文科高等数学(4.中值定理)

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐文科高等数学(4.中值定理)第四章中值定理与导数的应用

§4.1中值定理

一、罗尔定理

费马引理

设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在x0处可导,假如对随意x∈U(x0),有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),那么f'(x0)=0.

罗尔定理假如函数y=f(x)在闭区间[a,b]上延续,在开区间(a,b)内可导,且有f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少在一点ξ,使得f'(ξ)=0.

简要证实:(1)假如f(x)是常函数,则f'(x)≡0,定理的结论明显成立.

(2)假如f(x)不是常函数,则f(x)在(a,b)内至少有一个最大值点或最小值点,不妨设有一最大值点ξ∈(a,b).于是

0)

()(lim

)()(≥--='='-

→-ξξξξξ

xfxfffx,0)()(lim

)()(≤--='='+

→+ξ

ξξξξ

xfxfffx,

所以f'(x)=0.

罗尔定理的几何意义:

二、拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理假如函数f(x)在闭区间[a,b]上延续,在开区间(a,b)内可导,那么在(a,b)内至少有一点ξ(a0或?x0)或[x+?x,x](?x0时,

xxx

x

0)(∞

∞

型),xxnxlnlim0+→(n>0)(0?∞型),

)tan(seclim2

xxx-→

π(∞-∞型),x

xx0

lim

+→(00

型),xxx

)11(lim+∞→(1∞型),21

2

2)(limxxax+∞→(∞0型).

定理假如函数f(x)及g(x)满足如下条件:

(1)当x→a时,函数f(x)及g(x)都趋于零;(2)在点a的某去心邻域内可导g'(x)≠0;

(3))

()(lim

xgxfa

x''→存在(或为无穷大);

那么)()(lim

xgxfa

x→)

()(lim

xgxfa

x''=→.

这种在一定条件下通过分子分母别求导数再求极限来确定未定式的值的办法称为洛必达法则.

证实:由于极限)

()(lim

xgxfa

x→与f(a)及g(a)无关,所以可以假定f(a)=g(a)=0,于是由条件(1)、(2)

知,f(x)及g(x)在点a的某一邻域内是延续的.设x是这邻域内的一点,那么在以x及a为端点的区间上,柯西中值定理的条件均满足,因此有

)

()

()()()()()()(ξξgfagxgafxfxgxf''=

--=(ξ在x与a之间).

令x→a,并对上式两端求极限,注重到x→a时ξ→a,再按照条件(3)便得要证实的结论.简要证实:令f(a)=g(a)=0,于是f(x)及g(x)在点a的某邻域内延续.在该邻域内有)()(lim)()()()(lim)()(lim

ξξgfagxgafxfxgxfaxaxa

x''=--=→→→)

()(limξξξgfa''=→)()

(lim

xgxfax''=→.

令x→a,并对上式两端求极限,注重到x→a时ξ→a,再按照条件(3)便得要证实的结论.

求“0

0”型未定式的极限:

例1.．求bx

ax

xsinsinlim

0→(b≠0).

解:b

a

bxbaxabxaxbxaxxxx=='

'=→→→coscoslim)(sin)(sinlimsinsinlim0

.

例2．求1

2

3lim

2331+--+-→xxxxxx.

解:)1()23(lim

12

3lim2

331

2331

'

+--'+-=+--+-→→xxxxxxxxxxxx2

3

266lim12333lim1221=-==→→xxxxxxx.

例3.求3

sinlim

xx

xx-→.解:3

sinlimx

xxx-→203cos1limx

xx-=→x

xx6sinlim0

→=6

1

=.我们指出,对于x→∞时的未定式

00,以及对于x→a或x→∞时的未定式∞∞

也有相应的洛必达法则.例如,对于x→∞时的未定式0

0有:假如(1)当x→∞时,函数f(x)及g(x)都趋于零;

(2)当|x|>N时f'(x)及g'(x)都存在且g'(x)≠0;(3))()

(limxgxfx''∞

→存在(或为无穷大);那么)()(lim

xgxfx∞

→)()

(lim

xgxfx''=∞

→.例4.求x

xx1arctan2

lim

-+∞

→π

.

