有限元基础理论教程

有限元基础理论教程第1页，共32页，2023年，2月20日，星期六网格划分平面桁架结构、平面刚架结构的的组成部分自然地就是单元，铰接点和刚梁直段的端点就是结点。第2页，共32页，2023年，2月20日，星期六网格划分（续） 对于连续体，先进行必要的简化，再划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元结点相连接。 由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。

通常把三维实体划分成四面体（Tetrahedron）或六面体（Hexahedron）单元的网格，把平面问题划分成三角形（triangular)或四边形(quadrilateral)单元的网格。

第3页，共32页，2023年，2月20日，星期六网格划分（续）三维实体的四面体单元划分三维实体的六面体单元划分第4页，共32页，2023年，2月20日，星期六网格划分（续） 带方孔的长方形钢制等厚度薄板，受到均布轴向拉力q的作用。薄板的厚度为d，拉力沿厚度方向均匀分布。

三角形单元划分四边形单元划分第5页，共32页，2023年，2月20日，星期六网格划分（续）四面体单元六面体单元三角形单元四边形单元第6页，共32页，2023年，2月20日，星期六单元分析

单元分析就是在离散化得到的单元上寻找待解问题的近似解，建立由单元结点变量之间的关系式。

平面桁架结构中的直杆只承受轴向力作用，单元分析就是建立结点力和结点位移之间的关系式。弹性力学问题的单元分析，就是建立各个单元的结点位移和结点力之间的关系式。第7页，共32页，2023年，2月20日，星期六整体分析由单元分析得到了局部的近似解，把全部单元组成的整体，由局部近似解得到待解问题的全局近似解，这个过程就整体分析。 对于平面桁架结构来说，在铰接点上外载荷与相关单元的结点力之间存在平衡关系，列出全部平衡方程可以得到整个结构所承受外力与结点位移之间的线性方程组。根据约束条件修改这个方程组，由修改后的方程组可以解出结点位移分量。第8页，共32页，2023年，2月20日，星期六

例1-2、平面桁架123如图1-15所示。已知各杆件的弹性模量，各杆的截面积均为，杆13的长度为100cm，载荷P=2KN。求平面桁架的位移与内力。

单元编号结点编号单元长度11，270.71cm22，370.71cm31，3100cm第9页，共32页，2023年，2月20日，星期六平面桁架单元分析1）在局部坐标系中建立结点力分量与结点位移分量的关系矩阵。单元m的截面积第10页，共32页，2023年，2月20日，星期六平面桁架单元分析（续）2）根据局部坐标与整体坐标之间的关系，建立转换矩阵[T]。

第11页，共32页，2023年，2月20日，星期六平面桁架单元分析（续）3）在整体坐标系中建立单元结点力分量与位移分量的关系矩阵，称为单元刚度矩阵。

第12页，共32页，2023年，2月20日，星期六平面桁架单元分析（续）第13页，共32页，2023年，2月20日，星期六平面桁架单元分析（续）第14页，共32页，2023年，2月20日，星期六平面桁架整体分析

根据单元结点的局部编号与结点的总体自由度编号的对应关系，把单元刚度矩阵叠加得到总体刚度矩阵。

第15页，共32页，2023年，2月20日，星期六平面桁架整体分析（续）第16页，共32页，2023年，2月20日，星期六平面桁架整体分析（续）位移边界条件，在总体刚度矩阵中去掉与零位移对应的行与列，得到方程组。

第17页，共32页，2023年，2月20日，星期六平面桁架整体分析（续） 单元的内力按以下公式计算，

第18页，共32页，2023年，2月20日，星期六弹性力学问题单元分析 将单元的结点位移作为基本变量，单元分析首先要为单元内部的位移确定一个近似表达式，然后计算单元的应变、应力，再建立单元中结点力与结点位移的关系式。第19页，共32页，2023年，2月20日，星期六弹性力学问题单元分析（续）单元有三个结点I、J、M，每个结点有两个位移u、v和两个结点力U、V。第20页，共32页，2023年，2月20日，星期六弹性力学问题单元分析（续）单元的所有结点位移、结点力，可以表示为结点位移、结点力向量（vector）单元的结点位移和结点力之间的关系用张量（tensor）来表示第21页，共32页，2023年，2月20日，星期六整体分析（续）i结点的结点力：i结点的平衡方程：边界结点i是三个单元的结合点，因此要把这三个单元在同一结点上的结点力汇集在一起建立平衡方程。第22页，共32页，2023年，2月20日，星期六1.4有限元软件与应用实例1.4.1有限元软件

从二十世纪60年代中期以来，进行了大量的理论研究，不但拓展了有限单元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。 主要的研究领域有：大型线性方程组的解法，非线性问题的解法，动力学问题计算方法，并行算法；高精度单元；多物理场耦合，如热力耦合、电磁耦合；复杂材料模型，如塑性、多孔、晶粒度等。第23页，共32页，2023年，2月20日，星期六有限元软件（续）MSC.Nastran，结构分析MSC.Dytran，动力学、流固耦合、强非线性分析MSC.Marc，非线性分析，并行处理 MSC公司（/）发布，最新版本为Nastran2004

ANSYS，结构分析，多场耦合分析ANSYS/LS-DYNA，动力学分析ANSYS/FLOTRAN，2D/3D流场分析

ANSYS公司（http：///）发布，最新版本为ANSYS9.0第24页，共32页，2023年，2月20日，星期六有限元软件（续）ABAQUS/Standard，线性、非线性、动力学分析ABAQUS/Explicit，非线性、显式动力学分析 ABAQUS公司（/）发布，2005年1月发布Version6.5。

ADINA，高度非线性分析ADINA-F，流场分析ADINA-T，传热分析 ADINAR&D公司（/）发布，最新版本为ADINA8.2第25页，共32页，2023年，2月20日，星期六有限元软件（续）DEFORM-2D，二维体积成形问题DEFORM-3D，三维体积成形问题DEFORM-HT，热处理 SFTC(/)发布。AutoForm-Incremental，试模与整个冲压过程AutoFormHydroforming，液压胀形 AutoFormEngineering（/）发布，最新版本为AutoForm4.0。第26页，共32页，2023年，2月20日，星期六有限元软件（续）DYNAFORM/DFE，冲压模具设计DYNAFORM/Formability，成形分析 ETASoftware公司（/）发布，基于LS-DYNA的金属板料成形模拟软件，最新版本为DYNAFORM5.1。SYSWELD，焊接、热处理分析

ESI集团发布。

(/SimulationSoftware/Welding_heat_treatment/)第27页，共32页，2023年，2月20日，星期六有限元软件（续）ProCAST，铸造凝固过程热－流动－应力耦合分析

ESI集团发布。

(/SimulationSoftware/Casting_simulation/)FEPG(FiniteElementProgramGenerator)，根据用户输入的表达式和公式生成有限元计算的源程序。

北京飞箭软件有限公司（/）发布。第28页，共32页，2023年，2月20日，星期六1.4.2应用实例

有限单元法已经成功地应用在以下一些领域：结构强度、稳定性、震动分析，瞬态动力学问题（碰撞）的分析；体积成形，板料成形；传热，热处理，焊接变形与残余应力；磁场分析，电磁耦合；流体力学，流固耦合。第29页，共32页，2023年，2月20日，星期六安全带分析(ETA)