2022陕西省咸阳市高三下学期一模数学（理）试题（解析版）

2022届陕西省咸阳市高三下学期一模数学（理）试题一、单选题1．复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数的除法运算求得z,则可得，即可得答案.【详解】因为，所以，故，则在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D.2．已知集合，那么集合（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求解一元二次不等式解得集合，再利用集合的交运算即可求得结果.【详解】因为，故.故选：C.3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据幂函数和指数函数的单调性和奇偶性，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：，定义域为，且，故其为奇函数，不满足题意；对B：，定义域为，且，故其为偶函数，又在上单调递增，满足题意；对C：，定义域为，是非奇非偶函数，不满足题意；对D：，当时，是单调减函数，不满足题意；故选：B.4．《几何原本》又称《原本》，是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，大约成书于公元前300年．汉语的最早译本是由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦合译，成书于1607年，该书据克拉维斯的拉丁文本《欧几里得原本十五卷》译出．前6卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章内容，几乎包含现今平面几何的所有内容．某高校要求数学专业的学生从这7章里面任选3章进行选修并计人学分．则数学专业学生张某在三角形和四边形这两章中至少选一章的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出从这7章里面任选3章共有的选法数，再求出张某在三角形和四边形这两章中至少选一章的选法数，根据古典概型的概率计算公式可求答案.【详解】数学专业的学生从这7章里面任选3章共有种选法；数学专业学生张某在三角形和四边形这两章中至少选一章共有选法种，故张某在三角形和四边形这两章中至少选一章的概率为,故选：C.5．的展开式中，x的系数为（

）A．10 B． C．20 D．【答案】A【分析】写出的展开式的通式，利用x的次数为1列方程求出，进而可得x的系数.【详解】的展开式的通式为：令得，x的系数为.故选：A.6．已知等差数列的公差为，其前n项和为．若成等比数列，则一定有（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由条件得到，利用等差数列的通项公式代入解方程可得，再利用等差数列的通项公式和求和公式逐项计算判断即可.【详解】因为成等比数列，则，解得，A错误；，B错误；，C错误；，D正确.故选：D.7．已知角终边上一点，那么（

）A． B． C．1 D．0【答案】A【分析】根据三角函数的定义求得,再利用二倍角公式求得，接着求得，最后利用两角和的余弦公式求得答案.【详解】，，所以角终边上一点，即，,故，所以，所以，，所以，故选：A.8．已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意求出外接球的半径，将正四面体补成正方体，求出其棱长，用正方体的体积减去四个小的三棱锥体积即为所求.【详解】设外接球半径为，则，解得,将正四面体恢复成正方体，知正四面体的棱为正方体的面对角线，则正四面体的外接球即为正方体的外接球，则正方体的体对角线等于外接球的直径，故，解得，正方体棱长为，故该正四面体的体积为，故选：A．9．如图所示，已知是双曲线的右焦点，是坐标原点，是条渐近线，在上分别有点（不同于坐标原点），若四边形为菱形，且其面积为．则双曲线的离心率为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【分析】根据菱形的面积可知，再根据勾股定理可得，即，进而求出，根据渐近线的斜率，可得，再利用离心率，即可求出结果.【详解】由四边形为菱形，则，所以菱形的面积为所以，又，所以，即，又点分别是渐近线上的点，所以渐近线的斜率，故双曲线的离心率为.故选：B.10．如图，在直二面角中，是直线上两点，点，点，且，，，那么直线与直线所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出向量的坐标，利用向量的夹角公式求得答案.【详解】如图，以B为坐标原点，以过点B作BC的垂线为x轴，以BC为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，则,故,则,故直线与直线所成角的余弦值为，故选：B.11．已知实数，满足，若不等式对任意的正实数恒成立，那么实数m的最大值为（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】由根据函数的单调性求，再由基本不等式求的最小值，由此可求实数m的最大值.【详解】设，则，当时，，所以函数在上为增函数，∵