解:x

xx1arctan2

lim-+∞

→π

2

2111

lim

xxx-+-

=+∞

→11lim22=+=+∞→xxx.

2、求“∞

∞”型未定式的极限.

例5.求nxx

x

lnlim+∞

→(n>0).

解:nxxxlnlim+∞→1

1

lim-+∞→=nxnxx01lim==+∞→nxnx.例6.求xn

xe

xλ+∞

→lim(n为正整数,λ>0).

解:xnxe

xλ+∞

→limxnxe

nxλλ1

lim-+∞

→=x

nxe

xnnλλ22)1(lim-+∞

→-==???0!

lim==+∞

→xnxe

nλλ.

其它类型未定式0?∞、∞-∞、00、1∞、∞0

都可以转化为00

或∞

∞型未定式来计算.例7.求xxnxlnlim0

+→(n>0).

解:

xxnxlnlim0+→nxxx-+→=lnlim0101

lim--+→-=nxnxx0lim0=-=+→n

xnx.

例9.求)tan(seclim2

xxx-→

π

.

解:)tan(seclim2

xxx-→

π

x

xxcossin1lim2

-=→

π

0sincoslim2

=-=→

x

xxπ

.

例8.求xxx0

lim+→.

解:xxx0

lim+→1lim0ln0

===+→eexxx(按照例7).

洛必达法则是求未定式的一种有效办法,但最好能与其它求极限的办法结合使用.例如能化简时应尽可能先化简,可以应用等价无穷小替代或重要极限时,应尽可能应用,这样可以使运算简捷.

例10.求x

xx

xxsintanlim2

-→.解:x

xxxxsintanlim20

-→30

tanlimx

xxx-=→2

20

31seclim

x

xx-=→xxxx6tansec2lim20

→=3

1

tanseclim3120=?=→xxxx.

最后,我们指出,本节定理给出的是求未定式的一种办法.当定理条件满足时,所求的极限固然存在（或为∞）,但定理条件不满足时,所求极限却不一定不存在.

例11.求x

x

xxsinlim++∞

→.

解:由于极限)()sin(lim

'

'++∞

→xxxx1cos1limx

x+=+∞→不存在,

所以不能用洛必达法则.

x

x

xxsinlim

++∞

→1)sin1(lim=+=+∞

→x

xx.求极限的办法小结:

（1）单调有界序列必有极限;（2）用夹逼定理;

（3）用极限运算法则（4）用函数的延续性;（5）用两个重要极限;

（6）无穷小乘有界函数仍是无穷小;（7）用洛必达法则;

补充例题:例11求极限0

lim

→xx

ba

x

x

-(a>0,b>0).

解0

lim

→xx

bax

x

-=0

lim

→x)()('

'-xbax

x

=0

lim

→x1

lnlnb

baax

x-=lna-lnb=ln

b

a.

例120

lim

→xx

x

xx3

sin

cossin-=0

lim

→x3

cossinx

x

xx-=0

lim

→x)()cos(sin3

'

'

-xxxx

=0

lim

→x2

3sincoscosx

x

xxx+-=3

10

lim

→xx

xsin=

3

1.

例132

lim

π

→

xx

tgtgx3=2

lim

π

→

x)3()('

'xtgtgx=2

lim

π

→

xx

x

3cos3cos1

2

2

=312

limπ→xx

x22

cos3cos=

3

12

lim

π

→

xx

xx

xsincos23sin3cos6--

=2

lim

π

→

xx

x2sin6sin=2

lim

π

→

xx

x2cos26cos6=3.

例14求极限∞

→xlimxln??

?

??-+axax(a≠0).

解∞→xlimxln?????-+axax=∞→xlimxaxax1ln?????-+=∞→xlim2

111x

a

xax+=2a∞→xlim222

axx-=2a.例15+∞→xlimx

x1

=+∞

→xlimx

xe

ln1,

其中+∞

→xlim

x

1lnx=+∞

→xlim

x

xln=+∞

→xlim

1

1

x

=0,于是+∞

→xlimxx1

=+∞

→xlimx

x

eln1

=e0

=1.

