信号与系统教程指消息的表现形式传送载体是

§1.1重点BUPT

难点辨析信号/消息/

由若干相互作用和相互依赖 重点BUPT

难点

退 开指数信号正弦信号

Signal)钟形脉冲函数 函数f(t)0直流(常数

ft

00

f(t1

K0

ttf

t通常把称为指数信号的时间常数，记作,即

f(t)Ksin(t周期：T2 f(t)Ketf(t) t

图sint12

ejtcost12

ejtejtcostj f(t)d[Ksin(t)]Ksin[t f(t)Ke (tKetcostjKetsins

,0,00,0,

, 0,0增幅 0,0,

0,0 抽样信号(SamplingSa(t)

tt ①SatSat②t0Sa(t1，即limSa(t②t③Sa(t)0,tn，n1,2,3sin

dt

sintdt④

⑤limSa(t)⑤t⑥sinc(t)sint/ f(t)

t

P9图1--Ee 2复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为θ时，cosjsin11

e

e cosj{ e

1

e

1nelim1 2.71828L

cos1 2！4！同样若ej

sin ！5！ j j j 1

L L2！4！cosje ecos2

sin

3！5！ e e2§1.3重点BUPT

难点信号

信号的平移信号的倒置信号的展缩一般情况f(t)f(t将信号ftt轴平移即得时移信号ft f(f(t1 11 1 t

t1

tf(t)

1f

1)

1f

1)f(t)f(t

f(t f1212 110

ftf

例：已知f(t)ft

ft，画出f2tf

ft2

的波形。210T210210T210 tt010101T2T22时间尺度压缩：tt2,f

f210210T210T/ttt010101T2T22f

f(tf(at)0a1扩展,210T/210T/210210T210

但由于自变量t的系数不同，则达到同样函数值2的时ftfatbfatba设a先展缩：a>1，压缩a倍；a<1，扩展1/a倍加上倒置：fatbfatmba

f(t1 1解1 11 5f(t)1 5

f(t

f(3t

11311301t

141141 4t

110相加和相乘微分和积分sin 3

3sint1sin33

sint1sin33

df

t

f1f122t

fff122ff222Otf2O2 BUPT

101R(t101R(t)

tttR(tt)

tt0

R(tt0 t t 由宗量t-t0=0可知起始点为

t10 t010 t0f(t)

R(t

0tK0 K0

1u(t)1

tt

u(t1010u(tt)

tt0,

t)

0,tt0, 00 t 1,t 00u(tt0 u(tt0101101t0由宗量tt00tmt0即时间为mt0，函数有断点，跳变点 函数值为

f(t

Gf

2

2

sgn(tsgn(t)

,t10 ,t10tsgn(t)u(t)u(t)2u(t)u(t)1[sgn(t)2概念引出RUs

iCuC

CC

u(t)

duc(t uc(t)Us(1

RCic(t)

R

eRCe

t0时 cRctqc(t)t

ic(t

Cuc(t)CUs

teRCe 电荷随RCic(0)Us/C

i

qCUS R

q(t)CU(1etR

RC)Rit RC)R CtC

C UsRCqCtCUSC UsRCt

iuC iC(0) qc(t)R

iCtCUS(t

qCtCUS R★R→0时，icR1

1

p(t) ut ut 2 2

t 面积1；脉宽↓； 脉冲高度↑； t0★幅度0

t(t)limp(t)lim1t

0

u2

2

(tt0o (t)dt

(t)dt

(t)0,t ，

P72---2.9(t)f(t 为了信号分析的需要，人们构造了t函数，它属于广义函数。就时间t而言，t可以当作时域连续信号处理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但也由于t是一个广义函数，它有一些特殊的性质。证明分t0 t讨t0(t)0,f(t)(t)积分结果为

(注意：仅当t0时t t0 fttf0t(注意：仅当t0时 积分为0f(0)(t)dtf(0)0(t)dtf即(tf(t)dtf

，

(t

)f(t)dtf(t00冲激函数发生在t 0由抽样性(tf(t)dtf(t)f(t

()f()df 又Q(t)只在t0故(t(t s(t

11ooo12

ooo1①(t)f(t)dtf(t)f(t

f

f(0

(k)tftdt1kf(k)

(tt)f(t)dt

(t②

t(t)dt

(t)dt0 ③(t)(t)

(t0t)(tt0④ft(t)f0(t)f(0)（f(t)(t)f0t不同证明思路：对等式两边同乘函数t后，两边积分结果相同得证。at1t,证明此式两边相等。a

Oa

aa aa0时,p(t

p(at)1(ta分a>0、a<0两种情况a0,令at(at)f(t)dt()f(/a)d(/a)

f 而

(t)f(t)dta

fa0,令at

t::

