机械工程控制基础-第3章

机械工程控制基础-第3章第一页，共92页。控制系统的稳定性是指控制系统在使它偏离平衡状态的扰动作用消失以后重新恢复到平衡状态的性能。平衡状态——指的是系统内部的各个变量关于时间的变化率（亦即对时间的一阶导数）等于0的运动状态。对线性定常系统而言，静止状态是唯一的平衡状态。

如果扰动消失以后，经过足够长的时间，受扰自由运动最终衰减为0，——系统稳定。如果扰动消失以后，受扰自由运动不仅不随时间的推移而衰减，相反以发散方式变化，从而导致系统运动状态离原平衡状态愈来愈远，——系统不稳定。

如果扰动消失以后，经过足够长的时间，系统不是收敛于原平衡状态，而是收敛于一新的平衡状态或在一新的平衡点附近作有界振荡运动，——系统临界稳定。

3.1稳定性分析第二页，共92页。如果不论系统受扰自由运动的初始偏差有多大，扰动消失后，经过足够长时间，系统总能以较高的精确度自动恢复到原平衡状态——大范围稳定。如果当系统受扰自由运动的初始偏差较小时，系统能在扰动消失以后经足够长的时间自动恢复到原平衡状态，而当受扰自由运动的初始偏差较大时，系统无法在扰动消失以后自动恢复到原平衡状态——小范围稳定。

单摆

倒立摆

小球的稳定性

第三页，共92页。3.1.1判定线性系统稳定性的基本准则稳定系统的所有极点都在复平面[s]的左半部——系统稳定如果系统的一个或几个极点位于复平面[s]的虚轴上，其余极点都位于[s]的左半部——系统临界稳定

只要有一个极点位于复平面[s]的右半部——系统不稳定不稳定临界稳定

1系统稳定的充分必要条件第四页，共92页。假设扰动信号消失瞬时为初始时刻t=0，该时刻受扰运动的输出量及其各阶导数为

研究系统受扰自由运动证明系统自由运动微分方程的一般形式

第五页，共92页。系统的特征方程

实数特征根共轭复数特征根（1）如果

当扰动消失以后，经过足够长的时间，系统受扰自由运动的输出量衰减为0——系统稳定第六页，共92页。（2）如果常数

扰动消失以后，受扰自由运动的输出量最终收敛于一常数——临界稳定。

第七页，共92页。（2）如果受扰自由运动的输出量最终围绕着一常数作有界振荡运动——临界稳定。第八页，共92页。（3）在系统的特征根中，只要有一个实数特征根为正，或者只要有一对共轭复数特征根的实部为正，那么必有此时系统受扰自由运动的输出量以发散方式变化，系统运动状态只会离平衡状态愈来愈远——不稳定

第九页，共92页。线性定常系统稳定的充分必要条件是：所有实数特征根为负、所有共轭复数特征根具有负实部。只要有一个为正的实数特征根或实部为正的一对共轭复数特征——不稳定当除了负实数和实部为负的特征根以外还有等于0的实数特征根或实部为0的复数特征根时——临界稳定。

第十页，共92页。几何意义稳定不稳定临界稳定2系统稳定的必要条件系统特征方程的各次幂系数具有相同的正负号，且无一系数为0

第十一页，共92页。3.1.2劳斯稳定性判据1劳斯表假设特征方程

第十二页，共92页。2劳斯稳定性判据系统没有右特征根的充分必要条件是：劳斯表的第1列各元素严格同符号。若第1列元素符号出现由正变负或由负变正的情况，则系统必有右特征根，且右特征根的个数恰为第1列元素改变符号的次数。

第十三页，共92页。有两个特征根位于[s]的右半平面上。系统不稳定第十四页，共92页。例+试确定系统稳定的K值范围。系统的特征方程

解：系统的闭环传递函数为U(s)Y(s)第十五页，共92页。系统稳定，须使劳斯表的第一列所有元素都为正，即K>0

第十六页，共92页。3特殊劳斯表（1）某一行第一列元素为0、其余元素不全为0（+）（-）（+）有2个特征根位于[s]的右半平面上。系统不稳定例第十七页，共92页。（2）某一行各元素均为0例系统无右特征根——临界稳定

辅助方程第十八页，共92页。试确定K值范围，使系统的所有特征根都为左根，且最靠近虚轴的特征根到虚轴的距离不小于参数K的取值范围应使系统的所有特征根都在复平面[S]上这条直线的左边

进行线性变换

例第十九页，共92页。K―4>0系统稳定性，一般指闭环系统的稳定性，而不是开环系统的稳定性

第二十页，共92页。u(t)=1(t)3.2控制系统的瞬态响应分析瞬态过程稳态过程在输入量的作用下系统输出量随时间变化的规律称为系统的时间响应——系统的零状态响应。瞬态过程又称为动态响应或瞬态响应，是系统伴随着输入外作用的变化从一种稳定工作状态过渡到新的稳定工作状态这一时间历程中的响应。

