天津高二下学期期中数学试题（解析版）

第1页/共1页天津高二下学期期中数学试题一、单选题（本大题共10小题，共30分）1.已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先设出双曲线的标准方程，然后根据双曲线的焦距和离心率以及a，b，c的关系式即可求解．【详解】由题意可设双曲线的标准方程为，因为双曲线的焦距为8，则2c＝8，所以c＝4，又双曲线的离心率为，所以a＝2，则，所以双曲线的标准方程为.故选：B．2.已知展开式二项式系数和为64，则该展开式中常数项为（）A.15 B.20 C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用求出，然后再利用二项展开式的通项即可求解.【详解】根据题意可得，解得，则展开式的通项为，令，得，所以常数项为：.故选：A.3.等比数列的各项均为正实数，其前n项和为，若，，则（）A.32 B.31 C.64 D.63【答案】B【解析】【分析】设首项为，公比为，由，又，可得，再利用通项公式即可得出．【详解】解：设首项为，公比为，由，所以，又，，又因为，所以，所以，故选：．4.函数的单调递增区间是（）A. B.C.和 D.【答案】D【解析】【分析】解不等式可求得原函数的单调递增区间.【详解】因为，则，由可得，解得.因此，函数的单调递增区间是.故选：D.5.已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二项分布的期望和方差公式可得出关于、的方程组，即可解得的值.【详解】因为离散型随机变量服从二项分布，且，，则，解得.故选：B.6.已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过2次测试恰好将2个次品全部找出的概率（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把6个产品编号，用列举法写出两次测试的所有可能，计数后由概率公式计算可得．【详解】2个次品编号为1，2，4个合格品编号为，不考虑前后顺序时两次测试的可能情形是：共15种，考虑前后顺序时两次测试的可能情形有30种，其中12，21这两种情形表示经过2次测试恰好将2个次品全部找出，因此概率为．故选：A．7.甲、乙、丙三人报考，，三所大学，每人限报一所，设事件为“三人报考的大学均不相同”，事件为“甲报考的大学与其他两人均不相同”，则概率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用条件概率求解.【详解】解：每人报考大学有3种选择，故总的报考方法共有种，三人所报考的大学均不相同的报考方法有种，甲报考的大学与其他两人均不相同的报考方法有种，故，故选：D8.有10台不同的电视机，其中甲型3台，乙型3台，丙型4台．现从中任意取出3台，若其中至少含有两种不同的型号，则不同的取法共有（）A.96种 B.108种 C.114种 D.118种【答案】C【解析】【分析】先计算总的取法数和只取一种型号的取法数，总的取法数减只取一种型号的取法数即可得出结果.

【详解】根据题意，从10台电视机中任意取3台的取法总数为：（种）

取3台都是同一种型号的取法数为：（种）

所以至少含有两种不同型号的取法数为：（种）

选项ABD错误，选项C正确.

故选：C.

9.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有（）A.72种 B.54种 C.36种 D.27种【答案】B【解析】【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况；②、甲不最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况；则一共有种不同的名次排列情况，故选：．10.函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求导得，由题意得在上只有一个变号零点，参变分离得，利用函数的单调性得的取值范围.【详解】因为，所以，函数在上有且仅有一个极值点，在上只有一个变号零点.令，得.设在单调递减，在上单调递增，，又，得当，在上只有一个变号零点.经检验，不合题意，故选：B.【点睛】方法点睛：已知区间上有极值点，求参数的范围问题．可以从两个方面去思考：（1）根据区间上极值点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件；（2）也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，借助导数研究函数的单调性、极值等，层层推理得解．二、填空题（本大题共6小题，共24分）11.已知随机变量的分布列为123450.10.30.40.10.1则__________.【答案】##【解析】【分析】先根据期望的公式求出，再根据期望的性质即可计算．【详解】因为所以故答案为：12已知随机变量服从正态分布，若，则______．【答案】【解析】【分析】根据概率之和为1，求得，再利用正态曲线的对称性得，即可求得答案.【详解】解：因为，所以，因为随机变量服从正态分布，所以，所以.故答案为：0.6.13.若，则_________．【答案】-1【解析】【分析】运用赋值法，令x=0即可求解.【详解】令x=0，则，，故答案：-1.14.设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.该射手任取一支枪射击，中靶的概率是___________.【答案】0.7##【解析】【分析】设表示已校正，表示射击中靶，计算出，，，，由此利用全概率公式能求出中靶的概率．【详解】解：设表示已校正，表示射击中靶，则，，，，全概率公式得中靶的概率为：．故答案为：．15.已知椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率为___________.【答案】【解析】【分析】求出右顶点坐标，然后推出的纵坐标，利用已知条件列出方程，求解椭圆的离心率即可．【详解】解：椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于，两点，若，可知，不妨设在第一象限，所以的纵坐标为：，可得：，即，可得，，所以．故答案为：．16.已知数列中，，，前n项和为.若，则数列的前15项和为______.【答案】【解析】【分析】首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】解：数列中，，，前项和为．若，则，整理得，所以数列是以1为首项，1位公差的等差数列，则，所以．所以．所以．故答案为：．三、解答题（本大题共4小题，共46.0分）17.根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【答案】（1）（2）分布列见解析，，甲比乙闯关成功的可能性大【解析】【分析】（1）可分析出“乙闯关”属于独立重复实验，直接求概率；（2）直接求出甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望，再求出甲闯关成功的概率，比较甲、乙闯关成功的概率，即可下结论.【小问1详解】记乙闯关成功为事件A，所以.【小问2详解】由题意知随机变量X是所有可能取值为0，1，2，3，，，，，故X的分布列为X0123P所以.所以甲闯关成功的概率为，因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大.18.已知等差数列的前项和为，，，数列满足，．（1）证明：数列是等比数列，并求数列与数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．【答案】（1）证明见解析，，；（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式即可求出首项和公差，进而可得的通项公式；利用等比数列的定义即可证明是等比数列，可得的通项公式，即可得的通项公式；（2）由（1），利用乘公比错位相减即可求出．【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则，解得，所以，为常数，所以数列是为首项，公比为的等比数列，所以，可得.（2）由（1）得：，所以①，②，①﹣②得：，＝，整理得：．【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.19.已知椭圆的离心率为，短半轴的长为2.（1）求椭圆方程；（2）若椭圆的左焦点为，上顶点为，与直线平行的直线与椭圆相切，切点为，且切点在第二象限.（ⅰ）求直线的方程；（ⅱ）求三角形的面积.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）根据题意建立的方程，求解即可；（2）先求得FA的斜率，根据平行可得切线斜率，设其方程，利用即可求解切线方程；求出切点坐标，根据点线距离求得高，两点距离求得，从而根据三角形的面积公式即可求解.【小问1详解】且又，以上二式联立,解得，椭圆的方程.【小问2详解】（ⅰ）由(1)得，点F，A的坐标分别为，，直线FA的斜率为，直线FA与直线平行，直线的斜率为2，设直线的方程为，与联立消去，得，直线与椭圆相切，，解得因为与直线平行的直线与椭圆相切的切点在第二象限，所以，所以直线的方程为.（ⅱ）由（ⅰ）可知，当时，方程为，即，解得，此时，即，而直线的方程为，即，所以点到直线的距离，又，所以三角形的面积..20.已知，.（1）若，求函数的图象在处的切线方程；（2）讨论函数在上的单调性；（3）对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；（2）由可得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间