(at)f(t)dt ()f aa aa

aa ()faa

aa

f 1而

(t)f(t)dt

fa冲激偶的标度变换at11

(k)at11(k) 012例题例1(5tf(t)d(012

f

f(5- f(52t)2(tf(52tf(5t):

f(5-

00126f(5t)2t34(t

f(-0126f(5tf(0126f(t)f[5(t5)]4(t f(tf(t)f(t)4(t

t 12 R(t)，u(t(t

u(t

10110110求↓ 导↓

0(-<t<0 §1.5 BUPT

为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号分解为一些简单(基本)的信号之和，分解角度 (direct~andEOfA(tEOfA(tOfD(tEOf(t)fA(t)fD(t

fD(t)T

t0

f(tP

f2(t

t0T (t) (t)2dt

2(t)

f2(t 信号的平均功率=信号的直流功率+交流功率(even~andodd

fetfet ef(t)fe(t)fo(t

f(t

ftft

fe(t)1f(t)f(t2fo(t)1f(t)f(t2信号的平均功率=偶分量功率f(tf(tOf(tOfe(tfe(tOfo(tO(pulsefft1f f(t)f(t1)u(tt1)u(tt1111111

1f1

)(t

fft1ft1t1f

ttf(t)f(0)u(t)

df(t1

u(t

将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广，后面的卷积积分中将用到，可利用卷积积分求系统（realand f(t)fr(t)jfi(t

f*(t)f(t)jf(t fr(t)

1f(t)2

*(t

jfi(t)

1f(t)2

*(t(orthogonal将在

BUPT

难点

e1

e2

e2

rte1te21乘法器 rt1

e2注意: A

rt

r(t)Ae(td

trtde(t)t

r(t)

e(tTT

rtetdr(t)

2r(t)

d2e(tdt

3de(t

r(t

1d2e(t)

3de(t)

3e(t)

dr(t dt3 3d2d1d2d

12

r(tdd即时系统( 系统)代数方 常微分方程(t偏微分方程(tx,y

若系统在t0时刻的响应只与t=t0和t<t0时可逆系 若系统在不同的激励信号作用下产生不 确定性信号作用下的 数线性时不变系重点BUPT

难点

etrtketkrte1(t)r1(t)e(t)e(t)

r(t)

(te2(t)

(t

He1(t HHe2 HHH

rtr1 21e1(t)2e2(t)1r1(t)2r2(tf CfHHCf2

1CC2fC2

HCft f

HfHHf2Hf2CHf22H

HCftCftCHftCHft dr(t)10r(t)5e(t ,t dAr(t)10Ar(t)5Ae(t t Adr(t)10r(t)5Ae(t t e1(t)及e2(t)dr1dr2

10r1t510r2t5e2

t t e1(te2(t)(5)、(6)

t t 从电路分析上看从方程看:从输入输出关系看:e(t)r(t

e(tt0)r(tt0HHe(tt0

r(tr(tt0r(tr(t00Te(te(tt00t0r(tt00ffHHffHHffH

Hft则系统H是非时变系统,否则是时变系统.系统1：rtcos t t0e(t时e(tt0

统 (t)cose(tt t e(t过统cose(tr11t

r(tcose(tt

t解2.系统2：rtetcos t0e(t时e(tt0

过统 (t)e(tt)cos t e(t)经统e(tcost

(t)e(t

)cos(t

tr21(t)r22(t

例3yttft判断系统是否为线性非时变系 f CfHHCf2

1CC2f2C2

tCft f HtHtf1C1tf1tf2CCtf222Hf2

C1tf1tC2tf2Hf tH

tftf

tftH可见H

系统 系统 系统t 系统t系统t系统t

(1rtetett (2)rtetett 因果信号t=0e(te(t)u(t

相当于t0

e(t)§1.8BUPT 不仅可以给出系统的响应，还可以描述内部变

iL

离 变换——DFT（不讲离 §2.1BUPT

列写方程,解方程

经典法:卷积积分法:任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法)难点求冲激响应

BUPT

it1

i i 电感iL

tsLts

t

v iCt

iRtiLtiCtiSCd2vt1dvt1vtdiS

这是 e(trt dnr(t

dn1r(t dr(t

L

Cnr(t

dme(tdtm

dm1e(tdtm

LEm

de(t

Eme(t列写方程:根据元件约束,

零输入解方程: 零状态 [P46—例2-4(特解P45例2-3(重根的齐次解)，nn 注意重根情况处理方法。例2- t

例2-r(0)

dr(0)

