对多参变量问题的诠释 论文

对多参变量问题的诠释摘要：针对含多个参变量的函数表达式，如何来求代数式的最值或范围，本文通过对近期考试中一道试题，从三个不同角度进行分析，寻求解法，总结思路，进而引发新的思考，再由此题的两种变式共三个例题的分析解答，来阐述此类问题的思考及解决方法。关键词：参变量，最值，范围，构造，转化引言：学生在解答含多个参变量的最值或范围的问题时，往往思路受阻，不知从何下手，针对此类情况，本文结合近期的一道试题，从“数形结合、构造函数、个别到一般”三个角度打开思路，引导学生进行破题思考，再由此题的两种变式共三个例题的分析，来总结此类问题的解决方法，提升学生分析问题、解决问题的能力，渗透化繁为简的基本思想。考试后对试题进行评讲，这是最正常的一种教学模式，但是如何去评讲试题？这是值得每一位教师去深思的。这里我想就近期举行的“名校联盟”第四次联考，本次联考基本都是安徽省内的省级示范高中。发现其中压轴的第（II）得分极低。试题如下： x

已知f(x)=e;g(x)=ax+b,其中a,b∈R.(I)当a=1时，求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间。(II)若f(x)≥g(x)恒成立，求a+b的最大值。一．思前首先评讲前，作为授课教师必然要问一问：为什么会做的学生这么少？我根据课后对自已的学生调查分析：一是平时我们训练的多是含有一个参变量的函数表达式，恒成立多是采用分离参变量，再求对应函数极值，或是根据其导数正负来判断参量取值范围。二是本题是对两个参变量和求最值，用对一个参量的做法都是不很凑效的，这是问题的根因。三是对问题思考没有正确的方法。 所以在对该题进行考评讲时，我是这样分析的：

分析：想要求的是a+b的最大值，首先要肯定它们是可变化的，不是常量。要知其变化与什么有关联，这是根本。与其变化有关的参变量又从那里去找，怎样去确定其与参变量的关系，应该说只能与一个变量有关，这样我们才能很好地把握它的变化，才能很好地确定它极值。二．如何准确破解问题这里只对（II）解析。角度一：（从数形结合角度来思考）因f(x)是指数函数，g(x)是直线。 x

因f(x)≥g(x)恒成立，所以函数f(x)=e图象应该说全在直线g(x)上方（如 x

图1）。所以在f(x)=e上任取一点P（x0,ex0）.yf(x1)g(x0)x图1. x

又因f′(x)=e＞0，所以f(x)在R上单调递增。则过P点的切线为：y-ex0=ex0(x-x0)。则有y=xex0-x0ex0+ex0=g(x)=ax+b。所以ìïíïîba=ex0Þa+b=2ex0-xe0 x0。=ex0-xe0 x0令h(x)=2x-xex x,则h′(x)=(1-x)e.x(-∞,1)1(1,+∞)h′(x)+0-h(x)↑极大值e↓ 所以在x=1处取唯一极大值也是最大值h(1)=e，此时a=e,b=0，所以a+b的最大值为e。角度二：（通过简单变换形式，构造新函数）：x x因f(x)-g(x)=e－ax-b≥0在R上恒成立,则e－ax≥bÞ x

e－ax+a≥a+b。x x令h(x)=e－ax+a,则h′(x)=e－a.若a<0，h′(x)>0,显然h（x）递增，但其最小值可任意小。当a=0时，则b最大值也只能取0. x

当a>0时，则h′(x)=e－a＝0Þx=lna。则有x(-∞,lna)lna(lna,+∞)h′(x)-0+h(x)↓极小值2a-alna↑令H(a)=2a-alna(a>0),则H′(a)=1-lna,则H′(a)=1-lna＝0时，即a=e。所以H(a)=2a-alna(a>0)在（0，e）上单调递增，(e,+∞)上单调递减。在a=e处取唯一极大值也是最大值H(e)=e，此时a=e,b=0，所以a+b的最大值为e。角度三：（从个别到一般的思维方法来解决）： x

