系统时间响应分析

系统时间响应分析第1页/共102页2.1系统时间响应及其组成0tσ超调量允许误差±Δ10.90.50.1trtptstdh(t)0.02或0.05)(∞h)(∞h)(∞h)(∞h系统的时间响应及其组成是指描述系统的微分方程的解与其组成，它们反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程；控制系统性能要求1、稳定2、稳态误差3、暂态品质一、系统时间响应第2页/共102页单自由度的m-k系统齐次微分方程的通解+特解由理论力学与微分方程中解的理论知：系统的无阻尼固有频率第3页/共102页第4页/共102页第一、二项:初始条件（初始状态）引起自由响应；第三项:作用力引起的自由响应，其振动频率均为Wn，幅值受到F的影响。第四项:作用力引起的强迫响应，其振动频率为作用力频率W.

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系统的时间响应分类:1）振动性质:

自由响应：与作用力频率无关的响应；

强迫响应：与作用力频率有关的响应；

2）振动来源:

零输入响应：由系统初始初态引起的自由响应；

零状态响应：仅由输入引起的响应（自由+强迫）；

3）状态收敛：瞬态响应：系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程；用动态性能指标描述。稳态响应：系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷大时，系统输出量的表现方式；用稳态性能指标描述。控制工程主要研究:零状态响应。单位脉冲传递函数Laplace逆变换就是系统的零状态响应。第6页/共102页第一项:初态引起的自由响应第二项:输入引起的自由响应第三项:

输入引起的强迫响应的齐次方程的特征根n和s只取决于系统的结构与参数第7页/共102页当输入函数有导数项:方程为：利用线性叠加原理:利用方程导数关系，可分别求出 作用时的响应函数，然后叠加，就可以求得方程的解，即系统的响应函数。第8页/共102页

瞬态响应：若所有，自由响应随着时间逐渐衰减,当时自由响应则趋于零,系统稳定,自由响应称为瞬态响应.

反之，只要有一个，即传递函数的相应极点在复数[s]平面右半平面，自由响应随着时间逐渐增大，当时，自由响应也趋于无限大,系统不稳定，自由响应就不是瞬态响应。

稳态响应:指强迫响应。稳定性、响应快速性、响应准确性:与自由响应密切相关的。正负:决定自由响应是衰减与发散，系统稳定与不稳定；绝对值的大小：决定自由响应衰减速度，及系统趋于稳态响应的速度；决定自由响应的振荡情况，决定系统的响应在规定时间内接近稳态响应的情况，影响响应的准确性。第9页/共102页不稳定不稳定稳定临界稳定虚部小离虚轴远离虚轴近虚部大第10页/共102页第11页/共102页第12页/共102页二、典型输入信号确定性信号：变量和自变量之间的关系能够用一确定性函数描述。非确定性信号：变量与自变量之间的关系是随机的，只服从某些统计规律。任意输入信号的时间响应:利用系统对典型输入信号的响应，由关系式输入信号：正常工作输入信号；外加测试信号;单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位抛物线函数、正弦函数和随机函数第13页/共102页第14页/共102页1）单位阶跃函数:其导数为零，对控制系统只给出了位置，故称位置输入信号；2）单位斜坡函数:其导数为常数，一般称为恒速输入信号或速度输入信号；3）单位抛物线函数:其二次导数为常数，称为加速度输入信号。

本课程主要分析一阶与二阶系统对单位脉冲与单位阶跃函数的时间响应第15页/共102页2.2一阶系统时间响应一、一阶系统数学模型

R(s)C(s)（b）等

效

方

块

图非周期性的惯性环节T称为一阶系统的时间常数它表达了一阶系统本身的与外界作用无关的固有特性。第16页/共102页二、一阶系统的单位脉冲响应输入信号是理想的单位脉冲函数时，系统输出称为单位脉冲响应函数或简称为单位脉冲响应。单位脉冲响应函数:系统传递函数的Laplace逆变换！！！第17页/共102页

