2021-2022学年浙江省嘉兴市第五高级中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年浙江省嘉兴市第五高级中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知点，点，则直线的斜率等于（

）A． B． C． D．不存在【答案】A【分析】利用两点坐标求直线的斜率即可.【详解】由题意，得直线的斜率为.故选：A．2．函数的导数为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据初等函数的导数公式表及导数的运算法则，即可求解.【详解】根据初等函数的导数公式表，以及导数的运算法则，可得.故选：D.3．圆与圆的位置关系是（

）A．外离 B．外切 C．内切 D．相交【答案】D【分析】利用两圆的位置关系求解.【详解】∵圆的圆心，半径；圆的圆心，半径且．∴圆与圆相交．故选：D4．以轴为对称轴，原点为顶点的拋物线上的一点到焦点的距离为，则其方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用抛物线的定义求解.【详解】设抛物线的方程为，由抛物线的定义知，即，所以抛物线方程为．故选：D5．已知数列是等比数列，且，则（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】B【分析】由等比数列的性质可知，a2a6＝a3a5＝，结合已知可求a4，进而可求a3a5【详解】解：∵a2a6＝2a4，由等比数列的性质可知，a2a6＝a3a5＝∴＝2a4，∴a4＝2∴a3a5＝4故选B．【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础试题6．已知函数（为常数），在区间上有最大值，那么此函数在区间上的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得导数，得出函数的额单调性，结合函数单调性和端点的函数值，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，令，即，解得或（舍去）．当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时取最小值，而，即最大值为，所以，所以此函数在区间上的最小值为故选：B.7．已知双曲线的右焦点为，渐近线为，，过的直线与垂直，且交于点，交于点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】由题设易知是的中垂线，进而可得，结合双曲线参数关系及离心率公式求双曲线的离心率即可.【详解】由题意，是的中垂线，故，由对称性得，则，故，∴.故选：C.8．已知数列{an}满足：a1＝1，(n∈N)．若(n∈N)，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是A．λ< B．λ<1 C．λ< D．λ<【答案】A【详解】由得所以,故是等比数列,公比为,,,,由得所以9．“猜想”又称“角谷猜想”“克拉茨猜想”“冰雹猜想”，它是指对于任意一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终总能够得到1.已知正整数数列满足上述变换规则，即：.若，则（

）A．1 B．2C．3 D．16【答案】D【解析】利用正整数经过4次运算后得到1，按照变换规则，逆向逐项分析，即可得到的所有可能的取值.【详解】根据题意，正整数经过4次运算后得到1，所以正整数经过3次运算后得到2，经过2次运算后得到4，经过1次运算后得到8或1(不符合题意，舍去)，可得正整数的值为16，故选：D【点睛】关键点点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，按照变换规则，进行逆向分析是解题关键，考查了学生的推理能力，是中档题.二、多选题10．已知直线经过，且在轴上的截距与在轴上的截距相等，则的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】分直线过原点和不过原点两种情况进行讨论，当直线过原点时，设直线为，当直线不过原点时，设直线方程为，再代点进行求解.【详解】由题意，当直线过原点时，设直线为，因为过点，所以，所以直线为，即；当直线不过原点时，设直线方程为，所以，所以，所以直线方程为．综上，直线方程为或．故选：AB.11．如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（

）A．在上是增函数B．当时，取得最小值C．当时，取得极小值D．在上是增函数，在上是减函数【答案】CD【解析】根据导函数的图象判断出函数的单调区间、极值、最值，由此确定正确选项.【详解】根据图象知当，时，，函数单调递减；当，时，，函数单调递增.故A错误，D正确；当时，取得极小值，C正确；当时，不是取得最小值，B错误.故选：CD12．已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（