例161

lim→x(

x

ln1-

11-x)=1

lim

→xx

xxxln)1(ln1=1

lim

→xx

xxx

1ln1

1--

-

=1lim→x1

ln1-+-xxxx=1

lim

→x1

1ln1

-+x=

2

1.

求下列极限:（1）+∞

→xlimx(xe1

-1).(2)0

lim

→xx

xxsin1sin

2

.

（3）+∞

→xlim

x

x

xxe

eee--+-.

§4.3函数单调性与曲线的高低性

一、函数单调性的判定法

假如函数y=f(x)在[a,b]上单调增强（单调削减）,那么它的图形是一条沿x轴正向升高（下降）的曲线.这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）,即y'=f'(x)≥0(y'=f'(x)≤0).由此可见,函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.反过来,能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？

定理1(函数单调性的判定法)设函数y=f(x)在[a,b]上延续,在(a,b)内可导.(1)假如在(a,b)内f'(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增强;

(2)假如在(a,b)内f'(x)0,因此,假如在(a,b)内导数f'(x)保持正号,即f'(x)>0,那么也有f'(ξ)>0.于是

f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)>0,

即f(x1)0,

所以由判定法可知函数y=x-cosx在[0,2π]上的单调增强.

例2研究函数y=ex

-x-1的单调性.（没指明在什么区间怎么办？)

解y'=ex

-1.

函数y=ex-x-1的定义域为(-∞,+∞).由于在(-∞,0)内y'0,所以函数y=ex-x-1在[0,+∞)上单调增强.例3.研究函数32xy=的单调性.解:函数的定义域为(-∞,+∞).当初,函数的导数为

332x

y='(x≠0),函数在x=0处不行导.

当x=0时,函数的导数不存在.

由于x0时,y'>0,所以函数在[0,+∞)上单调增强.

假如函数在定义区间上延续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且延续,那么只要用方程f'(x)=0的根及导数不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,就能保证f'(x)在各个部分区间内保持固定的符号,因而函数f(x)在每个部分区间上单调.

例4.确定函数f(x)=2x3-9x2

+12x-3的单调区间.解这个函数的定义域为:(-∞,+∞).

函数的导数为:f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).导数为零的点有两个:x1=1、x2=2.列表分析:

函数f(x)在区间(-∞,1]和[2,+∞)内单调增强,在区间[1,2]上单调削减.

例5.研究函数y=x3

的单调性.解函数的定义域为:(-∞,+∞).

函数的导数为:y'=3x2.除当x=0时,y'=0外,在其余各点处均有y'>0.因此函数

y=x3

在区间(-∞,0]及[0,+∞)内都是单调增强的.从而在囫囵定义域:(-∞,+∞)内是单调增强的.在x=0处曲线有一水平切线.

普通地,假如f'(x)在某区间内的有限个点处为零,在其余各点处均为正（或负）时,那么f(x)在该区间上照旧是单调增强（或单调削减）的.

例6.证实:当x>1时,x

x132->.

证实:令)1

3(2)(x

xxf--=,则

)1(111)(22-=-='xxx

x

x

xf.

由于当x>1时,f'(x)>0,因此f(x)在[1,+∞)上f(x)单调增强,从而当x>1时,f(x)>f(1).因为f(1)=0,故f(x)>f(1)=0,即

0)1

3(2>--x

x,

也就是x

x1

32->(x>1).

二、曲线的高低与拐点

高低性的概念:

定义设f(x)在区间I上延续,假如对I上随意两点x1,x2,恒有

2

)

()()2

(212

1xfxfxxf+

+,

那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧).

定义'设函数y=f(x)在区间I上延续,假如函数的曲线位于其上随意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；假如函数的曲线位于其上随意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的.高低性的判定:

定理设f(x)在[a,b]上延续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么(1)若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;(2)若在(a,b)内f''(x)--''=xxfξξξ,21ξξξ+,所以f(x)在[a,b]上的图形是凹的.

拐点:延续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.确定曲线y=f(x)的高低区间和拐点的步骤:(1)确定函数y=f(x)的定义域;

(2)求出在二阶导数f`''(x);

(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点;(4)推断或列表推断,确定出曲线高低区间和拐点;注:按照详细状况（1）（3）步有时省略.例1.推断曲线y=lnx的高低性.解:x

y1=',21x

y-=''.