一阶系统的单位脉冲响应函数是一个单调下降的指数曲线过渡过程时间：将指数曲衰减到初值的2%之前的过程定义为过渡过程，相应的时间为4T。称此时间为过渡过程时间或调整时间，记为。

统的时间常数T愈小,愈短,系统的惯性愈小，反应的快速性能愈好。第18页/共102页三、一阶系统单位阶跃响应输入信号为单位阶跃函数时，即响应函数的Laplace变换式为：其时间响应函数为：第19页/共102页一阶系统的单位阶跃响应是一条单调上升指数曲线，稳态值为1过渡过程当t>4T时，响应已达到稳态值的98%以上，过渡过程时间为4T第20页/共102页第21页/共102页两个重要的特征点：A点：其对应的时间t=T时，系统的响应达到了稳态值的63.2%；零点：其对应的t=0时，切线斜率（响应速度）等于1/T。指数曲线的斜率，即速率是随时间t的增大而单调减小的，当t为时，其响应速度为零；实验方法求一阶系统的传递函数1.输入单位阶跃信号，并测出它的响应曲线及稳态值；2.从响应曲线上找出0.632（即特征点A）所对应的时间t为T第22页/共102页四、一阶系统单位斜坡响应第23页/共102页不同输入信号响应关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。第24页/共102页第25页/共102页小结：系统时间响应及其组成；一阶系统单位脉冲响应和单位阶跃响应。作业：3.43.73.9第26页/共102页2.3二阶系统时间响应线性系统的时域分析法系统时间响应的性能指标一阶系统时域分析二阶系统时域分析高阶系统的响应分析线性系统的稳态误差计算第27页/共102页特征方程：特征根：一、二阶系统数学模型

自然频率（或无阻尼振荡频率）阻尼比（相对阻尼系数）第28页/共102页，欠阻尼系统，闭环极点为共扼复根；，零阻尼，虚轴上一对纯虚根；第29页/共102页，临界阻尼，两个相等的负实根；,过阻尼，两个不相等的负实根。可见，随着阻尼比ξ取值的不同，二阶系统的特征根也不同。第30页/共102页过阻尼二阶系统:传递函数可分解为两个一阶惯性环节相加或相乘,因此可视为两个一阶环节的并联，也可视为两个一阶环节的串联。临界阻尼的二阶系统：

传递函数可分解为两个相同的一阶惯性环节相乘,但考虑负载效应,是不能等价为两个相同的一阶惯性环节串、并联。特殊情况下，有可能等价为两个不同的一阶惯性环节串联。二阶系统的响应特性完全由ζ和ωn两个参数决定，所以ζ、ωn是二阶系统的两个重要参数。第31页/共102页二、二阶系统的单位脉冲响应

输入信号是理想的单位脉冲函数时，系统的输出称为单位脉冲响应函数，特别记为。

同样有：单位脉冲响应是传递函数的Laplace逆变换

记，称为二阶系统的有阻尼固有频率。第32页/共102页（1）当，欠阻尼系统时（2）当，系统为无阻尼系统时，第33页/共102页（3）当，系统为临界阻尼系统时，（4）当>1，系统为过阻尼系统第34页/共102页欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线：减幅的正弦振荡曲线。ξ愈小，衰减愈慢，振荡频率愈大。故欠阻尼系统又称为二阶振荡系统，其幅值衰减的快慢取决于称为时间衰减函数，记为σ)。第35页/共102页三、二阶系统的单位阶跃响应

若系统的输入信号为单位阶跃函数，即则二阶系统的阶跃响应函数的Laplace变换为：第36页/共102页（1）当，系统为欠阻尼系统或第二项是瞬态项，是减幅正弦振荡函数，它的振幅随时间t的增加而减小在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。

