高一数学必修一重点难点分析

一、知识结构

本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手，引出集合与

集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明.然后，

介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图

表示集合的例子.

二、重点难点分析

这一节的重点是集合的基本概念和表示方法，难点是运用集合

的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合.这一节的特点是概

念多、符号多，正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键.为

此，在教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题

目，以帮助学生提高判断能力，加深理解集合的概念和表示方法.

1.关于牵头图和引言分析

章头图是一组跳伞队员编成的图案，引言给出了一个实际问

题，其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解决这个实际

间题，必须用到集合和逻辑的知识，也就是把它数学化.一方面提

高用数学的意识，一方面说明集合和简易逻辑知识是高中数学重要

的基础.

2.关于集合的概念分析

点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合

则是集合论中原始的、不加定义的概念.

初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”；

初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等

等.在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个

初步认识.教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成

为一个集合，也简称集.”这句话，只是对集合概念的描述性说明.

我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念，

从而阐明集合概念如同其他数学概念一样，不是人们凭空想象出来

的，而是来自现实世界.

3.关于自然数集的分析

教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科

书不尽相同，应该注意.

新的国家标准定义自然数集N含元素0,这样做一方面是为了

推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标准，以便早日与之接轨,

另一方面，0还是十进位数｛0,1,2,…，9）中最小的数，有了

0,减法运算a-a仍属于自然数，其中aeN.因此要注意几下几点:

（1）自然数集合与非负整数集合是相同的集合，也就是说自然

数集包含0；

(2)自然数集内排除0的集，表示成N•或N.,其他数集｛如整

数集Z、有理数集Q、实数集R｝内排除0的集，也可类似表示r,

三+；

(3)原教科书或根据原教科书编写的教辅用书中出现的符号如

肥，Q-,二-…不再适用.

4.关于集合中的元素的三个特性分析

集合中的每个对象叫做这个集合的元素.例如“中国的直辖市”

这一集合的元素是：北京、上海、天津、重庆。

集合中的元素常用小写的拉丁字母％…表示.如果a是

集合A的元素，就说a属于集合A,记作代工；否则，就说a不

属于A,记作

要正确认识集合中元素的特性：

(I)确定性：aS和二者必居其一.

集合中的元素必须是确定的.这就是说，给定一个集合，任何

一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.例如，给出集合｛地

球上的四大洋｝,它的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋.其

他对象都不用于这个集合.如果说“由接近百的数组成的集合”，

这里“接近石的数”是没有严格标准、比较模糊的概念，它不能

构成集合.

（2）互异性：若awA,beA,则

集合中的元素是互异的.这就是说，集合中的元素是不能重复

的，集合中相同的元素只能算是一个.例如方程--2/1•。有两个

重根勺其解集只能记为｛1｝,而不能记为｛1,1｝.

（3）无序性：｛a,b］和（b,a）表示同一个集合.

集合中的元素是不分顺序的.集合和点的坐标是不同的概念，

在平面直角坐标系中，点（I,0）和点（0,I）表示不同的两个点,

而集合｛1,0｝和｛0,1｝表示同一个集合.

5.要辩证理解集合和元素这两个概念

（1）集合和元素是两个不同的概念，符号和是表示元素和集合

之间关系的，不能用来表示集合之间的关系.例如（Dep初的写法

就是错误的，而SwHD.⑶⑶的写法就是正确的.

（2）一些对象一旦组成了集合，那么这个集合的元素就是这些

对象的全体，而非个别现象.例如对于集合Ge版2。），就是指所

有不小于0的实数，而不是指“工可以在不小于。的实数范围内取

值”，不是指“又是不小于0的一个实数或某些实数，”也不是指

“工是不小于。的任一实数值”……

（3）集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它

的元素；只要是它的元素就必须符合条件.

6.表示集合的方法所依据的国家标准

本小节列举法与描述法所使用的集合的记法，依据的是新国家

标准如下的规定.

符号应用意义或读法备注及示例

｛马4加1也可用fee/）,这里的

巧■巧■…■专构成1表小指标集

的集

{0使命题/®为例：｛"牛句，如果从

真的A中诸元前后关系来看，集A已

素之集很明确，则可使用

（中J）｝来表不，例如

［市45）

此外，上布（才）有时也可写成世土双前或｛/eAWDl

7.集合的表示方法分析

集合有三种表示方法：列举法、描述法、图示法.它们各有优

点.用什么方法来表示集合，要具体问题具体分析.

