演示文稿最小方差无偏估计

演示文稿最小方差无偏估计现在是1页\一共有21页\编辑于星期五（优选）最小方差无偏估计现在是2页\一共有21页\编辑于星期五优良的无偏估计都是充分统计量的函数.将之应用在参数估计中可得:其中等号成立的充要条件为X与

(Y)几乎处处相等.定理1:设X和Y是两个r.v.,EX=μ,VarX>0,令则有是样本,是θ的充分统计量,定理2:

设总体的概率函数为p(x;θ),对θ的任一无偏估计

一、Rao-Blackwell定理现在是3页\一共有21页\编辑于星期五注:定理2表明:若无偏估计不是充分统计量的函数,则将之对充分统计量求条件期望可得一个新的无偏估计,且它为充分统计量的函数且方差会减小.

即,考虑点估计只需在充分统计量的函数中进行,这就是—

充分性原则.令θ=p2,则为θ的无偏估计.因为是充分统计量,由定理2,

从而可令可得故为θ的无偏估计.且例1.设为来自b(1,p)的样本,

求p2的U.E为p的充分统计量解：前已求过:进一步改进：现在是4页\一共有21页\编辑于星期五二、最小方差无偏估计定义:注：

一致最小方差无偏估计是一种最优估计.由定理2,只要它存在.它一定是充分统计量的函数.一般地,若依赖于充分统计量的无偏估计只有一个,它一定是UMVUE.Problem：

无偏估计的方差是否可以任意小?如果不能任意小,那么它的下界是什么?现在是5页\一共有21页\编辑于星期五是总体X的样本,定理3:(UMVUE准则)设如果对任一个满足是θ的任一无偏估计,例2:

设为来自Exp(1/θ)的样本,则为θ

的充分统计量,证明:为θ的UMVUE.反之亦成立.现在是6页\一共有21页\编辑于星期五1、Fisher信息量的定义.三、罗-克拉美（Cramer–Rao）不等式(1)是实数轴上的一个开区间;

设总体X的概率函数为p(x;),,且满足条件:正则条件现在是7页\一共有21页\编辑于星期五(1)I(θ)越大,总体分布中包含未知参数的信息越多。

例3:设总体为Poisson分布，即注：

例4:

设总体为指数分布Exp(1/θ)，即(2)I()的另一表达式为现在是8页\一共有21页\编辑于星期五注：常见分布的信息量I()公式

两点分布X~b(1,p)泊松分布

指数分布正态分布现在是9页\一共有21页\编辑于星期五

设总体X的概率函数为p(x;),,满足上面定义中的条件；x1,….,xn是来自总体X的一个样本,T(x1,….,xn

)是g()的一个无偏估计.2、定理4(Cramer-Rao不等式):的微分可在积分号下进行，即则有特别地对θ的无偏估计有上述不等式的右端称为C-R下界,I()为Fisher信息量.现在是10页\一共有21页\编辑于星期五注:(1)定理对离散型总体也适用.只需改积分号为求和号。(2)

在定理4条件下,若g()

的无偏估计量T的方差VarT达到下界,则T必为g()的最小方差无偏估计.但是它不一定存在,也就是说,C-R不等式有时给出的下界过小.(3)当等号成立时,T

为达到方差下界的无偏估计,此时称T

为g(θ)的有效估计。

有效估计一定是UMVUE.（反之不真）现在是11页\一共有21页\编辑于星期五3.有效估计定义:定义:注:现在是12页\一共有21页\编辑于星期五综上,

求证T是g()的有效估计的步骤为:现在是13页\一共有21页\编辑于星期五例5.

设总体X~Exp(1/θ),密度函数为为X

的一个样本值.求的最大似然估计量,并判断它是否为达到方差下界的无偏估计,即有效估计.为参数解:

由似然函数现在是14页\一共有21页\编辑于星期五经检验知的最大似然估计为所以它是的无偏估计量,且而故是达到方差下界的无偏估计.现在是15页\一共有21页\编辑于星期五现在是16页\一共有21页\编辑于星期五所以C-R下界为现在是17页\一共有21页\编辑于星期五现在是18页\一共有21页\编辑于星期五例8.

设x1,….xn

为取自总体为正态分布N(μ,σ2)的样本,验证因此,

是μ的有效估计.解：已证过为U.E,下求μ的C-R下界,由于而μ的C-R下界为是μ的有效估计因此现在是19页\一共有21页\编辑于星期五

因此:解:

由于

所以σ2的C-R下界为:例9.(接前例)设x1,….xn

取自正态分布总体N(μ,σ2),若μ未知，讨论σ2的无偏估计是否为有效估计.现在是20页\一共有21页\编辑于星期五由于

其期望为n-1,方差为2(n-1）所以即不是σ2的有效估计，但为σ2的渐近有效估计.,而σ2的C-R下界为注1