2022-2023学年广东省揭阳市高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省揭阳市揭东区高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知，，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】利用空间向量的夹角余弦值公式即可求得.【详解】解：，，.故选：B.2．“”是“直线与直线平行”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两直线平行求得m的值，由此确定充分、必要条件.【详解】“直线与直线平行”因为，所以直线，直线，与平行，故充分条件成立；当直线与直线平行时，，解得或，当时，直线与直线重合，当时，直线，直线平行，故充要条件成立．故选：A．3．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】首先根据，可得，再根据向量垂直的判定条件即可求出参数的值.【详解】根据题干条件，可知，即满足，解得：.故选：A.4．若点是圆上任一点，则点到直线距离的最大值为（

）A．5 B．6 C． D．【答案】C【分析】连接圆心和直线的定点，当直线与此线段垂直时圆心到直线的距离最大，再加半径即为圆上点到直线距离的最大值【详解】由题知，直线过定点（0，-1），所以圆心到定点的距离为所以点到直线距离的最大值为故选：C.5．若，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量线性关系的坐标运算求解即可.【详解】，．故选：B．6．圆：与圆：的位置关系为（

）A．相交 B．相离 C．外切 D．内切【答案】A【分析】根据圆心距以及圆的半径确定正确选项.【详解】圆：的圆心为，半径为.圆：的圆心为，半径为.，，所以两圆相交.故选：A7．已知两点到直线的距离相等，则（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解.【详解】（1）若在的同侧，则，所以，，（2）若在的异侧，则的中点在直线上，所以解得,故选:D.8．若方程表示一个圆，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可.【详解】由，得，则.故选：A二、多选题9．已知M为圆C：上的动点，P为直线l：上的动点，则下列结论正确的是（

）A．直线l与圆C相切 B．直线l与圆C相离C．|PM|的最大值为 D．|PM|的最小值为【答案】BD【分析】根据圆心到直线l得距离，可知直线l与圆C相离；∵P、M均为动点，对|PM|先固定点P可得，再看不难发现，即．【详解】圆C：得圆心,半径∵圆心到直线l：得距离∴直线l与圆C相离A不正确，B正确；C不正确，D正确；故选：BD．10．下列命题是真命题的有（

）A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥αD．平面α经过三点是平面α的法向量，则【答案】ABD【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可.【详解】对于A，若不能构成空间的一个基底，则共面，可得A，B，M，N共面，A正确；对于B，，故，可得l与m垂直，B正确；对于C，，故，可得l在α内或，C错误；对于D，，易知，故，故，D正确.故选：ABD.11．已知圆：，则下列说法正确的是（

）A．点在圆M内 B．圆M关于对称C．半径为 D．直线与圆M相切【答案】BD【分析】A选项，代入点坐标，大于0，表示点在圆外；B选项，圆心在直线上，故关于直线对称；C选项，配方后得到圆的半径；D选项，利用点到直线距离进行求解.【详解】整理得：，∵，时，∴点在圆M外，A错；∵圆心M在直线上，∴圆M关于对称，B对；∵圆M半径为1，故C错；∵圆心到直线的距离为，与半径相等，∴直线与圆M相切，D对.故选：BD.12．若直线和互相垂直，则实数的值是()A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据两条直线垂直的充要条件即可求出．【详解】依题可得，，解得：或．故选：AD．三、填空题13．在长方体中，设，，，若用向量、、表示向量，则____________．【答案】【分析】根据空间向量的加法法则求解即可【详解】由题意，故答案为：14．在正方体中，点P是底面的中心，则直线与所成角的余弦值为___________.【答案】##【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解异面直线的夹角.【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，设直线与所成角为，则故答案为：15．若直线被圆截得线段的长为6，则实数的值为__________.【答案】【分析】求解圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式求解即可．【详解】圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离．据题意，得，解得．故答案为：四、双空题16．直线的倾斜角为___________，若位于第一象限的动点在直线上，则的最大值为___________．【答案】

##

##【分析】求出直线的斜率，可得出直线的倾斜角，由已知可得出，利用基本不等式可求得的最大值.【详解】由题意可知直线的斜率为，设直线的倾斜角为，因为，故，因为位于第一象限内的动点在直线上，则，且，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，的最大值为.故答案为：；.五、解答题17．已知向量，.(1)求的值；(2)求向量与夹角的余弦值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解；（2）根据向量夹角的坐标表示计算即可得解.【详解】（1）∵，，∴，，∴；（2）设与的夹角为，则，，，，，∴，∴向量与夹角的余弦值为.18．已知二次函数．(1)当时，二次函数取得最小值0，求二次函数的解析式．(2)在（1）的条件下，恒成立，求的范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二次函数的对称轴以及最值可求解；（2）恒成立即可求解.【详解】（1）依题意得解得，

（2）由（1），得，则恒成立，即恒成立，

只需的最小值大于即可

，

的最小值是

的取值范围：19．直线过点.求分别满足下列条件的直线方程.(1)若直线与直线平行；(2)若点到直线的距离为1.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据直线平行设出直线方程，代入点即可求出结果；（2）分斜率存在和斜率不存在两种情况，设出直线方程，利用点到直线的距离公式求出参数，即可求出直线方程.【详解】（1）设直线方程为将代入得，所求直线方程是（2）若直线的斜率不存在，则过的直线为，到点的距离为1，满足题意；若直线的斜率存在，设斜率为，则的方程为.由点到直线的距离为1，可得.解得，所以直线方程为，即.综上得所求的直线方程为或.20．已知圆，圆.(1)试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；(2)若过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程.【答案】(1)圆C与圆M相交，理由见解析(2)或【分析】（1）利用圆心距与半径的关系即可判断结果；（2）讨论，当直线l的斜率不存在时则方程为，当直线l的斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得出结果.【详解】（1）把圆M的方程化成标准方程，得，圆心为，半径.圆C的圆心为，半径，因为，所以圆C与圆M相交，（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为到圆心C距离为2，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设其方程为，由题意得，解得，故直线l的方程为.综上，直线l的方程为或.21．已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．（1）求圆C的标准方程；（2）直线与圆C交于A，B两点．①求k的取值范围；②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a，又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆C的标准方程为：.（2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点，所以，即k的取值范围是.（ⅱ）设，由根与系数的关系：，所以.即直线OA,OB斜率之和为定值.22．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上的点，且.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求点E到平面的距离.【答案】(1)证明过程见解析；(2)；(3).【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运算性质，结合线面垂直的判定定理进行计算证明即可；（2）利用空间