例如，改变前面的C-D生产函数为非线性形式，我们估计一个如下形式的生产函数

检验约束条件：。这个非线性模型的估计结果如下：

129

检验多个约束条件，应用逗号隔开约束条件。在方程对话框中选择View/Coefficienttests/WaldCoefficientRestrictions。在Wald检验对话框中输入如下约束条件：c(4)=0，c(5)=0，c(6)=0，结果如下：

检验结果是不能拒绝原假设，表明(1)式的Cobb-Douglas生产函数是这一问题较适当的方程定义形式。130二、遗漏变量(OmittedVariables)检验

1.遗漏变量检验原理

这一检验能给现有方程添加变量，而且询问添加的变量对解释因变量变动是否有显著作用。原假设H0是添加变量不显著。

检验的输出是F统计量和似然比（LR）统计量及各自P值，以及在备选假设下无约束模型估计结果。F统计量基于约束和无约束回归残差平方和之差。LR统计量由下式计算：

Lr和Lu是约束和无约束回归对数似然函数的最大值。在H0下，LR统计量服从渐近2分布，自由度等于约束条件数q，即加入变量数。131

注意：

(1)遗漏变量检验要求在原始方程中和检验方程中观测值数相等。如果要加入变量的任一序列与原方程样本相比，含有缺失观测值（当加入滞后变量时这种情况常见），检验统计量将无法建立。

(2)遗漏变量检验可应用于线性LS，TSLS，ARCH，Binary,Ordered,Censored,Count模型估计方程。只有通过列表法列出回归因子定义方程而不能通过公式，检验才可以进行。

2.如何进行遗漏变量检验

选择View/CoefficientTests/OmittedVariables—LikelihoodRation，在打开的对话框中，列出检验统计量名，用至少一个空格相互隔开。132

例如：原始回归为：log(q)clog(L)log(k)。输入：KLEViews将显示含有这两个附加解释变量的无约束回归结果，而且显示原假设：新添变量系数为0

的检验统计量。输出的结果如下：

对数似数比统计量就是LR检验统计量且渐进服从于2

分布，自由度等于添加回归因子数。本例中，检验结果不能拒绝原假设，即添加变量不显著。133三、冗余(RedundantVariables)变量

1.冗余变量检验原理

冗余变量检验可以检验方程中一部分变量的统计显著性。更正式，可以确定方程中一部分变量系数是否为0，从而可以从方程中剔出去。原假设：被检验变量系数为0。冗余变量检验可以应用于线性LS，TSLS，ARCH（仅均值方程），Binary,Ordered,Censored,Count模型估计方程。只有以列表法列出回归因子形式，而不是公式定义方程，检验才可以进行。

2.如何进行冗余变量检验

选择View/CoefficientTests/RedundantVariable—likelihoodRatio，在对话框中，输入每一检验的变量名，相互间至少用一空格隔开。134

例如：原始回归为

log(Q)clog(L)log(K)KL

如果输入增加的变量K和L，EViews显示去掉这两个回归因子的约束回归结果，以及检验原假设：被检验变量系数为0

的统计量。结果如下：

检验统计量是F统计量和对数似然比。如果误差是独立正态分布随机变量，F统计量有确定有限样本F分布，分子自由度为原假设下系数约束条件数，分母自由度为总回归自由度。LR检验是渐近检验，服从2分布。

135四、因子分割点检验因子分割点检验按照一个或者多个分类变量的取值将全部的样本分割成若干子样本，检验利用这些子样本估计出来的方程是否存在显著的差别。如果存在显著的差别，说明变量的关系存在结构变化。比如，可以用这种检验对工资水平是否因为性别差异而受到影响进行检验，即用“性别”变量的取值将样本分割成两部分，检验子样本所估计出来的方程系数是否存在显著差异。因子分割点检验将检验方程的全部系数是否有显著的结构变化，在方程是线性的情形下，也可以检验部分参数是否存在结构变化。这种检验对于普通最小二乘法、二阶段最小二乘法估计的方程都是适用的。136

因子分割点检验的原假设H0：不存在分割点，检验方法可以通过F检验、似然比（LR）检验和Wald检验。

（1）F统计量对具有约束条件和无约束条件两种情况的残差平方和进行比较，最简单情况即检验是否存在一个分割点时，计算如下

（3.4.15）其中，是利用整个样本的数据进行回归得到的残差平方和（相当于施加了在两个子样本期间不存在结构变化的约束），是基于第i个子样本进行参数估计后计算得到的残差平方和。如果基于两个子样本估计的方程没有发生显著变化，F值应该很小，反之，当F值大于临界值时，拒绝不存在分割点的原假设，即可以认为出现了结构变化。137