∴

，即，又，∴，∴当且仅当时等号成立，∵不等式对任意的正实数恒成立，∴，故选：D.12．设实数，那么的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由构造函数，，求导判断其单调性即可比较大小.【详解】令，令，，在上是减函数，，在上是减函数，又，，即故选：C.二、填空题13．经统计，某校高三学生期末数学成绩服从正态分布，，且，则从该校任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率为_________．【答案】0.35720【分析】由已知直接利用正态分布曲线的对称性求解．【详解】∵学生成绩X服从正态分布，且，∵,∴从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是．故答案为：14．已知向量的夹角为，且，则向量与向量的夹角等于________．【答案】【分析】根据已知条件求得，再根据数量积求向量夹角即可.【详解】根据题意可得，则，，设向量与向量的夹角为，故，又，故.故答案为：.15．已知在平面直角坐标系中，直线既是抛物线的切线，又是圆的切线，则_______．【答案】【分析】联立直线方程与抛物线方程，利用，以及直线与圆的位置关系，则圆心到直线的距离等于半径，即可求得参数的值.【详解】联立与，可得，因为直线与抛物线相切，故，即；因为直线与圆相切，故可得圆心到直线的距离；则，解得（舍）或.故答案为：.16．已知数列的通项公式是，数列的前n项和为，且．那么_________．【答案】【分析】求出数列的通项公式，然后将展开，裂项求和即可得答案.【详解】数列的前n项和为，且,则，当时，，故,故，故答案为：三、解答题17．在中，分别是角所对的边，满足．(1)求角B大小；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角公式整理计算即可得答案；（2）利用消去中的，再利用三角公式变形，利用三角函数的性质求范围.(1)，由正弦定理知：．即：，又；(2)，且．，故的取值范围是.18．如图，已知三棱柱中，侧面底面为等腰直角三角形，．(1)若O为的中点，求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)根据题意可得，由面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的性质即可证明；(2)建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面的法向量和，结合空间向量的数量积计算即可.(1)为等腰直角三角形，，由O为的中点，，又平面平面，平面平面．平面，又平面．(2)为等腰直角三角形，，又四边形为菱形，为正三角形，，又平面平面，平面平面，平面，建立如图所示的空间直角坐标系，，．又，设是平面的一个法向量，则，即令，则．设直线与平面所成的角为，则．19．为丰富社区群众的文化生活，某社区利用周末举办羽毛球比赛．经过抽签，甲乙两人进行比赛，比赛实行三局两胜制（若某人胜了两局则为获胜方，比赛结束）．根据以往数据统计，甲乙两人比赛时，甲每局获胜的概率为，每局比赛相互独立．(1)求甲获胜的概率；(2)比赛规则规定：比赛实行积分制，胜一局得3分，负一局得1分；若连胜两局，则还可获得5分的加分．用X表示甲乙比赛结束后甲获得的积分,求X的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）列表列出甲获胜的可能情况，由此求得答案；（2）列出比赛结果的所有可能情况，根据互斥事件以及相互独立事件的概率计算，求得答案.(1)甲获胜的情况如下表：第一局第二局第三局概率胜胜胜负胜负胜胜则甲获胜的概率为．(2)第一局第二局第三局得分概率胜胜11负负2胜负胜7负胜胜12胜负负5负胜负5可知：．，，．X的分布列为：X2571112P20．如图，已知椭圆分别是长轴的左、右两个端点，是右焦点．椭圆C过点，离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线上有两个点，且，连接交椭圆C于另一点P（不同于点），证明：三点共线．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意结合求出，即可得出答案；（2）设，由，可得，求出直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理求得点的坐标，再证明，即可得出结论.(1)解：由题意可知：，，椭圆C的方程为；(2)证明：设，由于，因此，，直线的斜率为，直线的方程为，代入椭圆方程得：，整理得：，设，代入直线的方程得，直线的斜率为，直线的斜率为，，所以三点共线．21．已知函数．(1)当时，讨论函数在区间上的单调性；(2)当时，证明：．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）由题可求，利用二次函数的性质通过分类讨论可求；（2）由题可得函数的最小值为，构造函数设，可求函数的最大值为，即证.(1)∵，函数的定义域，∴，设，函数是开口向下的抛物线，又．①当时，，又，即，因此在上单调递减．②当时，有两个不等实根，设两个根为，且．，可知，解得，因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.(2)要证明成立，即就是证明成立．当时，由上可知，函数在上递减，在上递增，因此函数的最小值为．设．因此，当时，在区间上递增，当时，在区间上递减，所以的最大值为，因此对任意，总有，故．【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.22．直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A的直角坐标为为C上的动点，点P是线段的中点，求点P轨迹的极坐标方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据极坐标方程与直角坐标方程的转化公式，直接求得答案.（2）设出M的坐标，利用中点坐标公式表示出点P的坐标，化简可得其参数方程，继而可化为普通方程，再化为极坐标方程.(1)曲