（I）有的集合可以分别用三种方法表示.例如“小于：的自

然数组成的集合”就可以表为：

①列举法：8.123）；

②描述法：8.123｝；

③图示法：如图1。

(2)有的集合不宜用列举法表示.例如“由小于二的正实数

组成的集合”就不宜用列举法表示，因为不能将这个集合中的元素

一—列举出来，但这个集合可以这样表示：

①描述法：Ue4)<x<<);

②图示法：如图2.

(3)用描述法表示集合，要特别注意这个集合中的元素是什

么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义.例如：

①集合卜曲中的元素是工，它表示函数尸石中自变量

的取值范围,即J年例;

②集合｛^川■另中的元素是，它表示函数值。的取值范

围，即九。山；

③集合中的元素是点它表示方程,石的解

组成的集合，或者理解为表示曲线厂石上的点组成的集合；

④集合中的元素只有一个，就是方程/分，它是用

列举法表示的单元素集合.

实际上，这是四个完全不同的集合.

列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表

示法.要注意，一般无限集，不宜采用列举法，因为不能将无限集

中的元素一一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定.

8.集合的分类

含有有限个元素的集合叫做有限集，如图1所示.

含有无限个元素的集合叫做无限集，如图2所示.

一

0x

图2

9.关于空集分析

不含任何元素的集合叫做空集，记作0.空集是个特殊的集

合，除了它本身的实际意义外，在研究集合、集合的运算时，必须

予以单独考虑.

教学设计方案

集合

知识目标：

(1)使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其

记法

(2)使学生初步了解“属于"关系的意义

(3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

能力目标：

(1)重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；

(2)启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学

会分析问题和创造地解决问题；

(3)通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和

逻辑思维能力；

德育目标：

激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学

生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

教学重点：集合的基本概念及表示方法

教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正

确表示一些简单的集合

授课类型：新授课

课时安排：2课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与

和数；

2.教材中的章头引言；

3.集合论的创始人——康托尔（德国数学家）；

4.“物以类聚”，“人以群分”；

5.教材中例子（P4）o

二、讲解新课：

阅读教材第一部分，问题如下：

（1）有那些概念？是如何定义的?

(2)有那些符号？是如何表示的?

(3)集合中元素的特性是什么？

(-)集合的有关概念(例子见书)：

1、集合的概念

(1)集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。

(2)元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

2、常用数集及记法

(1)非负整数集(自然数集)：全体非负整数的集合。记作

N

(2)正整数集：非负整数集内排除0的集。记作N*或N+

(3)整数集：全体整数的集合。记作Z

(4)有理数集：全体有理数的集合。记作Q

(5)实数集：全体实数的集合。记作R

注：

(1)自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集

包括数0。

(2)非负整数集内排除0的集。记作N*或N+、Q、Z、R等其

它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集,

表示成Z*

3、元素对于集合的隶属关系

(1)属于:如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作a

£A；

(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,

记作“4.

4、集合中元素的特性

(1)确定性：

按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不

在，不能模棱两可。

(2)互异性：

集合中的元素没有重复。

(3)无序性：

集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)

注:

1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

2、的开口方向，不能把a£A颠倒过来写。

练习题

1、教材P5练习

2、下列各组对象能确定一个集合吗？

(1)所有很大的实数。(不确定)

(2)好心的人。(不确定)

(3)1,2,2,3,4,5.(有重复)

阅读教材第二部分，问题如下：

1.集合的表示方法有几种？分别是如何定义的？

2.有限集、无限集、空集的概念是什么？试各举一例。

(-)集合的表示方法

1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表

示集合的方法。

例如，由方程--l■。的所有解组成的集合，可以表示为｛-1,

1).

注：(1)有些集合亦可如下表示：

从51到100的所有整数组成的集合：｛51,52,53,…，

100)

所有正奇数组成的集合：｛1,3,5,7,•••)

(2)a与｛a｝不同：a表示一个元素，｛a｝表示一个集合，该集

合只有一个元素。

描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把

这个条件写在大括号内表示集合的方法。

格式：｛xEA|P(x)｝

含义：在集合A中满足条件P(x)的x的集合。

例如，不等式钎3>2的解集可以表示为：(初司*-3>为或

(x|x-3>2)

所有直角三角形的集合可以表示为：但屋a角部粉

注：(1)在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。

如：｛直角三角形｝;｛大于10」的实数｝

（2）错误表示法：｛实数集｝;｛全体实数｝

3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

注：何时用列举法？何时用描述法？

（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法

表示，只能用列举法。

如：集合U'.我+F-+用

（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便

于、不需要一一列举出来，常用描述法。

如：集合KzO3・一+D；集合｛1000以内的质数｝

注：集合与集合是同一个集合吗？

答：不是。

集合。州，Tf是点集，集合（H尸回门。是数集。

（三