数值代数第二章第一节

数值代数第二章第一节第1页，共21页，2023年，2月20日，星期六§2.1向量和矩阵范数/*NormsofVectorsandMatrices*/——为了误差的度量向量范数/*vectornorms*/定义

Rn空间的向量范数||·||对任意满足下列条件：（正定性

/*positivedefinite*/)对任意(齐次性

/*homogeneous*/)（三角不等式

/*triangleinequality*/)范数是一个n元连续函数（证明一下）pnipipxx/11||||||==v函数是一种范数吗？第2页，共21页，2023年，2月20日，星期六常用向量范数：==niixx11||||||v==niixx122||||||vpnipipxx/11||||||==v||max||||1inixx=v证明一个量是n维向量空间的一个范数需要利用一些著名的不等式Cauchy-Schwartz不等式Holder不等式第3页，共21页，2023年，2月20日，星期六范数的一个应用---讨论向量序列的收敛性何谓向量序列？如何定义向量序列收敛比较合理？2-范数重要性质：正交变换长度不变，向量间夹角不变第4页，共21页，2023年，2月20日，星期六§1NormsofVectorsandMatrices–VectorNorms定义向量序列收敛于向量是指对每一个1in都有。可以理解为定理Rn上一切范数都等价。可以理解为对任何向量范数都成立。范数等价定义第5页，共21页，2023年，2月20日，星期六§1NormsofVectorsandMatrices–MatrixNorms矩阵范数/*matrixnorms*/定义

Rmn空间的矩阵范数||·||对任意满足：（正定性

/*positivedefinite*/)对任意(齐次性

/*homogeneous*/)（三角不等式

/*triangleinequality*/)(4)*||AB||||A||·||B||

（相容

/*consistent*/

当

m=n

时)Ingeneral,ifwehave||AB||

||A||·||B||,thenthe3normsaresaidtobeconsistent.Ohhaven’tIhadenoughofnewconcepts?WhatdoIneedtheconsistencyfor?Whenyouhavetoanalyzetheerrorboundof

AB–imagineyoudoingitwithoutaconsistentmatrixnorm…第6页，共21页，2023年，2月20日，星期六§1NormsofVectorsandMatrices–MatrixNorms常用矩阵范数：Frobenius范数—向量||·||2的直接推广如何证明上述定义的非负函数是一个范数？（验证方法）问题：矩阵的F范数是哪个矩阵的迹？和特征值的关系第7页，共21页，2023年，2月20日，星期六矩阵范数的性质任意两个矩阵范数都是等价的（表达式）何谓矩阵序列的敛散性？矩阵序列收敛的充要条件矩阵范数与向量范数相容性第8页，共21页，2023年，2月20日，星期六§1NormsofVectorsandMatrices–MatrixNormsF-范数相容性：Frobenius范数—向量||·||2的直接推广

对方阵以及有利用Cauchy不等式可证。第9页，共21页，2023年，2月20日，星期六§1NormsofVectorsandMatrices–MatrixNorms算子范数/*operatornorm*/

定理2.1.3设||·||是一种向量范数。若定义则上的一个矩阵范数。矩阵范数称为从属向量范数||·||的矩阵范数也称为由向量范数||·||诱导出的算子范数第10页，共21页，2023年，2月20日，星期六举例说明算子矩阵范数的优点研究方程组与方程组解之间的关系。那个上界更紧一些？不等式越紧越好，那些情况下不等式是无法在改进的第11页，共21页，2023年，2月20日，星期六§1NormsofVectorsandMatrices–MatrixNorms算子范数/*operatornorm*/

由向量范数||·||p导出关于矩阵A

Rnn

的p范数:则第12页，共21页，2023年，2月20日，星期六§1NormsofVectorsandMatrices–MatrixNorms特别有：（行和范数）（列和范数）（谱范数/*spectralnorm*/

）矩阵ATA的最大特征根/*eigenvalue*/定理2.1.5设则（3）2范数的正交不变性第13页，共21页，2023年，2月20日，星期六算子范数的最优性矩阵的F-范数与向量的2-范数的关系。（P72习题4）第14页，共21页，2023年，2月20日，星期六§1NormsofVectorsandMatrices–MatrixNorms注：Frobenius范数不是算子范数。

我们只关心有相容性的范数，算子范数总是相容的。若不然，则必存在某个向量范数||·||v使得对任意A成立。Counterexample?问题：矩阵的列和范数和其转置矩阵的行和范数的关系。问题：矩阵的列和范数、行和范数和谱范数的等价关系是什么？第15页，共21页，2023年，2月20日，星期六第16页，共21页，2023年，2月20日，星期六谱半径/*spectralradius*/定义矩阵A的谱半径记为(A)=，其中i

为

A的特征根。ReIm(A)第17页，共21页，2023年，2月20日，星期六定理若A对称，则有证明：A对称若是A的一个特征根，则2必是A2的特征根。又：对称矩阵的特征根为实数，即2(A)为非负实数，故得证。对某个

A的特征根成立所以2-范数亦称为谱范数。第18页，共21页，2023年，2月20日，星期六第19页，共21页，2023年，2月20日，星期六定理若矩阵B对某个算子范数满足|