分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分加计原与步法数理知识点1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种同的方法…第n类案中有mn种同的方法完这件事情有N＝m1＋m2＋…＋种不的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个同的步骤，完成第一步有m1种同的方法，完成第二步有m2种不的方法，……，完成第n步mn种同的方法，那么完成这件事情共有N＝××…×种不的法．3．类加法计数原理与分步乘计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．[难点正本疑清]分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列、组合问题的基础并贯穿始终．分类加法计原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类单的说分类的标准“重不漏一步”分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这件事的一方法，简单的说步与步之间的方法“相互立，多步完”．题型一分类法计原理的用分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理【1】高三一班有学生50人男生，女生20人高三二班有学生60人男生30人，女生人；高三三班有学生55人男生35人女生人(1)从高三一班或二班或三班中选名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中，或高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？：

(1)50种选法种50种(2)30种选法30种选法20种选法30种/7

25362536x【2】程＋＝示焦点在y轴的椭圆其∈∈那这样的椭圆mn有多少个？53220【关习刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有张语单词片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同取法？所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？题型二分步法计原理的用探究提高

利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．【1有5本全部借给名生，有多少种不同的法？(2)有学生分配到某工厂的5个间去参加社会实践，则有多少种不同分配方案？[]53N333)(2)3N5

).【2】有名同学报名参加三个力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数限；(2)每项限报一人，且每人至多参一项；(3)每项限报一人，但每人参加的目不限．思维启迪：以报名过程，用分步乘法计数原理．解(1)3)(2)××4/7

222222222222()【过练习知∈{3,4,6}，b，∈{8,9}，则方程－a)＋(y＝r可示不同的圆的个数有多少个？[解析]圆方程由三个量a，br确定，，，分别有种选法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为×4224(个)．知集合M{3－2，－1,0,1,2}，，b∈M则：(1)y＋bx＋可表示多少个不同的二次函；(2)y＋bx＋可表示多少个图像开口向上二次函数．解

(1)a56ax5××6)(2)ybxc2cyaxbxc26×672(题型三两个理的合应用探究提高用个计数原理解决数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”类再分别对每一类进行计数后分类加法计数原理求和到数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法帮助分析．【1一个三书架的上层放有5本同的数学书，中层放有本不同的语文书，下层放有2本同的英语书(1)从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，有多种不同的取法？[解析](1)从书架上任取一本书有三类方法：第一类方法：从书架上层任取一本数学书，有5种同的方法；第二类方法：从书架中层任取一本语文书，有3种同的方法；第三类方法：从书架下层任取一本英语书，有2种同的方法．只要在书架上任意取出一本书即完成类加法计数原理知的法共有＝5＋2＝10(种)．(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，可以成三个步骤完成：第一步：从书架上层取一本数学书，有种同的方法；/7

3434【2如所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．：的顶点A所)染SB1C染2D或4或3C染D3染5可3或种SAD760420()AC、与D有AA＋2AA420()．【关习一项活动，需在名老师、8名生和5名生中选人参加．(1)若只需参加，有多少种不同选法？(2)若需老师、男生、女生各一人加，有多少种不同的选法？(3)若需一名老师、一名学生参加有多少种不同的选法？解(1)38816(2)3×85120(3)3(85)39三只口袋装小球，一只装有5个色小球，一只装有个色小球，一只装有7个色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有多少种不同的取法？[解析]分为三类一类取白球球有5×＝30取法类是取白球球有5×＝35取法；一类是取黑球、红球，有×7种取法．∴共有取法30＋＋42107(种)题型四特殊型【1把3封投到信箱，所有可能的投法共有

()A24

B4种

C．种

D．种(2)某人从甲地到乙地，可以乘火，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟轮船有3次，问此人的走法可________种．易错分析

解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用加法原理和乘法原理来计算．解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对(1)选择的标准不同，误认为每/7

【2用0,1,2,3,4,5可以成多少个无重复数字的比2000大四位奇数？[解析方一：按末位是1,3,5分三计数：第一类：末位是1，共有4×4×＝个；二，末位是3的有3××＝36个第三类末位是5的共有××3＝个由分类加法计数原理知共有48＋＋＝120(个．方法二：符合条件的数有3×4××－××＝个．【3电视台续播放个广告其含4个不同的商业广和个同的公益广告，要求尾必须播放公益广告，则共_种同的播放方式(结果用数值表示[答案[解析先安排首尾播放公益广告，共2种再排4种不同的商业广告共××2×＝24种由分步乘法计数原理得×2＝48种．【关习从6人选人别巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人甲，乙不去巴黎游览，则不同的选择方案共()A种

B种

C．种

D．种[答案[解析能去巴黎的有4个，依次去伦敦，悉尼，莫斯科的有个，个，个，故不同的选择方案为×5×3＝240()故选课后练【救习某同学同样的画册2本，同样的集邮册3本从中取出本送给4位朋友，每位朋友1本则不同的赠送方法共有

()A4种

B种

C．种

D．20种

答案2.5位学报名参加两个课外动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有________种．××2)按ABO血系统学说，每个人的型为AB、O型种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有AB型时，子女的血型有可能是型，若某人的血型是O型则其父母血型的所有可能情况有)A6

B9

．10种

D．12种39种．现安排份天的工作值班表，每天有一个人值，共5个，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值日表共_________种不同的排法．班新年联欢会原定的5个目已排成节目单开演前又增加了个新节目．如要将这个目入原/7

节目单中，那么不同插法的种类为()A42BC．20D．12有、B两类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会作两种车床，丙只会操作种床，现在要从三工人中选分别去操作以上车床，不同的选派方法有

()A6种

B5种

C．种

D．1到200的自然数中，各数位上都不含的有______．只三数字组成一四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现样四位数有A6个

B．9个

C．18

()D个【固习一个科技小组中有4名同学，5名同学，从中选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法种若从中任选一名同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方________．图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，，个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共()A种

B种

C．240种

D168如，环形花坛分成，，C，四块，现有4种同的花供选种，要求在每里种种花，且相邻的种不同的花，则不同的种法总数为

()A96B．．D由这四个字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有

()A个

B232

C．174个

D．168个一个乒乓球队里男队员5名女队员名从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共________种不同的选法．号为AB的个口袋A袋有个色小球B中有2不同的白色小球袋有3个同的黄色小球，现从中取出小球．(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？/7

单位职工义务献血，在体检合格的人中O型的共有人，A型的有个B型血的共有个，型的有3个(1)从中任选人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选去献血，有多少种不同的选法？【高习在某种息传输过程中4个字的一个排数字允许重复)示一个信息同排列表示不同信息所用数字只有和，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信个数为A10B．11CD．15

()如图所，用种不同的颜色涂入图中的形BCD中要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有

()A72

B种

C．24种

D种某次活中，有30人成5列现要从中选出人进行礼仪表演，要求这中的任意2人同行也不同列，则不同的选法种数________(用字作答)．某外语有人，每人至少会英语和日语中的一，其中人英