江苏省南京市第三十三中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

江苏省南京市第三十三中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数，若，则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：A2.右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. B.C. D.参考答案：D略3.在空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是，，，，则该四面体的体积为（

）．A． B． C． D．参考答案：D．故选．4.定义在上的函数偶函数满足，且时，；函数，则函数在区间内的零点的个数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），M、N在双曲线C上，O是坐标原点，若四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN的面积为cb，则双曲线C的离心率为（）A． B．2 C．2 D．2参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（x0，y0），y0＞0，由四边形OFMN为平行四边形，四边形OFMN的面积为cb，由x0=﹣，丨y0丨=b，代入双曲线方程，由离心率公式，即可求得双曲线C的离心率．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，设M（x0，y0），y0＞0，由四边形OFMN为平行四边形，∴x0=﹣，四边形OFMN的面积为cb，∴丨y0丨c=cb，即丨y0丨=b，∴M（﹣，b），代入双曲线可得：﹣=1，整理得：，由e=，∴e2=12，由e＞1，解得：e=2，故选D．6.在（x2﹣4）（x+）9的展开式中x5的系数为（）A．36 B．﹣144 C．60 D．﹣60参考答案：D【考点】二项式定理的应用．【分析】把（x+）9按照二项式定理展开，即可求得（x2﹣4）（x+）9的展开式中x5的系数．【解答】解：∵（x2﹣4）（x+）9=（x2﹣4）（?x9+?x7+x5+?x3+…+?x﹣9），故展开式中x5的系数为﹣4=84﹣144=﹣60，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．7.实数满足不等式组为常数），且的最大值为12，则实数（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.i是虚数单位，复数z=a+i（a∈R）满足z2+z=1﹣3i，则|z|=（）A．或 B．2或5 C． D．5参考答案：C【考点】复数求模．【分析】把复数z代入z2+z化简，再由复数相等的充要条件列出方程组，求解得到a的值，然后由复数求模公式计算得答案．【解答】解：∵复数z=a+i，∴z2+z=（a+i）2+a+i=（a2+a﹣1）+（2a+1）i=1﹣3i，∴，解得a=﹣2．复数z=a+i=﹣2+i．则|z|=．故选：C．9.如图，南北方向的公路,A地在公路正东2km处，B地在A东偏北300方向2km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路和到A地距离相等。现要在曲线PQ上一处建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、M到B修建费用都为a万元/km,那么，修建这条公路的总费用最低是（

）万元

A.(2+)a

B.2(+1)a

C.5a

D.6a

参考答案：C略10.已知等比数列的第项是二项式展开式的常数项，则

A． B． C． D．参考答案：D试题分析：，，，故答案为D.考点：1、二项式定理的应用；2、等比数列的性质.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在四面体中，平面，平面，且，则四面体的外接球的体积为

.参考答案：12.如图，正四棱柱的底面边长，若异面直线与所成的角的大小为，则正四棱柱的侧面积为

.参考答案：32略13.过点A（1，1）作曲线y=x2（x≥0）的切线，设该切线与曲线及x轴所围图形的面积为S，则S=．参考答案：【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】首先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出直线方程，利用定积分的几何意义求S．【解答】解：因为点A的坐标为（1，1），过点A的切线的斜率为k=y'|x=1=2，故过点A的切线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1，令y=0，得x=，则S==；故答案为：．14.“无字证明”(proofswithoutwords)，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：

．参考答案：15.命题：的否定是

．参考答案：,略16.不等式组表示的平面区域为，则区域的面积为

，的最大值为

．参考答案：，略17.已知函数f(x)＝2+㏒2x,x∈[1,2]则函数y=f(x)+f(x2)的值域为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，AD平面ABC，AD∥CE，AC=AD=AB=1，∠BAC=90°，凸多面体ABCED的体积为，F为BC的中点.（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE平面BCE.参考答案：（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABC，AC面ABC，AB面ABC，

∴AD⊥AC，AD⊥AB，

∵AD∥CE，∴CE⊥AC∴四边形ACED为直角梯形.……………（1分）又∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，∴AB⊥面ACED.………………（2分）

∴凸多面体ABCED的体积

求得CE=2.……………………（3分）

取BE的中点G，连结GF，GD，

则GF∥EC，GFCE=1，

∴GF∥AD，GF=AD，四边形ADGF为平行四边形，

∴AF∥DG.………（5分）

又∵GD面BDE，AF面BDE，

∴AF∥平面BDE.………………（7分）

（Ⅱ）证明：∵AB=AC，F为BC的中点，

∴AF⊥BC.………（8分）

由（Ⅰ）知AD⊥平面ABC，AD∥GF，∴GF⊥面ABC.

∵AF面ABC，∴AF⊥GF.……（9分）

又BCGF=F，∴AF⊥面BCE.…………………（10分）

又∵DG∥AF，∴DG⊥面BCE.……………（11分）

∵DG面BDE，∴面BDE⊥面BCE.……（12分）19.(本题满分13分）．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：（1）是奇函数；（2）在定义域上单调递减；（3）求的取值范围．参考答案：，则,

．20.

已知集合A＝{x|(x－2)·(x－3a－1)<0}，函数y＝lg的定义域为集合B.(1)若a＝2，求集合B；(2)若A＝B，求实数a的值．参考答案：(1)当a＝2时，lg＝lg．由>0，得4<x<5，故集合B＝{x|4<x<5}．(2)由题可知，B＝{x|2a<x<a2＋1}，①若2<3a＋1，即a>时，A＝{x|2<x<3a＋1}，又因为A＝B，所以无解；②若2＝3a＋1时，显然不合题意；③若2>3a＋1，即a<时，A＝{x|3a＋1<x<2}，又因为A＝B，所以解得a＝－1.综上所述，a＝－1.

21.已知向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），=sin2C，且△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求c.参考答案：.解：（1）,又，

………3分又

………4分

(2)由已知得，即

又∵，∴

………6分

由余弦定理得：

∴

………8分22.设函数.（1）若，求在处的切线方程；（2）若在定义域上单调递增，求实数a的取值