）A．时，满足的点有2个 B．时，满足的点有4个C．的周长等于 D．的最大值为a2【答案】ABD【分析】对和，椭圆中使得最大的点位于短轴的两个端点，利用余弦定理与基本不等式即可得到答案；对，结合椭圆定义及和的大小关系即可得到答案；对，结合椭圆定义及基本不等式即可得到答案.【详解】对和，又又当时，，两个短轴端点恰能使，正确；当时，，点位于短轴端点时，为钝角，根据对称性，在四个象限各有一个点能使，正确；对，，的周长为，错误；对，，，正确.故选：.三、填空题13．在等比数列中，若，，，则______．【答案】【分析】利用等比数列的通项公式和前n项和公式求解.【详解】设等比数列的公比为q，因为，，，所以，，解得，所以，解得．故答案为：514．已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________．【答案】e【分析】首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由函数的解析式可得：，则，即的值为e，故答案为.点睛：本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．已知点与两个定点、的距离的比为，则点的轨迹方程为_____．【答案】【分析】本题首先可以设出点坐标，然后利用两点间距离公式写出点与两个定点、的距离，最后通过距离的比为即可列出算式并得出结果．【详解】设点坐标为，因为点与两个定点、的距离的比为，所以，，，，化简得，故点的轨迹方程为．【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，能否明确题目中所给出的条件并通过相关公式将其展示出来是解决本题的关键，考查两点间距离公式，是基础题．16．已知函数，若存在，使得，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由函数的解析式，得出，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】因为，所以不妨设．当时，，当时，，根据，可知，所以，所以，故，所以．记，则，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以，又当时，，所以的值域是．所以的取值范围是．故答案为：．【点睛】方法总结：解答此类问题，首项根据分段函数的解析式明确自变量的取值范围，找到、的关系．进而构造函数，利用导数解决函数的值域，从而得到取值范围．四、解答题17．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：.（1）当l1//l2时，求实数a的值；（2）当l1⊥l2时，求实数a的值.【答案】（1）-1；（2）.【分析】（1）根据两直线平行的位置关系建立关系式求解参数即可；（2）根据两直线垂直的位置关系建立关系式求解参数即可.【详解】解：由题意得：（1）(方法1)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：，l2：时，解得a＝-1综上可知，当a＝-1时，l1//l2(方法2)∵l1//l2∴⇔解得a＝－1故当a＝－1时，l1//l2.（2）(方法1)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；当a≠1且a≠0时，l1：，l2：由，得(方法2)∵l1⊥l2，∴a＋2(a－1)＝0，解得18．已知圆：，若直线：与圆相交于两点，且．(1)求圆的方程；(2)求过点且与圆相切的直线的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据圆的弦长公式，得到，求得，即可求得圆的方程；（2）当直线斜率不存在时，的方程为，满足题意；直线斜率存在时，设的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，求得的值，即可求解.(1)解：设圆心到直线的距离为，则，即，又，所以，故圆的方程为．(2)解：当直线斜率不存在时，的方程为，恰好与圆相切，满足题意；直线斜率存在时，设的方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，此时直线的方程为，即，综上，直线的方程为或．19．已知是等差数列的前项和，若，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式列方程组即可求出和，即可求解；（2）求出，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意得：∴即∴.（2）由（1）知，∴∴.20．习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．山东某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台16200元，第一年每台设备的维修保养费用为1200元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益7000元．（1）表示出每台充电桩第年的累计利润函数.（2）每台充电桩第几年开始获利？（3）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．【答案】（1）；（2）第4年；（3）第9年.【分析】（1）根据年利润等于总收益减去总保养费以及固定投入,结合等差数列的求和公式即可得结果.（2）利用一元二次不等式的解法解不等式,结合是整数，从而可得结果.（3）每台充电桩的平均利润为,再结合基本不等式的性质即可得解,注意取等号的条件.【详解】（1）由题意知每年的维修保养费用是以1200为首项，400为公差的等差数列，设第年时累计利润为，，（2）若开始获利即，即，解得，∴公司从第4年开始获利；（3）每台充电桩年平均利润为，当且仅当，即时，等号成立．即在第9年时每台充电桩年平均利润最大为2400元．【点睛】本题考查等差数列和基本不等式在解决实际问题中应用,利用等差数列的前n项和公式求出前n年的累计维修费是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.21．已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)判断函数的极值点和零点个数；(3)若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1);(2)1,1;(3).【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式可得切线方程；（2）利用导数求出函数的单调区间判断增减性即可求出函数的极值，再结合增减性及特殊值可求函数零点；（3）原不等式转化为恒成立，利用导数求函数的最大值即可求解.(1)函数定义域为，因为，所以曲线在处的切线方程为，即.(2)由（1）知，当时单调递增,当时单调递减，所以函数在时取得极大值，函数没有极小值，所以函数的极值点只有1个，因为,当时,当时，所以只有一个零点.(3)要使恒成立，即恒成立，令，则.当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在时取得极大值也是最大值，，要使恒成立，则,即实数k的取值范围是.22．已知椭圆的两个焦点分别是，其长轴长是短轴长的2倍，P为椭圆上任意一点，且的面积最大值为．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点C，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意可知的面积最大值最大时点在上（下）顶点处，进而可得，结合和即可求出结果；（2）设直线的方程为，与椭圆的方程联立，结合韦达定理即可求出的值，然后表示出的面积，利用函数的性质即可求出最值..【详解】解：（1）由椭圆性质知，，又，解得，所以椭圆M的方程为．

（2）显然，直线的斜率不为0，不