（2）对数似然比LR统计量对具有约束条件和没有约束条件下的极大对数似然值进行比较。LR统计量由式（3.4.9）计算。在H0下，LR统计量渐近地服从2分布，自由度等于分割点个数乘以（k+1）。

（3）Wald检验统计量

将在基于所有子样本估计的方程系数都相同的约束条件构造如式（3.4.4）所示的标准Wald统计量。在H0下，Wald统计量渐近地服从2

分布，自由度等于分割点个数乘以（k+1）。138

因子分割点检验操作

选择View/CoefficientTests/FactorBreakpointTest…，在对话框中输入用来将整个样本分成若干子样本的分类变量名称。比如，可以用例3.6的数据建立只包含常数项和教育年数(ED)的工资方程，即假设方程设定形式是：

W=C(1)+C(2)*ED方程估计完成后就可以利用“性别”变量(SEX)作为分类变量，进行因子分割点检验，判断“性别”这个因子是否对方程的结构产生显著影响。检验的输出结果为：139

三个统计量都表明拒绝不存在分割点的原假设，即性别变量对方程结构有显著的影响。140§1.8.2残差检验

EViews提供了对估计方程残差的序列相关，正态性，异方差性和自回归条件异方差性检验。141(1)相关图和Q统计量

(2)平方残差相关图

(3)残差直方图和正态检验：J-B检验

显示残差直方图和残差的描述统计量，包括检验残差正态性的Jarque-Bera统计量。如果残差服从正态分布，直方图应呈钟型，J-B统计量应不显著。也适用于LS，TSLS，非线性LS等模型残差。选择View/ResidualTests/HistogramNormality显示直方图和J-B统计量。在原假设:残差正态分布下，J-B统计量应服从2

分布，自由度为2。

(4)序列相关：LM检验；Ｌ-ＢＱ统计检验

(5)异方差性检验：ARCH检验；white异方差性检验142S、K分别是偏度、峰度143§1.8.3定义和稳定性检验

一个推荐的经验方法是把观测值区间T分为T1和T2两部分。T1个观测值用于估计，T2个观测值用于检验和评价。把所有样本数据用于估计，有利于形成最好的拟合，但没有考虑到模型检验，也无法检验参数不变性，估计关系的稳定性。检验预测效果要用估计时未用到的数据，建模时常用T1区间估计模型，用T2区间检验和评价效果。对于子区间T1和T2的相对大小，没有太明确的规则。有时可能会出现明显的结构变化的转折点，例如战争，石油危机等。当看不出有转折点时，常用的经验方法是用85%-90%的数据作估计，剩余的数据作检验。EViews提供了一些检验统计量选项，它们检查模型参数在数据的不同子区间是否平稳。1441.Chow分割点检验

Chow分割点检验的思想是对每一个子样本区间估计方程，看估计方程中是否存在显著差异。显著差异说明关系中存在结构变化。例如，可以使用这个检验来检查石油危机前后的能源需求函数是否一样。为进行检验，把数据分为两个或多个子样本区间，每一子区间包含的观测值数应大于方程参数，这样才使得方程能被估计。Chow分割点检验基于比较利用整个样本估计方程获得的残差平方和及利用每一子区间样本估计方程获得的残差平方和之间的差别。对Chow分割点检验，EViews提供了两个检验统计量。F统计量和对数似然比（LR）统计量

，F统计量基于对约束和非约束残差平方和的比较。在最简单情况下（一个分割点），计算如下：

145146

Chow分割点检验的原假设:不存在结构变化。Chow分割点检验的主要缺陷是，如果每一个子区间要求至少和被估计参数一样多的样本数，那么这里就存在一个问题，比如说，要检验战争和和平时期的结构变化，但是战争时期的样本数较少。下面要讨论的Chow预测检验可以解决这个问题。

其中:

是整个样本期间估计的残差平方和；是第i个子区间的残差平方和；T是观测值数；k是方程参数个数，这一公式可以扩展为多于一个分割点。147

为了进行Chow分割点检验，选择View/StabilityTests/ChowBreakpointTest…出现对话框以后，填入间断点的日期。比如，如果方程的数据是从1978到2006年，填入1994，则被定义成两个子区间：一个是1978到1993，另一个是1994到2006。

例3.9

我们利用Chow检验来判断例3.1所建立的消费函数的稳定性