2022江西省名校高三上学期期末联考数学（理）试题（解析版）

2022届江西省名校高三上学期期末联考数学（理）试题一、单选题1．在复平面内，复数z所对应点的坐标为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题可知，然后利用复数的乘法及除法运算即得.【详解】由题意知，所以.故选：A.2．已知集合，，则（

）A． B．S C．T D．Z【答案】B【分析】由题可得集合S是集合T的真子集，即得.【详解】由题意知，，所以集合S是集合T的真子集，所以.故选：B.3．已知命题的最小正周期为；命题，则下列命题中为真命题的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可得p为真命题，q为假命题，即得.【详解】∵，最小正周期为，∴p为真命题，又，∴q为假命题，所以，，为假命题，为真命题.故选：C.4．某同学为了求，设计了如图所示的程序框图，在该程序框图中，①和②两处应分别填入（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据流程图及最后输出的结果逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，第1次判断前，第2次判断前，依次，最后一次判断前，，此时，终止循环，故此时输出，不合题意.对于C，第1次判断前，第2次判断前，依次，最后一次判断前，，此时，终止循环，故符合题意.对于B，第1次判断前，第2次判断前，依次，最后一次判断前，，此时，终止循环，故此时输出，不合题意.对于D，第1次判断前，第2次判断前，依次，最后一次判断前，，此时，终止循环，故此时输出，不合题意.故选：C5．若，则的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】分别把与代入题干所给的式子中，再求出的系数，即可得到答案.【详解】令，得；令，得；展开式中的系数为2，故.所以.故选：A.6．已知（，且），则下列函数为奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判断函数的对称性，再根据奇函数的性质，结合图象变换的性质进行判断即可.【详解】因为，所以的图象关于点对称，故的图象向下平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，即为奇函数.故选：D.7．如图，长方体被平面截成两个几何体，其中E，F分别在和上，且，则以下结论错误的是（

）A． B．平面C．几何体为棱柱 D．几何体为棱台【答案】D【分析】A由长方体的性质及线线平行的推论判断；B根据线面平行的判定判断；C、D根据棱柱、棱台的定义判断正误.【详解】由及，得，则A正确；由，平面，平面，得平面，则B正确；以两个平行的平面和为底面，其余三面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都平行，符合棱柱的定义，则C正确；以两个平行的平面和为底面，其余四面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都平行，符合棱柱的定义，则D错误（由于延长后不交于一点，则几何体不为棱台）.故选：D.8．已知点为双曲线的下焦点，为其上顶点，过作垂直于的实轴的直线交于、两点，若为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出点、的坐标，分析可知为锐角，可得出，由此可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设双曲线的半焦距为，由双曲线的对称性可知点、关于轴对称，则，因为为锐角三角形，则为锐角，将代入方程可得，取点、，易知点，，，故，即，可得，又因为，故.故选：B.9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则角C的大小为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理及和角公式可得，即求.【详解】由及正弦定理，得，所以.所以，又，所以，，又，所以.故选：A.10．已知实数x，y满足，则以下结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题可得，然后逐项分析即得.【详解】由得，所以，所以，故A正确；，，所以，故B正确；∵，故C正确：由选项A，得.则；另一方面，，则，所以不成立，故D错误.故选：D.11．某企业的商标图案是曲线所围成的图形，设，则在曲线内任取一点，则该点取自曲线内的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据绝对值的性质，结合曲线和的对称性、几何概型的计算公式进行求解即可.【详解】由题意知曲线和都关于坐标轴对称，也都关于坐标原点对称，当时，与的方程分别可化为，故在第一象限内分别为半圆（圆心为，半圆的半径为）和线段，再利用对称性，易画出曲线与，其中为四个半圆组成的封闭曲线，为正方形如图所示），所以所求概率.故选：B.12．已知函数，则不等式的解为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用奇偶性的定义判断为偶函数，再对函数求导后，判断在上为减函数，从而将转化为，然后作出的图象，利用图象求解【详解】当时，，则；当时，，则，当时，.综上为偶函数.又当时，，所以在上为减函数.由，得，所以，设与相切于点，则，解得，所以与相切于点，函数的图象如图所示则满足题意的x的取值范围是.故选：A.二、填空题13．为研究我国人口增长情况，某同学统计了自1960年起到2019年60年中每十年人口净增长数量情况如下表：第个十年123456净增人口（亿）1.551.531.521.360.760.66若该同学发现与间的回归方程为，则___________.（结果精确到0.001）【答案】1.922【分析】利用与在回归方程上，即可求出答案.【详解】由表可求，所以，解得.故答案为：1.922.14．已知点F为抛物线的焦点，点M为C上一点，点N为C的准线上一点，若为等边三角形，则的面积为___________.【答案】【分析】利用抛物线的性质，结合正三角形的性质和面积公式进行求解即可.【详解】由题意知，则与准线垂直，又为正三角形，所以与准线所成的锐角为，由抛物线标准方程可知：焦点到准线的距离为，所以，所以的面积为.故答案为：15．如图，在平面四边形中，，则____________.【答案】3【分析】可连接，将用表示出来，代入要求的式子中，结合条件，即可完成求解.【详解】如图连接，，所以①又因为，所以，，所以①式可化为.故答案为：3.三、双空题16．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.由于这个“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现，于是他留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.如图，在底面半径为1的圆柱内的球O与圆柱的上、下底面及母线均相切，设A，B分别为圆柱的上、下底面圆周上一点，且与所成的角为，则与圆柱的底面所成角的正切值为__________；直线与球O的球面交于两点M，N，则的值为_______.【答案】