第37页/共102页（2）当，系统为无阻尼系统（3）当，系统为临界阻尼系统第38页/共102页（4）当，系统为过阻尼系统第39页/共102页第40页/共102页过渡过程的持续时间：无振荡单调上升的曲线：ξ=1时的时间t最短；在欠阻尼系统中，当ξ=0.4-0.8时，时间比ξ=1时的更短，而且振荡不太严重。二阶系统的单位阶跃响应函数过渡过程特性：为衰减振荡，随着阻尼的减小，振荡愈加强烈；ξ=0：等幅振荡；ξ=1和ξ>1时：单调上升。第41页/共102页

在根据给定的性能指标设计系统时，将一阶系统与二阶系统相比，通常选择二阶系统，这是因为二阶系统容易得到较短的过渡过程时间，并且也能同时满足对振荡性能的要求。设计：二阶系统一般工作在ξ=0.4-0.8的欠阻尼状态。保证振荡适度、持续时间较短。特征参数与ξ值决定瞬态响应，决定过渡过程。第42页/共102页总结：零阻尼欠阻尼临界阻尼过阻尼第43页/共102页单位脉冲响应单位阶跃响应第44页/共102页四、二阶系统性能指标

（1）上升时间（2）峰值时间 （3）最大超调量（4）调整时间 （5）振荡次数N（6）延迟时间（7）稳态误差第45页/共102页延迟时间td

（DelayTime）：响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。上升时间tr（RisingTime）:定义为由零开始，首次达到稳态值所需的时间。响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。峰值时间tp（PeakTime）：响应曲线达到第一个峰值所需要的时间。第46页/共102页调节时间ts（SettingTime）：响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取5%或2%）超调量（MaximumOvershoot）：指响应的最大偏离量h(tp)于终值之差的百分比，即

⑥稳态误差ess：期望值与实际值之差。第47页/共102页

或评价系统的响应速度。同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标，从整体上反映系统的快速性。评价系统的阻尼程度。稳定性能指标和抗干扰能力。越小，系统精度越高。ess第48页/共102页延迟时间

令四、二阶系统响应的性能指标则当时，亦可用课本不要求！第49页/共102页上升时间，求得一定，即一定，

,响应速度越快故取第50页/共102页

峰值时间求时间导数得且因此可见峰值时间是有阻尼振荡周期的一半第51页/共102页最大超调量

超调量在峰值时间发生，故即为最大输出

超调量只与阻尼比ξ有关，而与无阻尼固有频率Wn无关。所以，Mp的大小说明系统的阻尼特性。当系统阻尼比ξ确定后，即可求得超调量；反之，如果给出了系统所要求的Mp，也可由此确定相应的阻尼比。第52页/共102页调整时间定义调整时间为系统响应为是系统的减幅正弦曲线的包络线，故当时，第53页/共102页

具体设计：根据最大超调量的要求，确定阻尼ξ，所以调整时间主要是根据系统的来确定的。由此可见，二阶系统的特征参数决定系统的调整时间和最大超调量；反过来，根据对的要求，也能确定二阶系统的特征参数。

第54页/共102页振荡次数N在过渡过程时间内，穿越其稳态值次数的一半定义为振荡次数。系统的振荡周期是所以其振荡次数为：因此，当 时，由 ，得振荡次数N随着ξ的增大而减小，它的大小直接反映了系统的阻尼特性。第55页/共102页第56页/共102页由以上讨论，可得如下结论：

（1）要使二阶系统具有满意的动态性能指标，必须选择合适的阻尼比ξ和无阻尼固有频率，提高，可以提高系统的响应速度，减少 ；增大ξ，可以减弱系统的振荡性能，降低，减小N，但增大。一般情况下，系统在欠阻尼状态下工作，通常根据允许的超调量来选择阻尼比ξ.