因教材中有这样一个常用不等式：e≥x+1(x∈R). x

根据题意：若取e≥g(x)＝ax+b≥x+1恒成立，则可满足条件。又因当x=1时有：e≥a+b≥2。 x

所以我们只要证明：e≥ex恒成立即可。 x x设h(x)=e-ex,所以h(1)=0.h′(x)=e-e.当x>1时，h′(x)＞0，则h(x)递增；当x＜1时，h′(x)＜0，则h(x)递减。 x

所以当x=1时，h(x)取极小值0。则e≥ex恒成立。此时a=e,b=0，所以a+b的最大值为e。 总结：首先要明确求多变参量最值，其最值肯定与某一变量有关。其次就是如何寻找与两参变量有关的的变量。再次就是如何求其最值。三．加强筑固讲解好该题后，今后若再遇到类似多参变量极值问题如何破解？除刚介绍这几种方法外，是否还有针对具体的问题，有什么更好的行之有效的方法，所以补充讲解下列变式。变式（一）：（两参变量）例1．已知函数f(x)=e+x²-x;g(x)=x²+ax+b,a,b∈R。若f(x)≥g(x)恒成立。x求a+b的最大值。 分析：因要求参变量a＋b的最大值，所以由上讲的考题知必须将其转化为一个变量的函数，这是基本思路。怎样才能转化？请看下面

解析：设h(x)=f(x)-g(x)=ex-(a+1)x-b,则h(x)≥0恒成立.易得h'(x)=ex-(a+1).（1）当a+1≤0时，因为h'(x)>0，所以此时h(x)在R上单调递增.①若a+1=0，则当b≤0时满足条件，此时a+b≤-1；，所以h(x)≥0②若a+1<0，取x0<0且x0<1-b

a+1, 1-b

此时h(x0)=ex0-(a+1)x0-b<1-(a+1)a+1-b=0不恒成立．不满足条件；

（2）当a+1>0时，令h'(x)=0，得x=ln(a+1).由由h'(x)<0，得x<ln(a+1).h'(x)>0，得x>ln(a+1)；所以h(x)在(-∞,ln(a+1))上单调递减，在(ln(a+1),+∞)上单调递增.要使得“h(x)=ex-(a+1)x-b≥0恒成立”，必须有“当x=ln(a+1)时，h(x)min=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0”成立.所以b≤(a+1)-(a+1)ln(a+1).则a+b将可转化为与单变量a+1有关的函数。即a+b≤2(a+1)-(a+1)ln(a+1)-1.令G(x)=2x-xlnx-1,x>0,则G'(x)=1-lnx.令G'(x)=0，得x=e.由G'(x)>0，得0<x<e；由G'(x)<0，得x>e.所以G(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减,所以，当x=e时，G(x)max=e-1.从而，当a=e-1,b=0时，a+b的最大值为e-1.变式二：（含三个参变量）例2．已知函数f(x)=x-x²;g(x)=xlnx-3a+5.若"m,n∈[1,2],f(m)-g(n)+2x2≤0恒成立，求实数a的取值范围。分析：因是"m,n∈[1,2],f(m)-g(n)+2≤0恒成立，而其中m，n是两个不同2的参变量，所我们可转化为"x∈[1,2]时，g(x)≥[f(x)+2].而函数f(x)+22minmax的最值易求，这样就三参变量转化为一个参变量来解决。解析：由题意x∈[1,2]时，g(x)≥[f(x)+2].2minmax又[f(x)+2]′=3x²-2x=x(3x-2).当x∈[1,2]时，函数f(x)+2单调递减；x∈[2,2]时函数f(x)+2单调递增。233又f(1)+2<f(2)+2=6,则[f(x)+2]max＝6。2所以问题可转化为g(x)=xlnx-a+5≥6恒成立。即a≤x²lnx-x恒成立。x设h(x)=x²lnx-x,则h′(x)=2xlnx+x-1.再设j(x)=h′(x)=2xlnx+x-1,当x∈[1,2]时，j′(x)＝2lnx+3>0.2则知h′(x)单调递增，且h′(1)＝0。所以当x∈[1,1]时，h′(x)＜0，h(x)2h(x)单调递增。单调递减;x∈[1,2]时，h′(x)＞0，故h(x)min＝h(1)=-1.则实数a的取值范围(-¥-û例3．已知函数fx()=mx2+nx-xln(xm>0),且fx()³0。（1）求n的最小值；m（2）当n取得最小值时，若方程xe-+-(12)ax-afx()=0无实根，求实数的am取值范围.分析：（1）这是含两个参变量问题，且要求的是两参变量的比值，这样就要求将其比值转化为某一变量来解决。（2）显然是在（1）的基础上来解决。这是含三个参变量问题，但是由（1）知其中n变为有范围的单变参量。这样就减少m了变量，即双参变量问题。解析：因fx()³0Ûgx()=mx+-lnx³0(x>0)由gx()=mx-1>Þx>1，所以gx()在(0,1)减，(1,+¥)增。xmmm此时gx()min=g(1)=+-ln1³0Þ1 n+m-1ln1³0。mmmmm则此时就可将n转化为与单变量1