【分析】设过A的圆柱的母线在底面的端点为，由圆柱的性质和已知条件求得，就是与圆柱的底面所成的角，解三角形可求得答案；连接，取的中点为G，解三角形可得G也是的中点，由此可求得答案.【详解】解：设过A的圆柱的母线在底面的端点为，则，则就是与圆柱的底面所成的角，由，得，则；在直角三角形中，，，所以与圆柱的底面所成角的正切值为；连接，由，得，取的中点为G，则；因为，，所以；由及，得G也是的中点，所以.故答案为：；.四、解答题17．设等比数列的前n项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，是否存在正整数k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由满足这两个条件建立等式解出首项和公比，结合等比数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）得，由，得，然后解方程即可.(1)设公比为q，由，得，解得.由，得，结合，解得，所以数列的通项公式为.(2)由（1），得，则是以1为首项，2为公差的等差数列，由，得，整理，得，解得或（舍去）故存在，使得.18．为缓解城市垃圾带来的问题，许多城市实行了生活垃圾强制分类.为了加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，某学校团委组织了垃圾分类知识竞赛活动.设置了四个箱子，分别标有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”；另有写有垃圾名称的卡片若干张.每位参赛选手从所有写有垃圾名称的卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放人对应的箱子中.规定每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子得5分，放入其他箱子得0分.从所有参赛选手中随机抽取40人，将他们的得分分成以下5组：，，，，，绘成如下频率分布直方图：(1)求得分的平均数（每组数据以中点值代表）；(2)学校规定得分在80分以上的为“垃圾分类知识达人”.为促进社区的垃圾分类，学校决定从抽取的40人中的“知识达人”（其中含A，B两位同学）中选出两人利用节假日到社区进行垃圾分类知识宣讲，求A，B两人至少有1人被选中的概率；(3)从所抽取的40人中得分落在组的选手中随机选取3名选手，用X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)56(2)(3)分布列见解析，【分析】（1）利用平均数公式即求；（2）利用对立事件的概率公式即求；（3）利用古典概型概率公式可求分布列，然后利用期望公式即得.(1)由频率分布直方图可求得各组的频率自左到右依次为：0.1，0.15，0.3，0.25，0.2，所以得分的平均数.(2)所抽取的40人中，得分在80分以上的有人，故所求概率为.(3)由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，得分在的人数，得分在的人数为人.，，，，所以X的分布列为X0123P所以X的数学期望.19．如图，平面平面，是等边三角形，D为的中点，，，.(1)证明：；(2)在上是否存在一点P，使得二面角为直二面角？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点P在线段靠近A的四等分点处【分析】（1）利用线面垂直的性质，即证明平面，平面，即可得到答案；（2）证明两两垂直，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），设，根据法向量的数量积为0，可得关于的方程，即可得到答案；(1)证明：因为，D为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为，所以，所以，同理.因为，，平面，所以平面，所以.(2)连接，则，由（1）知平面，且平面，所以，所以两两垂直.以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），则，，，设，所以，，.设平面的一个法向量，则即令，得.设平面的一个法向量，则即令，得.因为二面角为直二面角，所以，即，所以，所以点P在线段靠近A的四等分点处时，二面角为直二面角.20．已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴的下端点A的坐标为，且.(1)求椭圆E的方程；(2)设B，C是椭圆E上异于A的两点，且直线与坐标轴不垂直，，的中点为G，求四边形的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据椭圆的定义和点在椭圆上建立方程，然后解出方程即可；（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理表示出线段中点坐标，然后利用等腰三角形性质建立方程，最后表示出四边形的面积即可(1)由椭圆E短轴的下端点A的坐标为可得：由及椭圆的定义，可得：，即所以椭圆E的方程为：(2)由直线与坐标轴不垂直，可设直线的方程为代入并整理得：则.设，则有：.设的中点，则，且.因为，G为的中点，所以，可得：则有：，即化简可得：所以解得：，且故有：则四边形的面积：.21．已知函数.(1)当时，求证：；(2)若是唯一的零点，求的单调区间.【答案】(1)证明见解析(2)当时，的单调增区间为，没有减区间；当时，的单调减区间为，单调增区间为.【分析】（1）先对求导，然后判断函数的单调性，再求出的最小值即可（2）先对求导，然后根据参数的取值进行分类讨论的单调性，然后根据“是唯一的零点”进行判断即可(1)证明：当时，，定义域为则当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增故故当时，(2)函数的定义域为①当时，，则在上为增函数又，所以是函数唯一的零点此时，适合题意，故的单调增区间为，没有单调减区间②当时，当时，；当时，则有：在上为减函数，在上为增函数可得：（ⅰ）当时，，且是函数唯一的零点此时，适合题意，其单调减区间为，单调增区间为；（ⅱ）当时，由在上单调递增，得取因为所以存在，使得，即在上还有一个零点故在其定义域上不止一个零点，不合题意；（ⅲ）当时，由在上为减函数，得：由（1），得（当且仅当时取等号），即，则所以所以在上还有一个零点所以在上不止一个零点，不合题意综上，当时，的单调增区间为，没有减区间；当时，的单调减区间为，单调增区间为.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令如果能求出解，则有几个解就有几个零点；（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．22．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l过点，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)写出直线l的一个参数方程及曲线C的直角坐标方程；(2)若l与C交于M，N两点，求的值.【答案】(1)（t为参数）；；(2).【分析】（1）由题可得l的一个参数方程为，利用公式法可求曲线C的直角坐标方程；（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用韦达定理即得.(1)因为l过点且倾斜角为，所以l的一个参数方程为（t为参数）；因为，所以，又，所以，即，所