第二章拉氏变换

第二章拉氏变换第1页，共28页，2023年，2月20日，星期三第一节

Laplace变换的概念定义

设函数当时有定义，且积分

在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为：第2页，共28页，2023年，2月20日，星期三可记为

F(s)=£[f(t)]其：F(s)称作f(t)的Laplace变换（或象函数）相应地：f(t)称作F(s)的Laplace逆变换（或象原函数），记为f(t)=£-1[F(s)]上式（*）称为函数f(t)的Laplace变换式第3页，共28页，2023年，2月20日，星期三拉氏变换存在定理若函数f(t)满足条件:

1，在t≥0任一有限区间上分段连续;

2，当t→+时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即，存在一常数M>0及

c

≥0使：结论成立，则f(t)的Laplace变换（形如式（*）表示）在半平面Re(s)>c上一定存在，右端的积分在Re(s)≥c1>c上绝对收敛且一致收敛，并且在Re(s)>c的半平面内，F(s)为解析函数。第4页，共28页，2023年，2月20日，星期三举例例1：求单位阶跃函数的Laplace变换。例2：求正弦函数的Laplace变换。第5页，共28页，2023年，2月20日，星期三周期函数的Laplace变换一般地，以T为周期的函数f(t)，当f(t)在一个周期上是分段连续时，则f(t)的拉氏变换式为：第6页，共28页，2023年，2月20日，星期三tf(t)b4b3b2bb例3：求周期性三角波的Laplace变换。第7页，共28页，2023年，2月20日，星期三拉氏变换中积分下限的讨论1.满足拉氏变换存在定理条件的函数f(t)在t=0处有界时，则下式积分与下限是还是无关。即：

£+[f(t)]=

£-[f(t)]其中，£+[f(t)]为：第8页，共28页，2023年，2月20日，星期三2.若函数f(t)在t=0处包含脉冲函数时，则下式积分中必须指明下限是还是。即：

£+[f(t)]≠

£-[f(t)]其中：£+[f(t)]£-[f(t)]=这样，我们定义拉氏变换时，严格上应为：第9页，共28页，2023年，2月20日，星期三例4求单位脉冲函数的拉氏变换f(t)t1例5：求函数的Laplace变换。第10页，共28页，2023年，2月20日，星期三第二节

Laplace变换的性质Laplace变换的性质性质1（线性性质）：设，F1(s)=

£[f1(t)]和F2(s)=

£

[f2(t)]则，

£[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)其中，a,b为常数注意：Laplace逆变换也有类似的性质第11页，共28页，2023年，2月20日，星期三性质2（微分性质）：则有，£[

]=sF(s)-

f(0)若，F

(s)=£[f

(t)]这个性质说明：一个函数求导以后取拉氏变换等于该函数的拉氏变换乘以s，再减去函数的初值。推论：若，F

(s)=£[f

(t)]，则有，£[

]=第12页，共28页，2023年，2月20日，星期三更为一般地

：

若，F

(s)=£[f

(t)]则有，£[

]=类似地，可得象函数的微分性质：=-£[]，Re(s)>c一般地

:

若，F

(s)=£[f

(t)]，则=£[]，Re(s)>c第13页，共28页，2023年，2月20日，星期三性质3（积分性质）：

£

[

]若，F

(s)=£[f

(t)],则：另外，£类似地，可得象函数的积分性质：

£

[

]一般地，£第14页，共28页，2023年，2月20日，星期三性质4（位移性质）：

£[

]=F(s-a)(Re(s-a)>c)性质5（延迟性质）：若，F

(s)=£[f

(t)],则，若，F

(s)=£[f

(t)]，又t<0时，f(t)=0,则对于任一非负数实数τ，有：

£[f(t-τ)]=第15页，共28页，2023年，2月20日，星期三例1已知函数,求f(t)的拉氏变换，其中m为正整数。举例例2求函数及的拉氏变换。例3求函数的拉氏变换。第16页，共28页，2023年，2月20日，星期三性质6（相似性质）：£[

]=若，F

(s)=£[f

(t)],a为正整数，则，例4，若F

(s)=£[f

(t)]，求下列函数g(t)的拉氏变换。第17页，共28页，2023年，2月20日，星期三第三节

Laplace逆变换Laplace逆变换定义前面，我们定义了函数f(t)的拉氏变换为：其中，F(s)称作f(t)的Laplace变换（或象函数，而f(t)称作F(s)的Laplace逆变换（或象原函数），记作：f(t)=£-1[F(s)]第18页，共28页，2023年，2月20日，星期三上式（＃）就是从象函数F(s)求象原函数函数f(t)的计算公式。右端的积分称为Laplace反演积分。同时，我们定义f(t)为：注意到，右端积分为一复变函数的积分，计算该积分时通常比较困难，但当F(s)满足一定条件时，可以用留数的方法来计算这个反演积分，特别当F(s)为有理函数时更为简单。第19页，共28页，2023年，2月20日，星期三结论定理：若s1,s2,…,sn是函数F(s)的所有奇点（适当选取β使得这些奇点全落在Re(s)<β内），且当s→∞时，F(s)→0,则有：第20页，共28页，2023年，2月20日，星期三三种方法求逆变换：求Laplace逆变换的方法一、留数法二、部分分式法三、直接查表法第21页，共28页，2023年，2月20日，星期三一、留数法若函数F(s)=A(s)/B(s),其中A(s),B(s)是不可约的多项式，B(s)的次数为n,A(s)的次数小于n，则：1、若B(s)有n个单零点s1,s2,…,sn，有，第22页，共28页，2023年，2月20日，星期三2、若s1是B(s)的一个m级零点，其余的n-m都是单零点,sm+1,…,sn，有，第23页，共28页，2023年，2月20日，星期三举例例1用留数的方法求的拉氏逆变换。第24页，共28页，2023年，2月20日，星期三二、部分分式法1、且

无重根，则：第25页，共28页，2023年，2月20日，星期三2、但有一个k重根此时，但求