d2r(0

L

dn1r(0 7d r rtdt3

16 rt12rtet

3721612特征根：12重根,2rhtA1tA2

A3e

d2rt

3r e ett2;2etet分别求两种情况下此1将ett2代入方程右端得到t22t

rptB1t2B2t这里B1B2B3为待定系数。3B1t24B13B2t2B12B23B3t23B1 2B1

3B3联解得到：

1, 2

r

1t

2t 当etet时很明显可选rtBet这里，B是待定系数。Bet2Bet3Betete

B3 于是,特解 e 3nrtni

Aiei

E(常数tet

B(常数BtpBtp1 Bt BeBcostBsint BtpBtp1 Bt DtpDtp1 Dt 给定如图所示电路t0开关S处于1的位置而且已经达当t时S1转向2.建立it电流的微分方程并求解it在t0时的变化。4

iL2SR12SR11CiCet24 3 解2SR11Ci2SR11CiCet2d1dvCt

iLtiL

4

iLL14 3 itCdvti

L it7dit10itd et6L

et

2710

特征根：12,2齐次解：iht

A2e

t0 由于t0

etpp

t

10B4

B16 itA1e

8A2e 85

t0

和di0

i0

0 4

di0R 1 R

043V62SR2SR11CiCet24

iLL14 3 换路后 i0和di0 因而有:

1e0 0146A14R1 R1di01de0dv02 R1

11 iCCet24

SR1

iLL14 3

解(4求it在t0

itAe2tAe

t

A25

di02A5A

A2

it

4e3

2e

8

t0§2 BUPT

难点

系统的初始条件：r(0r(0r(0),Lr(n10uc0,iL0

0状态、初始条件、 u0u0,i 当系统用微分方程表示时，系统的0

tiC(t tu(t)1 1

ic(

uC(t0101Cic()d

00

ic()dt11Ct11

ic(c0u(0)c0C

tt

ic()dC

ic(

令t0,uc )uc )如果ic(t)

ic()d

u((0)uu((0)u((0 0ic()d0

此时u(0u(0

此时u(0

)u(0)如果ic(t)为tC0ic()dC uc(0)uc(0)

Eu(t

ic(t)

i(t) u( L

iL(tiL )iL(0)

L

uL()d0，此时iL

iL(0

iL(0)iL(00 0L

L

uL(t)

diL(td[Iu(t

L LI(t)

iL(0)iL(0)

L

LIs(tiL(0)I配平的原理：t=0时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶举例

rt3rt3tdrt3rt33t3t39 9

r0,求r0

ut表示0到0方程右端含3t方程右端不含

drt中的

在rt中t0时刻有9utut0到

r0r0 r0r0

它一定属于drt设

a

a得 3a

3br0r0b

即r0r04242解:（1）根据给定的et,考虑到et即在t0时刻由2V跳变到4 it7

et6

4e

t0

it7

4A和d

0As用冲激函数匹配法，求i0和di0 由（2）式d

dt2i

cu

t0autia求得b7a

i0i0a

di0di0b因而有 d

2d

2i0

c

2i0

5

145 di02di02A BUPT

外加激励源系统的完全响应可以看 起始状态等效激励

共同作用的结果系统的完全响应=零输入响 “零状态响应(线性系统具有叠加性) 暂态响应： i0A

8由it的表示式

i02A15A23 3求得 A2

e2t e5t

t04

零状态响应r(t)=e(t)

1零输入响应＋零状态响应。(2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零1时，其全响应为r(t2e3tsin2tut；当激励为2e(t1时，其全响应为r2(t)

(1 设零输入响应为rzi(t)，零状态响应为rzs(t)，则 r(t)r(t)r(t)2e3tsin(2t) r(t)r(t)2r(t)[e3t2sin(2t)]u(t

(t)3e3tu(trzs(t)[e3tsin(2tr3(t)rzi(t)rzs(tt03e3tu(t)[e3(tt0)sin(2tr4(t)2rzi(t)0.5rzs(t

)]u(tt 5.5e3t0.5sin2t重点BUPT

难点

系统在单位冲激信号(t)作用下产生的零状态响应，H Hdu(t

iC(tCC u(t)(t

(t

t>0RCduC(t

uC(t)

方程成为齐次方程冲激tt0时转为系统的储能（由uC(0体现），

duC(t)

uC(t) RC1 t

uC(t) RCu(t

t0时的解方法1：uC0，定系数A。

1uC(t)

1e

h(t)

e Chtu(t)C

1e

1iC(t)

duC(t

R2C

1tet

1(tR

1

R

RCduC(t

uC(t)(t

duCtat

RCa1 即a

0

0 C C

把u

代入

t

1t

得A

1e

1t

RC

(t

u(t)(t

uC(t)AeRCu(t

duC(t)A(t)