（2）系统的响应速度与振荡性能（稳定性）之间是存在矛盾的。要兼顾系统的振荡性能和响应速度，就要选取合适的ξ和值。

第57页/共102页二阶系统计算举例第58页/共102页例2

已知一个闭环系统的单位阶跃响应为1）求系统的闭环传递函数2）确定系统的ζ和ωn解：第59页/共102页例3在质块施加8.9N阶跃力后，m的时间响应如图，求系统的参数m,k,c.解：是阶跃力输入，＝8.9N，是输出位移。由图（b）可知系统的稳态输出＝0.03m， =0.0029,

此系统的传递函数显然为：第60页/共102页

而＝0.03m，因此k＝297N/m.。（1）求k:由Laplace变换的终值定理可知：

其实，根据Hooker定律很容易直接计算k。因为 即为静变形，即可视为静载荷，从而有即得第61页/共102页

又由式（3.4.17）求得 ,将代入中，得

再由求得m＝77.3kg。(2)求m

由式得（3）求c

由，求得第62页/共102页例4.当系统加入微分负反馈时，相当于增加了系统的阻尼比ξ，改善了系统振荡性能，即减小了Mp，但并没有改变无阻尼固有频率Wn。第63页/共102页例5.设角度指示随动系统结构如图所示，图中T为伺服电机时间常数，K为开环增益，若要求系统的单位阶跃响应超调不超过5%，且调节时间ts=1s，问增益K和时间常数T应取何值。———————KS(TS+1)θr(s)θc(s)-

解：系统闭环传递函数为：

据题意，应取ζ=0.69，在欠阻尼状态下有：ts=3/ζωn得：ωn=3/ζts=3/0.69

(S)=K/(TS+S+K)2继而由2ζωn=1/T且K/T=ωn*ωn

知T=1/2ζωn=1/6 K=T*ωn*ωn=2.86第64页/共102页3.4高阶系统的响应分析

对高阶系统的研究和分析，一般是比较复杂的。在分析高阶系统时，要抓住主要矛盾，忽略次要因素，使问题简化为零阶、一阶与二阶环节等的组合。而一般所关注的，往往是高阶系统中的二阶振荡环节的特性。本节着重阐明高阶系统过渡过程的闭环主导极点的概念，并利用这一概念，将高阶系统简化为二阶振荡系统。系统的传递函数为第65页/共102页若n阶系统的传递函数有q个实数极点和2r个共轭复数极点（包含共轭虚数）则可写成为：故系统的单位阶跃响应函数的Laplace变换式：第66页/共102页第67页/共102页总结：1、二阶系统性能指标计算；2、高阶系统性能分析；3、单位脉冲函数在时间响应中的作用。作业：3.113.123.153.16第68页/共102页线性系统的时域分析法系统时间响应的性能指标一阶系统时域分析二阶系统时域分析高阶系统的响应分析线性系统的稳态误差计算3.5系统误差分析与计算第69页/共102页“准确”是控制系统的一个重要性能。控制系统要求：输入一定的控制信号后，期望系统在稳定运行时有对应的所要求的输出值。但是由于系统的结构、输入信号的不同，参数及其变化等各种原因。系统的实际输出值往往不一定等于所期望的输出值，实际系统中期望的数值与实际输出的差就是所谓的误差。一、系统的误差与偏差本节讨论没有随机干扰作用，理想的线性元件的情况下，系统的误差。

系统的误差:瞬态误差;稳态误差瞬态误差随过渡过程逐渐衰减，稳态误差最后成为误差的主要部分。误差与系统的输入、系统的结构和参数有关。第70页/共102页1、误差：以系统输出端为基准来定义的。

设是控制系统所希望的输出，是其实际的输出，则误差定义为：其Laplace变换记为（为避免与偏差E(s)混淆，用下标1区别）第71页/共102页2、偏差：以系统的输入端为基准来定义记为：其Laplace变换为：