稳态过程又称为稳态响应，是系统在输入信号作用下当时间t趋于无穷大时的响应。

第二十一页，共92页。3.2.1一阶系统的瞬态响应一个负实数极点

1一阶系统的数学模型第二十二页，共92页。2一阶系统的单位阶跃响应瞬态分量

稳态分量

（1）

T愈小，1/T愈大，极点至虚轴愈远，瞬态分量衰减愈快，极点至虚轴愈近，瞬态分量衰减愈慢

第二十三页，共92页。2一阶系统的单位阶跃响应（2）

误差函数

稳态响应y(T)=0.632y(∞)

（3）

T——系统响应从0上升到稳态值的63.2%所历经的时间。

稳态误差第二十四页，共92页。1二阶系统的数学模型时间常数T、阻尼比ξ，无阻尼自然频率ωn

=

3.2.2二阶系统的瞬态响应第二十五页，共92页。（1）无阻尼ξ=0

2二阶系统的单位阶跃响应

无阻尼二阶系统的单位阶跃响应以等幅振荡的方式变化，等幅振荡的平均值为1，振荡频率为

第二十六页，共92页。ξ=0

第二十七页，共92页。阻尼振荡频率（阻尼自然频率）（2）欠阻尼第二十八页，共92页。（2）欠阻尼第二十九页，共92页。第三十页，共92页。稳态分量

（1）

瞬态分量

阻尼角

（2）

阻尼振荡频率（阻尼自然频率）（3）

（4）

稳态响应

第三十一页，共92页。稳态分量

（1）

瞬态分量

阻尼角

（2）

阻尼振荡频率（阻尼自然频率）（3）

（4）

稳态响应

ζωn愈大，极点至虚轴愈远，瞬态分量衰减愈快，极点至虚轴愈近，瞬态分量衰减愈慢

第三十二页，共92页。（5）系统响应在许多时间区间内有超调现象存在，但超调幅度愈来愈小，最终超调现象伴随瞬态响应的振荡幅值趋于0而消失。当时间t→∞时,振荡幅值趋于0，瞬态过程结束，稳态过程开始，此后输出信号以稳态值复现输入信号，因而稳态误差为0

第三十三页，共92页。（3）临界阻尼ξ=1瞬态分量

稳态分量

第三十四页，共92页。（3）临界阻尼ξ=1第三十五页，共92页。（4）过阻尼

ξ﹥1第三十六页，共92页。瞬态分量

极点至虚轴愈远，瞬态分量衰减愈快，极点至虚轴愈近，瞬态分量衰减愈慢

ζ>1

ζ=1U(t)=1第三十七页，共92页。u(t)

y(t)

第三十八页，共92页。3.2.3系统的瞬态响应性能指标1上升时间

[定义]对于其单位阶跃响应具有超调特性的系统，单位阶跃响应的瞬态值从0第一次上升到稳态值的100%所经历的时间第三十九页，共92页。在时刻

取其中最小值

第四十页，共92页。1一定时第四十一页，共92页。对于其单位阶跃响应无超调特性的系统，单位阶跃响应的瞬态值从稳态值的10%上升到稳态值的90%所经历的时间u(t)=1(t)

0.10.9第四十二页，共92页。2峰值时间

[定义]系统的单位阶跃响应的瞬态值从0上升到第一个峰值所经历的时间

u(t)=1(t)

y(t第四十三页，共92页。u(t)=1(t)

在时刻

取其中最小值

y(t第四十四页，共92页。u(t)=1(t)

1一定时y(t第四十五页，共92页。u(t)=1(t)

3最大超调量

和最大百分比超调量

系统单位阶跃响应的最大值与稳态值两者之差

系统单位阶跃响应的最大值与稳态值二者相对差值的百分数

y(t第四十六页，共92页。u(t)=1(t)

y(t第四十七页，共92页。=25%～1.5%当ξ=0.4～0.8时

当稳态响应等于1时当稳态响应不等于1时第四十八页，共92页。4调整时间

系统的单位阶跃瞬态响应从0过渡到稳态值的允许误差范围边界

且自后不再超出该允许误差范围边界这一响应过程所经历的时间

稳态值允许误差的百分数

y(t)=1(t)

y第四十九页，共92页。y(t)=1(t)

在时刻

取其中最大值

y第五十页，共92页。包络线方程第五十一页，共92页。包络线方程第五十二页，共92页。第五十三页，共92页。反映了过渡过程的振荡程度和瞬态响应的平稳性及相对稳定性反映瞬态响应时间历程的长短和瞬态响应速度的快慢也能反映瞬态响应时间历程的长短和瞬态响应速度的快慢有利于提高系统的响应速度而不降低系统的稳定性增大ξ不能使系统的相对稳定性和响应速度同时得到改善。