1e

RC

AeRCu(t)RCA(t)AeRCu(t)(tRCRCA(t)(t 方程右端(tRCduC(t)u(t)(t uct(t)只有ut对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程 dnr(t dt

dn1r(tdt

dr(t

r(t) dme(t

dm1e(tdt

m

e(t

C0hn(t)C1hn1(t) Cn1h1(t)Cnh(tE0m(t)E1m1(t) Em11(t)Em(t(P58，2- 由于t及其导数在t0时都为零，因而式2-38右 h(t) Aetu(tii 当nm时，ht中应包含d2r(t) dr(t)

de(t)

3r(t

解：将 4

3h(t)

d(t)

(t

243011,2n2m1n

带

h(t)(A1etA2e3t)u(t

h(t)1ete3t2d2h(t) dh(t)

d(t)dt

3h(t

(t2

4t

t2h(t)1ete3t2 h01 h'0

Ah0 A1 A2 h'0 1

2 2 h(t)Ae

Ae

h(t)1ete3t

A2e

3A2e

AA(t) t3

3t 1 2

9A2e

A1A2(t)3A1A2(t)0u(t)(t)2(t

A1A21 3A

A2

r(t

u(t

H还有特解项。P60例2-10。HQu(t)

g(t)

h(t阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限

，对因果系统0 令右端只有一项(t)时，冲激响应为

a0h(t

(t左端最高阶微分中含有(t)项，(n-1)

)(

(0),

(0),

, (0方程两端在0ˆn

0ˆn1

0

tdtan10 tdtLa00h(t)dt

含(t)项

h的线性组合h已知系统d2r(t)dt

4dr(t)

3r(t

de(t)

，求h(tˆ(t

将边界条件代入ht

A13A2 A 0

1te

A2 2

h(t)

ˆ(t

2ˆ(tht

1e

3e

u(t)

1e

1e

e3t 1ete3tu(t)方法1：冲激函数匹配法求出0~0跃变值，定系数A。方法3:总结th(t)h(t)不同说明其系§2.６卷积重点BUPT

难点

步长Δτ：矩形脉冲宽度

ftf12f012

fk

fk1fkΔτ)：矩形脉冲高度

03 03

kk(k

1) (t

200个脉冲：f(tf(0)u(tu(t01个脉冲：f1tf()u(tu(t22个脉冲：f2tf(2)u(t2u(t3k个脉冲：fk(t

k)u(tk求和f(t)f(k)utkutk k当Δτ很小时

u(t)u(t)du(t)

Qdu(t)(t f0(t)f

(t f1(t)f()(tf2(t)f(2)(t2fk(t)f(k)(tkf(t)f(k)(tk

f(t)f()(t: f(tt从到f(t) H H(t

f(0)(t)ff()(t)f()h(tf(2)(t2)f(2)h(t2f(k)(tk)f(k)h(tkf(t)f(k)(tkk

f(t)

g(t)f(k)h(tk

k k

g(t)

f()h(t)dfthtft的零状态响应的问题。找出了响应gt与冲激响应h(t)之 g(t) f()h(t)d,(t00i(t已知e(ti(t

u(tu(t2，求i(t

Ritet

R h(t)etu(t3i(t)e()h(t

L

e u(

e(t

)u(t ete2u()u(t)dete2u(2)u(t itete2u()u(t)dete2u(2)u(t

t

0tu(2)u(t

202

t

t

t i(t)

e2du(t t2(e

et)u(t)

e(t1))u(t

波形it2

2et)u(t)2(

2e(t1))u(t21

e2u(t)u(t

1etu(tOt

i(t)

2

et

0t

et

t

对时延

(t)

gt

(t)t倒 时f2(t)f2()f()f(t倒 时 相乘：f1f2t f1().f2(tf(t)

t,

f(t)t

(0tf1f11t10f21t 10

t 33203203203tt

32t32t0tt-1f13t01ttf1f2tgtf1tf2t-1t

1

t

t

ttttg(t)

f1()f2(t2

2

2

t

1tff2t21f1tt0t1tt3 t

即1t g(t)1

1.td1212t t3t31

即2t1

t g(t)