式中，H(s)为反馈回路的传递函数；第72页/共102页偏差与误差间关系第73页/共102页偏差：在实际系统中是可以测量的,因而具有一定的物理意义；误差：在实际系统中无法测量，因而一般只具有数学意义，在性能指标中经常使用。在后面叙述中，均采用偏差进行计算与分析。如果需要计算误差，求出偏差后依据上式可求出。第74页/共102页二、稳态误差与稳态偏差稳态误差定义：系统控制过程平稳下来以后的系统的误差，即时间趋于无穷大时的系统的误差。为了计算稳态误差，可先求出系统的误差信号的Laplace变换式，再用终值定理求解同理，系统的稳态偏差一般先计算与分析偏差，然后根据偏差可求解误差第75页/共102页三、控制系统稳态误差求解闭环系统传递函数误差求解方法一、直接求解复杂、难解！！第76页/共102页方法二、间接求解1)与输入有关的稳态偏差2)与干扰有关的稳态偏差先计算与分析稳态偏差，然后根据偏差求解稳态误差稳态偏差产生：输入有关的稳态偏差干扰有关的稳态偏差第77页/共102页输入有关的稳态偏差1）与输入有关的稳态偏差偏差定义偏差传函稳态偏差稳态偏差不仅与系统特性（结构与参数）有关，且与输入信号特性有关。第78页/共102页设系统的开环传递函数Gk(s)为式中，n,m分别为Gk(s)的分母、分子阶数，k是系统的开环增益,v为串联积分环节的个数，表征系统的结构特征。系统的型次（系统结构特征）第79页/共102页A、阶跃信号输入

因为此时为位置无偏系数0型I型II型第80页/共102页可见：1）当系统开环传递函数中有积分环节存在时，系统阶跃响应的稳态值将是无差的。而没有积分环节时，稳态是有差的。2）为了减少误差，应当适当提高放大倍数。但过大的K值，将影响系统的相对稳定性。0型I型II型位置有差系统位置无差系统第81页/共102页B、斜坡信号输入

为速度无偏系数其中0型I型II型第82页/共102页速度有差系统速度无差系统0型I型II型可见：1）0型系统不能适应斜坡输入，因为其稳态偏差为无穷；2）I型系统能跟踪斜坡输入，但存在稳态偏差;3）对于II型或高于II型系统，对斜坡输入响应的稳态无差。第83页/共102页C、加速度信号输入

因为

为加速度无偏系数其中0型I型II型第84页/共102页要求对于加速度作用下不存在稳态误差，必须选用Ⅲ型及Ⅲ型以上的系统。0型I型II型可见：1）当输人为加速度信号时，0、工型系统不能跟随，2）Ⅱ型为有差，要无差则应采用Ⅲ型或高于Ⅲ型的系统。Ⅱ型系统加速度信号输人时，可增大K值来减少偏差。第85页/共102页第86页/共102页静态位置误差系数

静态加速度误差系数

K∞∞Ⅱ型0K∞Ⅰ型00K0型

误差系数类型静态速度误差系数第87页/共102页

00Ⅱ型∞0Ⅰ型∞∞0型

输入类型在参考输入作用下的稳态误差：

第88页/共102页

减小或消除稳态偏差的措施a、提高系统的开环增益b、增加系统的类型影响系统的动态性能

稳定性

稳定与准确是有矛盾的

对于单位反馈系统，稳态偏差等于稳态误差当输入控制信号为多种典型信号的线性组合时，可根据叠加原理计算稳态偏差。稳态篇差与系统结构和输入信号均有关结论第89页/共102页例1：设单位反馈系统的开环/闭环传递函数为求输入分别为r(t)=2t，r(t)=2+2t和r(t)=2+2t+t2时，系统的稳态误差解：①系统的开环传递函数②各误差系数第90页/共102页③据实际输入确定稳态误差输入为单位阶跃时：输入为斜坡函数时：输入为抛物线函数时：r(t)=2tr(t)=2+2t+t2r(t)=2+2t第91页/共102页2）与干扰有关的稳态偏差由干扰引起的稳态偏差

干扰误差传函第92页/共102页若扰动为单位阶跃信号：A、G1，G2无积分C、G1无积分，G2有积分B、G1有积分，G2无积分第93页/共102页扰动稳态误差只与作用点前的结构和参数有关。如果中的时，相应系统的阶跃扰动稳态误差为零，斜坡稳态误差只与中的增益成反比。至于扰动作用点后的，其增益的大小和是否有积分环节，它们均对