在ξ=0.707附近

很小。工程上将ξ=0.707称为最佳阻尼比系统设计，为了兼顾系统的相对稳定性和响应速度两方面的特性，通常取ξ=0.4～0.8。此时，Mp%=25%～1.5%

也不过大讨论第五十四页，共92页。例试确定开环增益K和常数kh

使最大百分比超调量等于0.2，峰值时间等于1秒，并计算解：ξ=0.456=3.53第五十五页，共92页。f(t)=8.9(N)

例解：第五十六页，共92页。解：ξ=0.6第五十七页，共92页。解：第五十八页，共92页。3.2.4高阶系统单位阶跃响应的一般规律1三阶系统单位阶跃响应的一般规律第五十九页，共92页。第六十页，共92页。第六十一页，共92页。瞬态分量对应于极点瞬态分量对应于极点（1）

极点至虚轴愈远，瞬态分量衰减愈快，极点至虚轴愈近，瞬态分量衰减愈慢

靠近虚轴的极点作用大于远离虚轴的极点第六十二页，共92页。若（2）瞬态分量的初值与零点有关

一对负实数零点极点位置重合第六十三页，共92页。若（2）瞬态分量的初值与零点有关

一对共轭复数零点极点位置重合D＝0第六十四页，共92页。位置重合的一对零、极点对瞬态响应的作用相互完全抵消，因此，由它们构成的传递函数因子称为系统的零、极相消因子

第六十五页，共92页。若一对负实数零点极点位置相邻作用很小，可忽略第六十六页，共92页。若一对共轭复数零点极点位置相邻D0作用很小，可忽略第六十七页，共92页。位置非常靠近的一对零、极点对瞬态响应的作用近似相互抵消，这样的一对零、极点称为偶极子

第六十八页，共92页。如果距离虚轴最近的极点（一对共轭复数或一个实数）周围没有零点，且其它极点到虚轴的距离是该极点到虚轴的距离的5倍以上，那么与该极点对应的瞬态分量，不仅其初值的绝对值较大而且衰减速度也最慢，对瞬态响应的影响最大，起着决定性的支配作用。这样的极点称为闭环主导极点

2系统的闭环主导极点共轭复数闭环主导极点实数闭环主导极点第六十九页，共92页。当高阶系统存在一对共轭复数闭环主导极点时，其动态特性就类似于二阶系统的动态特性。2系统的闭环主导极点如果高阶系统存在一个负实数闭环主导极点，则其动态特性就类似于一阶系统的动态特性。第七十页，共92页。控制系统的性能

动态性能稳态性能

稳态误差

3.3控制系统的误差分析第七十一页，共92页。3.3.1有关稳态误差的基本概念1偏差e(t)和误差ε(t)偏差误差期望输出量与输入量二者间成线性比例关系

误差和偏差二者成正比关系

第七十二页，共92页。2稳态误差

输入形式结构形式第七十三页，共92页。3.3.2典型控制信号作用下系统的稳态误差1系统类型K——开环增益

令为系统开环中含有的积分环节数2100型系统型系统型系统III{！

系统类型(type)与系统的阶数(order)的区别第七十四页，共92页。2典型控制信号作用下系统的稳态误差和稳态误差系数（1）稳态位置误差

稳态位置误差系数令第七十五页，共92页。2典型控制信号作用下系统的稳态误差和稳态误差系数（1）稳态位置误差

稳态位置误差系数0型系统

Ⅰ型及更高型

第七十六页，共92页。（2）稳态速度误差

稳态速度误差系数令第七十七页，共92页。稳态速度误差系数0型系统

Ⅰ型Ⅱ型及更高型第七十八页，共92页。稳态加速度误差系数（3）稳态加速度误差

令第七十九页，共92页。稳态加速度误差系数0型和Ⅰ型Ⅱ型Ⅲ型及更高型——须校正，否则不稳定第八十页，共92页。例第八十一页，共92页。第八十二页，共92页。00Ⅱ型含∞0Ⅰ型含∞∞0型输入类型开环传递函数积分环节数——系统的无差度

无差度大于输入最高幂数

无差度等于输入最高幂数

无差度小于输入最高幂数

第八十三页，共92页。系统的无差度

积分环节数大于输入信号最高幂数

积分环节数小于输入信号最高幂数

积分环节数等于输入信号最高幂数

积分环节数等于输入信号最高幂数

第八十四页，共92页。3.3.3有扰动外作用时系统的稳态误差给定稳态误差第八十五页，共92页。3.3.3有扰动外作用时系统的稳态误差扰动误差传递函数

扰动稳态误差

总稳态