由于在函数y=lnx的定义域(0,+∞)内,y''0时,y''>0,所以曲线在[0,+∞)内为凹的.例3.求曲线y=2x3+3x2-2x+14的拐点.解:y=6x2

+6x-12,)2

1(12612+=+=''xxy.

令y''=0,得2

1-=x.

由于当21-x时,y''>0,所以点(21

-

,2

120)是曲线的拐点.例4.求曲线y=3x4-4x3+1的拐点及凹、凸的区间.解:(1)函数y=3x4

-4x3

+1的定义域为(-∞,+∞);

(2)231212xxy-=',)3

2

(3624362-=-=''xxxxy;

(3)解方程y''=0,得01=x,3

2

2=x;

(4)列表推断:

在区间(-∞,0]和[2/3,+∞)上曲线是凹的,在区间[0,2/3]上曲线是凸的.点(0,1)和(2/3,11/27)是曲线的拐点.

例5问曲线y=x4

是否有拐点？解y'=4x3,y''=12x2.

当x≠0时,y''>0,在区间(-∞,+∞)内曲线是凹的,因此曲线无拐点.

例6.求曲线3xy=的拐点.解(1)函数的定义域为(-∞,+∞);(2)3

2

31xy=

',3

2

92xxy-

='';

(3)无二阶导数为零的点,二阶导数不存在的点为x=0;

(4)推断:当x0;当x>0时,y''f(x0),则称f(x0)是函数f(x)的一个微小值.

设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,假如在去心邻域U(x0)内有f(x)f(x0)),

则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或微小值).

函数的极大值与微小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点.

函数的极大值和微小值概念是局部性的.假如f(x0)是函数f(x)的一个极大值,那只是就x0附近的一个局部范围来说,f(x0)是f(x)的一个最大值;假如就f(x)的囫囵定义域来说,f(x0)不一定是最大值.关于微小值也类似.

极值与水平切线的关系:在函数取得极值处,曲线上的切线是水平的.但曲线上有水平切线的地方,函数不一定取得极值.

定理1(须要条件)设函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值,那么这函数在x0处的导数为零,即f'(x0)=0.

证为确定起见,假定f(x0)是极大值(微小值的情形可类似地证实).按照极大值的定义,在x0的某个去心邻域内,对于任何点x,f(x)--xxxfxf,

因此f'(x0)0

)

()(lim0

00

≥--=-

→xxxfxfxx;

当x>x0时

0)()(0

00,在x0的某一右邻域内f'(x)0,那么函数f(x)在x0处取得微小值;

(3)假如在x0的某一邻域内f'(x)不转变符号,那么函数f(x)在x0处没有极值.

定理２'(第一种充分条件)设函数f(x)在含x0的区间(a,b)内延续,在(a,x0)及(x0,b)内可导.(1)假如在(a,x0)内f'(x)>0,在(x0,b)内f'(x)0,那么函数f(x)在x0处取得微小值;(3)假如在(a,x0)及(x0,b)内f'(x)的符号相同,那么函数f(x)在x0处没有极值.

定理2''(第一充分条件)设函数f(x)在x0延续,且在x0的某去心邻域(x0-δ,x0)?(x0,x0+δ)内可导.

(1)假如在(x0-δ,x0)内f'(x)>0,在(x0,x0+δ)内f'(x)0,那么函数f(x)在x0处取得微小值;(3)假如在(x0-δ,x0)及(x0,x0+δ)内f'(x)的符号相同,那么函数f(x)在x0处没有极值.

定理2也可容易地这样说:当x在x0的邻近渐增地经过x0时,假如f'(x)的符号由负变正,那么f(x)在x0处取得极大值;假如f'(x)的符号由正变负,那么f(x)在x0处取得微小值;假如f'(x)的符号并不转变,那么f(x)在x0处没有极值(注:定理的讲述与教材有所不同).确定极值点和极值的步骤:(1)求出导数f'(x);

(2)求出f(x)的所有驻点和不行导点;

(3)列表推断(考察f'(x)的符号在每个驻点和不行导点的左右邻近的状况,以便确定该点是否是极值点,假如是极值点,还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是微小值);(4)确定出函数的全部极值点和极值.