.(t)d2

t11f12ft21tttt 即tgt

f1

f2t

3203t3203

1 1g(t21 1g(t2 124t

1tg(t) t

t

2

由f1f2t0的范围（区间）

f1

f

f2

当f1t或f2t。

et§27BUPT

重点难点 f1(t)f2(t)f2(t)f1(tf1(t)[f2(t)f3(t)]f1(t)f2(t)f1(t)f3(tf(t)f1(t)f2(t)f(t)[f1(t)f2(tf1tf2t

f()f(t 令t则

，dftft

f()f(t

ftftf1(t)[f2(t)f3(t)]f1(t)f2(t)f1(t)f3(tf(tff(tf(th1(tg(tf(t)h1(t)f(t)h2(tf(t)h(t

f(t)h1(tf(t)h2(tf

g(t

hthth f(t)h1(t)h2(t)f(t)[h1(t)h2(tf(t)h(th1(th1(tf(t)h1(t f(t)h1(t)h2(tf(t

g(t

hth(t)h(t g(t)f(t)h(t)f(t)h

g(1)(t)f(t)h(1)(t)f(1)(t)h(tg(n)(t)f(t)h(n)(t)f(n)(t)h(tg(nm)(t)f(n)(t)h(m)(t)f(m)(t)h(n)(t分m

g(t)f(n)(t)h(n)(t

g(t)f()h(t

dg(t

dh(t

df(t f( d

g(t)f(t)h(t)f(t)h(t

f(t)(tt0)f(ttf(tt1)(tt2)f(tt1tf(t)(t)f'(ttf(t)u(t)f(f(t)k(t)fk(tf(t)k(tt0)fk(tt

f(f(t1Ot 1O1tf1012 0tg(f1012 0t 0tt(t(ttf(1)(t

3g(t1301g(t13012t

1t2t当f(t)

f(t)f(t)f(t)f(1)(t

t(1)(t)

sgnsgn(t)(1)(t2(1)(t1(1)(t11OtOt

u(t)2(t)2u(ttt

dsgn(t)dtsgn(t响应h1t,h2t如图(b)所示。求复合系统的冲激响应ht，并画出它的波形。

ff111

3

§31任意信号在完备正交函数系

重点BUPT

难点

2 2nneteii0Hei riH

t

rr He

ni in3 3 V1C1V2Ve1C2V2Ve2C12V24 4v

V1

v

V1V2VC12V2

V2

V1V2即

C125 5一个三矢量Vxiyjzh，必须用三个正交Vxiyj Vezh6 600f1(t),f2(t)f1(t)C12f2(t)fe(t f1(t)C12f2(t

fe(t)f1(t)C12f2(t页 页(能量)最小。误差函数方均值最小时求出相关系数C12325e f2(t)e

1t21

t2

eed

f (t)

f(t)]2

0时的C12

t2

2(t)

f(t)

(t)

f2(t)C

111

f2(t) (Qf(t)不含

f(t)f(t)2f(t)f(t

f2(t

t22f(t)

f2(t)dt1 1

1f(t)f(t1

C12

12t2f2(t12

C12

vv

页99 f2(tt

2 t22

V2

f1(t)t2t2

(t)dtVv

t2

(t)

t t1页 页tVt

2f(t)f(t1 2和 1

Vv

t2

f(t)

f(t

f2(t) t2f2(t)dt v2对应 t2 若C

0此时f1(t),f2(t)称为正交函数it2i

(t

j(t)dt i

t2ii

(t

j(t)dt

i 近三角函数,.fet?f1tt30t0

3

f 3，0t 3 3f(t)

(t

32 2

0 32 f320

(t

3sint

2

f10 f(t)2sin

(0t

3

fe(t1fe(t)f1(t)C12f2(t f1t中已最大限度抽出f2t，已无f2t33 fe(t)f2(t)dt

f3ff1

t

f2t

f3t

fe1t：抽出ftf3t2 f1(t)f2(t)dt nf(t)&C1g1(t)C2g2(t)LCrgr(t) Cngn(t)Crgr(t

ggtgtLgt12rtgm(t)gn(t)dt1Kmmmr 1 t2tf(t)g(trrt2g2r(t tf(t)gr(t页 页(t1t2内，若复变函数集

t2g(t)g*(t 1t2g(t)g*(t)dt

iK

P329(6-1 1用gr(t),(r0,1,2Ln)

f(t)

f(t)g(tr,r

g(t)为

P329(6- t2g(t)g(t 1 2

2(t)

t2[f(t)Cg(t)]21et2t11e

1n 1n

0,L,

0,L,

0可得 f(t)gr(t

f(t)gr(t

1

g2r(t KrC1C2LCn是相互独立的，互不影响，计算时先抽取页页n Cngn(t)Crgr(tg2tLgrtLgnt如果存在函数xt,有g(tx(t)dtt2tr1 r1,2Lgrt页五.能量信号和功率信号--§6.6(一)页页 页

p(t)i2(t

i(t

v(t) W 0

p(t)dt

0

W

P

i(t02

或P

2v2(t02 令R=1，则在整时间域内，实信号f(t)的能量W

22

f2(t

P

lim

2

f2(tTT0 T0 T0W(有限值)0P(有限值)

