数列求通项专题(总复习专题,方法全面,有答案)

Sa,公差为∵即，0n2Sa,公差为∵即，0n2nnn题一定义法（也叫公式法）直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的目例：等差数列

{a}

是递增数列，前n项和为，19

S成等比数列，5

．求数列

{a}

的通项。解：设数列

{a}0)

19

成等比数列，∴

2

，∵

(a(ad1115aS2∴5

∵，…………②

d

………①由①②得：

3333(n，∴5题二已知

a与Sn

n

的关系求通项公(或

fann

)这种类型一般利用a

S1Sn

与

af(a(nnnn

消去

n(n或与

f(Snn

n

(2)消去进求解。例）已知数列{}

的前n

项和，求数列{}nn

的通项公式解：当n时a当n时2n；n

a

(2()（2）已知数列{a}

的前

项和满(Sn，数列{}n

的通项公式解：由(n(1)a2()

，得，n练习：、知数列}的前n

项和为

n

n

,求.n2、数列

项和

n

，

a1

，

a

n

2Sn)n

，求

-1-

=n=n题型三：形如

f()

用累加法（也叫逐差求和法（1）若为数即：

a

n

an

,此时数列为等差数列，则

=

and1

.（2）若为n的数时，用累加.

方法如下：由

f(n

得：n时an

n

fn

，a

n

a

n

f(

，aa3af(1)以上各式相加得2aaf(nf(f(2)f(1)n1

即：

f()1

.为了书写方便，也可用横式来写：n时an

n

f(n，nn

n

n

a

n

a2

1=

f(nf(2)f(1)a1

.例1：已知数{a}中，=1，任意自然数都有1annn(解：由已知得，

an

n

1n(

，求

．a

n

n

1(n

，……，32

，，以上式子累加，利用

111n(n得

n

-

1

=

111(nn(nn(n

13n，2例2：已知数列

{}n

满足

a

n

ann

，求数列

{}n

的通项公式。解：由

n

nn

得

n

n

则-2-

n))a))nnn32211n[2((22[(n(nnn

所以数列

{}

的通项公式为nn

2a

。练习：1已数列

1

n

an*)n

写出数列

.答

2知列

{}满足aaa1n

n

1n(n

(n2)

数的通项公式

答案

1n题型四：形如

nf(n

用累乘法（也叫逐商求积法）（1）当为数，即：

nn

（其中是不的常数时数列为等比数列，1

n

.（2）当为n的数时,用乘.由

nn

f(n

得

n

时，

nn

(n

，an

anann

21

1

=f(n)f(n-1)

.例1:已知数列

a1

2n，3n

a

n

，求

。解：由条件知

anan

，分别令

n

，代入上式得

(n

个等式累乘之，-3-

n1n1即

aaa•3•4•aa234nann1

22又aa33n例2：设1的正项数列，且n

na2

（n

=1，2，3，….n解：已知等式可化为：

a

n

n

n

n

(

nN

*

)

(n+1)

,

即

nnnn2

时，

aaann1nnn.aannnn练习：1、已知数列

{}，=1a

n

=n，a.2、已知数列

{}

中，

a21

，

an

nn

an

，求

n

.题型五：待定系数法（也称构造数列法，构造等差、等比数列）形如

a

n

cad(,中n1

)型（1）若c=1时数{}为等差数列（2）若d=0时数{

}为比数列（3）若

cd

时，数列a}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来.法一

a

n

cadn

中把n换n-1有

an

,两相减有

a(annn

从而化为公比为c的比数列

{

n

}n

,进而求得通项公式

a()

,再利用类型(1)即可求得通项公.我们看到此方法比较复.-4-

nnnnnnnnnnnnannnnnnnnnnnnnan法二：对形如

n+1

（q,d常数，，d0）过an

n

)q()n与原递推公式对比，恒等变成

an

ddqq

的方法，其中，

k

dq例1．已知数列

{}

中，

a2,1n

11a2

求通项

.解：由

1aa,得a(a222

,所以数列

{n

构成以

a1

11为首项，以为公比的等比数列，所以a)22

n

,即1a)2

.方法二：由

ca,

n时can

n

d,两式相减得

a

n

(an

n

nn

,例2.已知数列

a，1

求.n解推式

可以转化为

a

n

a)即n

n

atn

.故

a2(,令b，b,且n所以

n

b1

为首项为公比的等比数列

n2

,所以

n

.a练习：、知数列a}满足a=1且=n+2，n

a

）题六形如

n

nran

,rs0,q

型或

an

f(nng()(nn

用倒数法一般是等式两边取倒数后换元转化为

pa

。例1：已知

nn

a1

，求

n

。解：取倒数：

11ann1

是等差数列，

1nna1

1n-5-

n题七形如

a

n

qan

n

(其中p,q为常数型（1）当p+q=1时

用转化法例1：数列{}

中，若

aa1

,且足

a

n

n

a0n

,求

.解：把

a

n

a

n

变为n

n

a

n

n

)n

.则数列

n

a

n

a21

为首项3为公的等比数列，则a

利用类型6的法可得

a

.（2）当

p0

时

用待定系数法.例2：已数列{}

满足

a

n

n

6a0，且n

,且足求a.解：令

a

n

xa

n

(a

n

xan

,即

a

n

a

n

xyan

,与知a

n

n

6n

比较，则有

xy,故或xyyy下面我们取其中一组来算，即有y

aaannn

,则数列

a21

为首项，3为比的等比数列，

,即

a

,利用类型

的方法，可得

a

2

.先写出数列前几项观察数列变化规律猜测出