163-高中数学选修系列2 选修2-2《微积分学基本定理定积分计算》教案1

精品教学网精品教学网第九章第五节第第九章第五节第1页§5微积分学基本定理定积分计算（续）教学目的：熟练掌握微积分学基本定理及定积分的换元与分部积分法。重点难点：重点为微积分基本定理,难点为泰勒公式的积分型余项。教学方法：讲练结合。本节要在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数.一变限积分与原函数的存在性设f在上可积，根据定积分的性质4，对任何xf在是，由 xa

fx（1）定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似可定义变下限的定积分： xbfx（2）x与统称为变限积分.注意，在变限积分（1）与（2）中，不可再把积分变量x写成xfxdx，以免与积分上、下限的x相混淆.a变限积分所定义的函数有着重要的性质x

ftdtx

f因此下面只讨论变上限积分的情形．9．9f在(1)式所定义的函数在上连续．证对a,b上任一确定的点x，只要xxa,b，按定义式(1)有xa

ftdta

ftdtxx

ftdt.f在fM,t．于是，当x0时有xx

ftdtxxx

ftdtMx;当x0时则有M．由此得到lim0,x0即证得在点x连续．由x的任意性，在上处处连续． 口定理9．10(原函数存在定理)若f在(1)式所定义的函数在上处处可导，且xddx

xffx（3）a证对a,b上任一确定的x，当x0且xxa,b时，按定义式（1）和积分第一中值定理，有

1xx

fxxxfx,01.fx连续，故有xlimlimfxfx0x x0由x在上的任意性，证得是f在上的一个原函数． 口本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论，并以积分形式给出了f的一个原函数．正9．10微积分学基本定理．此外，又因f的任意两个原函数只能相差一个常数，所以当f为连续函数时，它的任一原函数F必满足 Fxa

ftdtC.若在此式中令xa，得到CFa，从而有a

fF(xF(axbbftdtF(x)F(a).a这是牛顿-莱布尼茨公式的又一证明.9．11(积分第二中值定理)设函数f在g在gx0bfxgxdxgafxdxa ag在gx0bfxgxdxgbbfxdxa 推论f在g为单调函数,则存在bfxgxdxgaa a

fxgbbfxdx积分第二中值定理以及它的推论是今后建立反常积分收敛判别法的工具．二换元积分法与分部积分法9．12f在上连续，在上连续可微，且满足 aa,bb,atb,t，则有定积分换元公式：a

fxdxfttdt 9）证(9F是f在a,b上的一个原函数，由复合函数微分法dFFfdtFf的一个原函数．根据牛顿一莱布尼茨公式，证得fttdtFFaFbFaa

fxdx(9)式一边的定积注f（9）式仍然成立.（本节习题第14题）例 计算0

1x2解xsintt由0变到2

0

0(9)， 2 并注意到在第一象限中cost0，则有21 1x2dx20 0

1sin2tcostdtcos2tdt202201cos1t1sin20 2 20 2 2 .4例2计算2sintcos2tdt.0解逆向使用公(9)，令xcost,dxsintdt,当t由0变到 时，x由1减到0，2则有 0 1 12sintcos2tdtx2dxx2dx.0 1 0 3例3 计算J

x1 dx.0 1x2解 令xtant，当t从0变到

时，x从0增到1.于是由公式及dt dx4 1x2得到Jln1tantdtlncostsintdt402cos2

40t

cost4ln

dt0 costln 2dtlncotdtlncostdt.4 4 40 0 4 0对最末第二个定积分作变换u4

t，有lncotdt0lncosudulncosudu,4 40 4 04它与上面第三个定积分相消．故得4Jln 2dt4

ln2.0 83(9)，其中无法求出原函数的部分，最终得出这个定积分的值．换元积分法还可用来证明一些特殊的积分性质，如本节习题中的第5，6，7等题．定理9.13(定积分分部积分法)若为上的连续可微函数，则有定积分分部积分公式：buxvxdxuxvxbbuxvxd. 10）a a a证因为uv是uvuv在上的一个原函数，所以有buxvxdx+buxvxdxbuxvxuxvxdxa移项后即为(10)式．

a auxvxb.a为方便起见，公式(10)允许写成buxdvx uxvxbbvxdux. （10）a a a例4 计算ex2ln1e 1

1

e e 解x2lnxdx1 3

lnxdx3

x3lnx x2dx3 1 1 1 1 e 1 e3x3 2e3

1.93 3 91 5计算2sin0

和2cosnxdxn1,2,.0解 当n2时，用分部积分求得 J 2sinn 0

xdxsinn1xcosx20

n12sinn2xcos2xdx0 n12sinn2xdxn12sinnxdx0 0

n2

n1J.nJn2由于2

n1n

n2

,n2.2 J 2

dx,J sinxdx0 0重复应用递推式(11)便得

2 1 0J 2m12m31

2m 2m 2m2 2 2

12 2 2 2 2 2 2 J 1

. 2m1

2m1 2m1

2m

! 令x2

t，可得

2cosnxdx

cosn tdt2sinn0因而这两个定积分是等值的．

2 025结论(12)沃利斯式： 2lim

1 . 2 m1! 2m1事实上，由

2sin2n1xdx0cosn tdt2sin2m1xdx,0 2 022m!把(12)

2!,精品教学网精品教学网第九章第五节第第九章第五节第6页 2 1 2 1A

2m122mB.m m

1 1 因为oB Am

1

2m

0m,所以limB

m A 0而A

B

故得limA

（即式）.m m m

2 m m

m m 2三泰勒公式的积分型余项若在上、vxn1阶连续导函数，则有buxvn1xdxuxvnxuxvn1xanunxvx]ba

n1bunxvxdxa这是推广的分部积分公式，读者不难用数学归纳法加以证明．下面应用公式14导出泰勒公式的积分型余项.设函数f 在点x 的某邻域U内有n1阶连续导函数．令xU，0 0 0utxtn，vtft，tx,x（或x,,x(14式得0 0xxtx0

fntdtxtnfntxtn1fnt!ft]xx0

xx0

0ftdtn!fxn![fxfxxx0 0 0f 0n!

xx0

n]n!Rn

x，Rn

x即为泰勒公式的n阶余项．由此求得Rx1xn

fn1txtndt，

15这就是泰勒公式的积分型余项．

n

n1

t连续，

x

在x,x0

x,x0

上保持同号，因此由推广的积分第一中值定理，可将15式写作Rx1fn

n1xx0

xtndt1fn1x

n1，n1! 0其中x x1．这就是以前所熟悉的拉格朗日型余项．0 0如果直接用积分第一中值定理于(15)，则得Rxn

1fn1xnxx