PW

LfLf(tA1L解：P

f2(t TT2T24

TO TT42A2

Tcos2t4 44

dt222

f1(t)Acost0P

WlimPT2T2

4 4T

f1tf2(t)Au(t1)u(t1)

页A01f2A01W

lim1T1

A2dt2A20WTPlimWTT Tf2t

t

r r f2tdt

CCr

g(t)2

r

r1

见P331式(6-81)

f(t)limCrgr(tn n t 2ee

f2(t)

2

f(t)

Crgr(t

dt

r

1 1

(t)dt2Cr1r1

gr(t)f(t)dt

Cr1r1

gr(t)dt f(t)gr(t

f(t)gr(t)dtCr

(t t 1t

r 2 r 22 2

2(t)dt2Cr

t

2(t)dt

C

2g2(t)dt r

rr f2tdtCrr

C r

r1

函数的对称性 级数的关 级数的系数和频BUPT

级数的关 2 2数形式），讨论周期信号（满足雷条件）3页3页正交函数集cosn1t,sinn1t,n0,1T1 ft,周期为T,基波角频率为T11f(t)a0ancosn1tbnsinn1t

a0

1t0

f(t

2 2

t0T

f(t)cos bn

t0

f(tsin 44 T2 cosn1tsinm1t2

m cosn cosn1tcosm1t

m sinn1tsinm1t

m mcosn1tsinn1t都满足正交函数集基底函数

5页5页f(t)c0cncosn1tn

1bnc0

cn

a2

ancn

bncnsinn

f(t)d

dnsinn1tnd0

dn a2

tg

bnanandnsin bndncosn

n6 6，基波角频率的整数倍）的线性组合。Cn~

an为n1的偶函 ,bn为n1的奇函页 页解：f(t)A T/2tT/

f a0

1

tdt

anT

1

tcosn1tdt

1 1

n1,2,3 2 ft0AsintAsin2t 8 8

n0,1,2L

f(t) 系数利用T f(t)eF(n1) T10

jn1tejn1t

f(t)e0

9 9在区间(t1t2

g(t(r0,1,2L, t2g(t)g*(t 1

i

P329(6-t2g(t)g*t)dt 1 1用gr(t)r0,1,2Ln)

f(t)

f(t)g(tr,r

g(t)为

P329(6- t2g(t)g(t 1 f(t) Fn T1f(t)e

T

区间上的指数信号e页页TF(n) f(t)ejn1T T f(t)cosntdtj f(t)sinnT T 1anjbn2F(n) f(t)cosntdtj f(t)sinn T T 12

jbn

F(n) a2b21n n

tg1

bnn奇偶奇页四.频谱 页 cn~n或F(n1~n

n0 3

已知f(t1

t2costcos2t f(t)1 5cos(t0.15)cos2t1

4c0 0 ~

~n

c1

5

C0

c2 2

f(t)12

页ej1t

j2

j

1 j(21t2

(jn1t) 1

1

j1t

j4ej j4ejf(t)11

1

2j

2j F(n1)ejn1t

1

j

F2

1ejF(0)

2

1

1 j1F1

F2 1 2j 1

F(0)

0 F1

1F1

1F2

2F2

21Fn~1

n~ 21 cn~11C21

~n

1Fn~1

页周期信号f(t)的级数有两种形式页f(t) acosntbsinnt

=c0cncos(n1tn

f(t) F(n1)ejn1t 1收敛性 n,F(n)1ft的谱线唯一页页三角形式： n~单边频指数形式：

~， ~

双边频谱

F(n)=1cn

F0c0 指数形式的幅度谱为偶函数F(n1)F(n1指数形式的相位谱为奇函数页页对于双边频谱，负频率(n1)，只有数学意义，而无 与ejn1tft页页LL例如：T(t(tLL(n为整数）的级T2

TtFn11TFn11TL1Fn tejn1tdt1T

L1ef(t)T(t) nT(t的频谱，有离散性，谐波性分析：狄氏条件是级数存在的充分条件。根据页页对称于坐标原点,ftft

页Lf(tL 1T

f(t)dt= 2 2an

2TT f(t)cosTT2

tdtTT 2 f(t)sinntdt4 f(t)sinntdtTT F(n)1ajb1jb 对称于坐标纵轴，ftft

页f(tbn

an f(t)cosn1tdt200FF(n)1ajb1 a0不一定为0，傅F(n1)ft

f(t ftf

TLTLLTL0T22波形移动T2ft的付氏级数偶次谐波为零，即TT

anbnT 4T

f(t)cosn

4

f(t)sinn T

T f(tLLf(tLL0 1T1页f

ftT1 2

2原波形移动T1与原波形重合，称为偶谐函数。2ft的付氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量