的函数关系。mm令t=1

,即有mn³tlnt-t=htt>0)恒成立m由¢ht()=lnt>Þt>1，所以ht()在(0,1)减，(1,+¥)增所以(n)min=h(1)=-1，此时t=1=Þm=1,n=-1mm（2）由（1），令m=1,n=-1有x-1lnx³0Þlnx£x-1Ûex-1³x,x+-1lnx³x+-1(x-1)=Þx+-1lnx³2方法1：ex-1+-2)ax-afx()=ÛFx()=ex-1+-axx+-1ln)=0①当a£0时，Fx()³ex-1+>0,此时原方程无实根，适合题意.②当aÎ(0,1)时，Fx()>ex-1+-2=xex-1-x³x-x=0，此时原方程无实根，适合题意.③当a³1时,F(1)=-2a£0，由（1）知：x-1³lnx，自变量取1可得：³F2ax-1xx-lnx£1-1Þ2£x+-1lnx£x 1+Þxx+-1ln)£x2+1xx由x-1³lnx，自变量取ex可得：x1>xÞex³(x+3)3，则可得：e-333e-1³(x+2)327当x>1时，Fx()=ex-1+-axx+-ln)³(x+2)3+-ax2+1)27 (

>x+1)3-ax+1)2=(x+1)(2x+1-a)，设j()=(x+1)(2x+1-a)272727则F(27a-1)>j(27a-1)=0，又Fx()图象在(0,+¥)连续，所以Fx()在[1,27a-1)必有零点，方程Fx()=0有实根，不适合题意.（或若x®0ÞFx()®1>ÞFx()在(0,1]必有零点.）e综上a<1方程无实根.方法2：由(1)，令m=1,n=-1有x-1lnx³0Þlnx£x-1Ûex-1³x,x+-1lnx³x+-1(x-1)=Þx+-1lnx³2ex-+-(12)ax-axfx()=ÛGx()=ex-1+-ax+-1ln)=0x①当a£0时，Gx()³xe-1+>0,此时原方程无实根，适合题意.x②当aÎ(0,1)时,Gx()>ex-1+-12=ex-1-1³x-1=0，此时原方程无实根，xx适合题意.③当a³1时，同法1，Gx()在[1,27a-1)必有零点，原方程有实根，不适合题意.综上a<1方程无实根.=Þa=ex-1+x=Hx()方法3：ex-1+-2)ax-afx()xx+-ln)ÞHx()=(x-1)[(x-ln)xex-1-x