【例题讲解】计数问题例1

计数问题直线相交的交点个数问题如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交．该公共点叫做两直线的交点．几何语言：AB、CD相交于OABCDO同一平面内两条直线的位置关系有两种：相交和平行①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合，视为一条直线．定义：既不相交也不平行同一平面两条直线：同一平面内三条不同的直线交点个数可能有多少？Qabc0个交点1个交点2个交点3个交点abcabcabc同一平面内四条不同的直线最多有多少个交点呢？Qdcba直线条数增加交点个数最多交点个数规律234510136104523411+21+2+31+2+3+41+2+3+4+5+6+7+8+910条直线呢？6个交点同一平面内四条不同的直线最多有多少个交点呢？Qdcba直线条数增加交点个数最多交点个数规律2345101001361045495023411+21+2+31+2+3+41+2+3+4+5+6+7+8+91+2+3+4+……+9910条直线呢？100条直线呢？6个交点1＋2＋3＋4＋……＋9999＋98＋97＋96＋……＋1100100100100100=99×100÷2=4950同一平面内四条不同的直线最多有多少个交点呢？Qdcba直线条数增加交点个数最多交点个数规律234510100n1361045495023411+21+2+31+2+3+41+2+3+4+5+6+7+8+91+2+3+4+……+991+2+3+4+……+(n-1)平面内n条不同的直线相交交点个数最多为：10条直线呢？100条直线呢？6个交点1＋2＋3＋4＋……＋（n－1）（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋（n－4）＋……＋1nnnnn已知n（n≥3，且n为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当n＝3时，最多有2个交点；当n＝4时，最多有5个交点；当n＝5时，最多有9个交点；…依此规律，当n＝20时，最多有________个交点．例解法1观察图形，当n≥3时，每增加一条直线，交点的个数就增加n﹣1．当n＝3时，共有2个交点；当n＝4时，共有5个交点，增加3个交点；当n＝5时，共有9个交点，增加4个交点；……，当n＝20时，最多可形成的交点个数为：2＋3＋4＋……＋19＝18×21÷2=189（个）．……n＝3n＝4n＝5+3+4+n－1189当有n条直线时：最多形成的交点个数为：2+3+4+……+（n-1）个交点2个交点5个交点9个交点已知n（n≥3，且n为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当n＝3时，最多有2个交点；当n＝4时，最多有5个交点；当n＝5时，最多有9个交点；…依此规律，当n＝20时，最多有________个交点．例解法2运用公式假设20条直线彼此都两两相交，又因为其中有两条直线平行，没有交点，……所以本题答案为：190－1＝189个交点．根据交点个数公式：交点个数＝

，可得，20条直线彼此相交交点个数最多为：