anbn f(t)cos

T T1 2f(t)sinn1 页证明对于三角形式的级页f(t)a0ancosn1tbnsinn1t

2

T T

T

ancosn1tbnsinn1t 1 1

a2

a2

cn20n0 n 20n0

2

T22PT22

f2(t)dt

F0

页页 体体现;表明： Fn2~Fn

周期信号的截尾函数fTt推出功率信号的功率密度 条件1:页页t0

f(t)dt ftejn1tdt fn

T

T1

ftdt T页页ft10t1，周期为1，tf 1 页ftsin20t 1LL1LL01t1 1

页f112 重点BUPT

难点

2 2

3页3f(f(tLLT1/2/t4 4ff(tLLT1/2/tQftbn0,只有a05 jn1 5

F(n1)

2

f(t

1t2= EejntdtE ejnt2 TTTT

2 ejn1jn1T1

ejn12T T

Esin

sinn1

n1E

Sa Fn

Sa 11

12

当n1

1

其最大值在n0))

）F(n1)是复函数（此处为实函数），幅度Fn00，Fn0相位为页 页ft的脉冲高度E不变，脉冲宽度1s T1 1s T1 1s T 1

1

Q 2 T1 T1FnESan

F(n1T1 12 T1

5 5 谱线在

n0 n 12

，即n1

n40405，即五次谐波 1 1

2 11 11

Fn

n

1

0

谱线在1的整数倍上，n1n0时，幅度为 2 一个零点内谱线数n404010，即10次谐波为0 1

T

2 3.

1

页FnESanE0

20谱线在1的整数倍上，n1n0时，幅度为 2 40 一个零点内谱线数n

4020，即20次谐波为0

页幅度T 谱线间隔 11当T，时，

矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点：对比波形T1 1 页 页E5 E0E0页三.频带宽 页

1页 页T1PT1

f2(t)dtn

Fn2以1 1s为例，取前5次谐 0F 11

F22

2

111F21111

F221

F321

F421

f2(t)dt0.2E

0.181E

2或

页页 BUPT

页. 页引出T1f(t)：周期信 谱系数F(n1

T1

f(t

1t 再用Fn1表示频谱就不合适了，虽然各

jnT

f(t

1

当T1

1

f

0,F

)

f

F

11T

j f(t

12 2

4 4

f(t)ejtdtFf(t

5页511

f(t)

F(n)ejn1tnf(t)

F(n1

1

F(nn

11 1d,

F(n ft1

6 6

f(t)ejtdtFf(tf(t)

12

jtd

1f(t ft F 页 页FFejRjX 虚f(t)

fet

fot

f(t)f(t)costj

fe(t)costdt fo(t) 实 虚 R2f(tcos 关于 0 X2f(t)sin 0 tg1XR

关于的奇函数关于关于ft偶

ft奇

（P123§3.7 9页 9页f(t)

1

1

1

j

1

FFft

页0求 振 正弦信 0

Fd)f(t)

1

jtd

Fd

j

(1 :页 页

当引入函数的概念后

§3 BUPT f

j

ejt E2E2

j

j

sin .

2 E 22

200

n0,1,2,L

FF224 22024 Eeft

t t

fE

Eej0

E2F000

22用定义求Ff(t)E,用定义求FffEf1EOt

EejtFFejtE

j Elim

Elim2 lim

1O

f(t)sgnt t

t

e11ftsgntet，求F11

0e

j

dt

j

F

2

2

mj

j 2 OO2O1

/ /

§3.6冲激函数和阶跃函数 变换BUPT f

1

F t看作1的矩形脉冲，0时B 而u(t)不满足绝对可积fFfF1 F1fF1f Qfttdtf tj 120120

ut11sgnt101021 02

1sgnt

F00000§3

BUPT 22页 若f(tF(

则Ft2f则Ft2f

页33 t1

页44已知F[sgn(t)] 2则2 ))即1t

j若f1(tF1(

页55则c1f1(tc2f2tc1F1(c2F2(ut11sgntF 6页6页在§3.4的 若f(tF()，则f(tF(

Ff(t

f(t)ejtdtF(Ff(t

f(t)ejtdt

f(u)ejuduF(若若f(tF()，则f(tF(7页7页

f(t)ejtdt

ftcostdtj

f

关于关于关于关于

FF

页8f(tF()，则f(tjF(8若f(t)F( 则tf(t)jdFjtf(t)dFjt或

f(t

dnFtnf(t)jnFn9页19页

f(tF()，则f(tjF(一般情况下f(ntj)nF(

若已知F

n(t则

相位增加,jFf(t)jF相位增加,jf(t)