例1求函数32)1()4()(+-=xxxf的极值.

解(1)f(x)在(-∞,+∞)内延续,除x=-1外到处可导,且3

1

3)1(5)(+-=

'xxxf;

(2)令f'(x)=0,得驻点x=1;x=-1为f(x)的不行导点;(3)列表推断

(4)极大值为f(-1)=0,微小值为343)1(-=f.

定理3(其次种充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f'(x0)=0,f''(x0)≠0,那么

(1)当f''(x0)0时,函数f(x)在x0处取得微小值;

证实在情形(1),因为f''(x0)0;当x-x0>0即x>x0时,f'(x)0;当x>x0时,f'(x)0时f'(x)>0,所以f(0)为微小值.

g'(x)=3x2

,g'(0)=0;g''(x)=6x,g''(0)=0.但g(0)不是极值．例2求函数f(x)=(x2

-1)3

+1的极值.解(1)f'(x)=6x(x2

-1)2.

(2)令f'(x)=0,求得驻点x1=-1,x2=0,x3=1.

(3)f''(x)=6(x2-1)(5x2-1).

(4)因f''(0)=6>0,所以f(x)在x=0处取得微小值,微小值为f(0)=0.

(5)因f''(-1)=f''(1)=0,用定理3无法判别.由于在-1的左右邻域内f'(x)<0,所以f(x)在-1处没有极值;同理,f(x)在1处也没有极值.

二、最大值最小值问题

在工农业生产、工程技术及科学试验中,经常会碰到这样一类问题:在一定条件下,怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题,这类问题在数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.

极值与最值的关系:

设函数f(x)在闭区间[a,b]上延续,则函数的最大值和最小值一定存在.函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得,假如最大值不在区间的端点取得,则必在开区间(a,b)内取得,在这种状况下,最大值一定是函数的极大值.因此,函数在闭区间[a,b]上的最大值一定是函数的全部极大值和函数在区间端点的函数值中最大者.同理,函数在闭区间[a,b]上的最小值一定是函数的全部微小值和函数在区间端点的函数值中最小者.

最大值和最小值的求法:

设f(x)在(a,b)内的驻点和不行导点(它们是可能的极值点)为x1,x2,???,xn,则比较

f(a),f(x1),???,f(xn),f(b)

的大小,其中最大的便是函数f(x)在[a,b]上的最大值,最小的便是函数f(x)在[a,b]上的最小值.例3求函数f(x)=|x2-3x+2|在[-3,4]上的最大值与最小值.解??

?∈-+-?-∈+-=)2,1(23]

4,2[]1,3[23)(22xxxxxxxf,

??

?∈+-?-∈-=')

2,1(32)

4,2()1,3(32)(xxxxxf

在(-3,4)内,f(x)的驻点为23

=

x;不行导点为x=1和x=2.因为f(-3)=20,f(1)=0,4

1

)2

3(=f,f(2)=0,f(4)=6,比较可得f(x)在x=-3处取得它在[-3,4]上的最

大值20,在x=1和x=2处取它在[-3,4]上的最小值0.

例4工厂铁路线上AB段的距离为100km.工厂C距A处为20km,AC垂直于AB.为了运输需要,要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条马路.已知铁路每公里货运的运费与马路上每公里货运的运费之比3:5.为了使货物从供给站B运到工厂C的运费最省,问D点应选在何处？

解设AD=x(km),则DB=100-x,2220xCD+=2400x+=.

设从B点到C点需要的总运费为y,那么y=5k?CD+3k?DB(k是某个正数),即24005xky+=+3k(100-x)(0≤x≤100).

现在,问题就归结为:x在[0,100]内取何值时目标函数y的值最小.先求y对x的导数:)34005(

2

-+='xxky.2

400x

CD+=

解方程y'=0,得x=15(km).

因为y|x=0=400k,y|x=15=380k,2

1005

11500|+

==kyx,其中以y|x=15=380k为