12

页

12

f(t)F()jjF(即Ff(t)jF( ffEoE2F4o4 三角形函数求导

页ffEof2Eot求导

f

Ff

t

2Et

2 2Eej24E2Eej

j2F2F

2Eej24E2Eej2 2Eej

2ej2 22Eej2

ej

2E2j

8E 2

2

4 2utF 直流 2余下部分f(t)u(t1

(微分ftt1),f(t

1f11f112

11 页页若f(t)F( 则tf(t)jdFjtf(t)dFjt或

f(t

dnFtnf(t)jnFn jdF2Fd

页解：tntn页t1

dtt1j

Kn

dnF

1

页页若f(tF(则fat1Fa证明意

a(1)0<a<1a>1时域压缩，频域扩展a

说明说明a

ftft,FF说明

页当a0，令x

j

Ffat当a0，令xa

a

f

adx

j

j

Ff

f

adx

f

dxaF

a

Ffat1F aFF2 fEotfEot

fft2Eo2Fo ffEo1F222o 持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则 a

ftft,FFF*F()R()jX( R()jX()F*若f(tF(若F(F(ej(

页则f(tt0F()ejt0j()t则f(tt0)F() 0相移t0左

页f1

f1t,如图 t1t由对称关系求F1

f11 f(t)f1(t

ott得F(F1(

f1 F1

1 11 F1

2f1

f1 F1 t

且由图(b)可得

t ) f)1所以由对称性，11 f2 1

页页|F() (1100

页若f(tF(

a a

a证明仿

aa证明

f(atb)e 当a0时设atbx,则txbdt1a a

jf(f(a

jb

eadxF eadxF

a当a0时设

atbx,则txbdt1ejt

j

xebbja jja

1F1

f(

a

dx

a

f(

j

a a

f(

dx F aaa 已知ftFESa，求f2t2Qa

f2t1F

2

4

jQb5，对t时移（向右）f2t5

2

4对t时移（向右）：

t5

Sa

ej 2

j5 压缩2：f2t5

e 4页页

f(t)F(f(t)e 则f(t

0为常数，注意

j0t

f(t)ej0tdtF0O

F

页0时域f(t)乘ej0t频域频谱搬移——右移时域f(t)乘ej0t频域频谱搬移——左移页页 页

t fdFtt t

F()1

页单位阶跃的无限积分 页 f

j，，

f

先t后

j

对积分变量而言

1

eje

j

1

续

j

1

页 j

F1j1

1jF1F

tt

1

t u(t)(t (t)则u(t)

G

G(t)Sa2 22

2

F00§3.8卷积特性（卷积定理BUPT

系，是通信系统和信号处理研究领域中应用最 ftF

ftF f1tf2tF1F2 f1tF1,f2tF2 f1tf2t1F1F22 各频谱函数卷积 12倍ftf

fft Fftft

jj f FftftFF 求

tQt

fd

fttt

1

ffgtft GFHgtF已知f(tESaftftft

2 F

Sa2 2f1(tEf1(tE2 2 4FF22Ef1tf1Ot

f(t fC(t)f(t)cosC

fC(t)CmF()CmfC(t)f(t)cosC

fO

AFcosAFcostC

FCA2A21F(C)F(FCA2A21Ot

OCmCC f(t

fC(t)f(t)cosC

cosCfC(t)2

f(t

ejCt

2

)F(C

t1ejCt1ejCC C

Fcost2

1F(2

)1F(C)fC(tgtfCfC(t2

f(t1g(t)f(t)cos2Ct12

G()1F()1F(2)1F(2

mA2

C

C

AA2A4C0mC同步解调要求在接收端必须具有与发送端严格同步“抑制载波振幅调制”可以省去本地载波，但要提高发

(frequencydivisionfacosfacosafbcosbyaybt fccoscycbcbcaF(a

F(

F(0 0000

fcfcaga

fbfbcba0abc

gtftcos2 1ft1cos2t 1ft1ftcos2 G1F1F2F2 §3. 如何由FFn1 单位冲激序列的FBUPT 2 2f 级数Fn 1f 变换F

统一的分析方法变非周期3 3 由cos0t

1ej0tej0t2sin0t

12j

j0tej0t

1ej01ej0

F cost()F cos0t频谱图2o2o

页4 4sin0t频谱图

F

5页5页02 散谱,在0处频谱密度为6 6 FnTTFFf

f

1 jnt

FnFFn1

1 1 1

7页7位置

谐波频率 频率范围无限小,幅度为页 页f0 fT

设f0tTT T

2TTF