模拟退火算法在贷款组合优化决策中的应用

模拟退火算法在贷款组合优化决策中的应用刘则毅刘灿（天津大学数学系，天津300072）摘要针对贷款组合优化决策模型的求解问题，本文提出了一种改进的模拟退火算法。数值计算的结果表明，该算法具有很强的适用性。关键词贷款组合模拟退火全局优化随机搜索1引言风险贷款组合配给决策，是在综合考虑贷款收益和风险的前提下，从众多的贷款对象中选择一组合适的贷款对象的过程。文献[1]中建立了基于单位风险收益最大原则的贷款组合优化决策模型。该问题的求解过程在规模较小时是简单易行的，但随着问题规模的增大，其计算量随之呈指数型增长。因此，需要设计出一种兼顾解的质量以及运行时间的较好算法。模拟退火算法是80年代初期发展起来的一种求解大规模组合优化问题的随机性方法。它以优化问题的求解与物理系统退火过程的相似性为基础，利用Metropolis算法并适当的控制温度的下降过程实现模拟退火，从而达到求解全局优化问题的目的。它具有描述简单、使用灵活、运用广泛、运行效率高和较少受初始条件限制等优点。模拟退火算法在搜索策略上与传统的随机搜索方法不同，它不仅引入了适当的随机因素，而且还引入了物理系统退火过程的自然机理。这种自然机理的引入使模拟退火算法在迭代过程中不仅接受使目标函数值变“好”的试探点，而且还能够以一定的概率接受使目标函数值变“差”的试探点，接受概率随着温度的下降逐渐减小。模拟退火算法的这种搜索策略有利于避免搜索过程因陷入局部最优解而无法自拔的弊端，有利于提高求得全局最优解的可靠性。本文提出了一种求解上述模型的改进模拟退火算法，数据结果表明该算法计算效率高，稳定性好。2模型本模型的建立基于以下三个原则：（1）单位风险收益最大原则通过计算组合投资的平均收益与组合风险之比来判断组合方案的优劣，比值大的组合方案代表其单位风险所获得的收益也大。描（2）贷款秘剩余资源最烟少原则傅傲如果仅依据观单位风险收太益最大原则干来决策，就邀可能出现只范有很少几个检项目被选中叉的情况，这据样会造成分默配后的剩余很资金过多。警因此，在贷岩款组合优化秋决策中，应滔在每笔单项参贷款可行的牺基础上，增佛加一个最低丝贷款额度荣L闻b次的约束条件争，以使剩余校资金处于银她行可以接受瞒的水平。邮（3）可比溜性原则眼糖贷款项目的岗使用年限或百寿命不尽相极同，若采用裤净现值（味NPV怎）作为评价料指标，则不柴具有可比性青。为使评价可指标具有可签比性，应采伙用总净现值筑进行评价。计设振σ互为贷款组合长的标准差，卧用来衡量贷摩款组合的总揭风险；露m蛇为申请贷款学企业的个数枣；俗TNPV抄i风刺，区TNPV磁j暑分别为第剧i两个企业和第齐j岗个企业新建赖项目的总净惧现值；坑X漠i窄=1顾为虹0-1壁变量，鲁X毁i项=0闯为第调i胸个贷款企业艰未被选中，达X鞭i迹=1禾为第底i杰个贷款企业山被选中；陵cov搭（真TNPV洗i华斯·惑X捕i迟顶，丰TNPV鸽j防·砖X冲j英）为第峡i勤个项目总净底现值与第分j隶个项目总净尸现值的斜方役差，即二者喊的组合风险株；当待X赌i啦=0帜时，第融i垒个贷款企业如项目未被选篮中，其与第示j拒个贷款企业郊项目的协方杆差为同0荒。则贷款组暗合的总风险匹为卷σ赤=[阳cov疏（肆TNPV扮i另尘·蜡X语i堆鉴，匪TNPV诊j赌·渐X怪j锦）愤]尚刺=[孙X初i做X充j柔·检cov鲁（虹TNPV岛i注语，演TNPV遵j倾）沟]犹贷款组合的视总效益为暴TNPV=浇刘TNPV搂i猛·台X欠i每枝根据上述原雹则，设熊W雾为贷款的单毒位风险收益辛，则决策模脏型目标函数禽为劣max扛W=TNP歌V/棋σ射。障设检L涝为银行贷款达总额，场L戴i春为垮i蚀第个企业新恳建项目所需饥贷款额，吊L栗a修为银行中长跳期贷款的可微用头寸，隔L约b罗为银行中长地期贷款组合色的最低配给淋额。根据上奥述原则，资炸金约束为破L沾b才≤车L摧≤根L犁a朋泥，是隐L义=生L典i学X换i询综合上述内殿容，可得到痒贷款风险组孤合优化决策扯模型如下：越objm墨ax衔W=TNP爆V/洁σ滋s.t.巩L遣i阴X淹i嘱≤驼L嚷a崭截L备i历X珍i哪≥婶L急b终妈四炎再湖母丈（患Ⅰ眠）其中邮TNPV=朽席TNPV话i介钞·雄X遭i其σ范=[泉X哭i套X乐j索·桶cov炊（访TNPV硬i累奖，旅TNPV茶j毛）绪]焰X蚕i沫={给忘i如=1违～绞m茄3改进靠的模拟退火钞算法馆上述组合优爷化问题属于倍NP允完全问题，谱该问题的求贯解需要问题愉规模的指数导阶时间。当介有m个企业阅申请贷款时乖，即问题规已模为m时有骑2右m逆个解（含不覆可行解），芬找出最优解浅需要进行2粉m搜-1次比较救运算。用运夺算能力为1极Mflop巾s(写每秒一百万抢次浮点运算法)的计算机登进行求解，谢在m=10胡时只需1惭ms友，而当m稀=60筹时，需用3饿66世纪！如因此，需要德找出兼顾解貌的质量以及降运算时间的摇较好算法。笼模拟退火算丢法是一种解没大规模组合青优化问题，丝特别是傲NP铸完全问题的苗有效近似算瓦法。它源于完对固体退火薪过程的模拟赔；采用Me榴tropo怠lis接受衰准则；并用购一种称为冷秆却进度表的校参数控制算赢法进程，使乖算法在多项宋式时间里给姻出一个近似到最优解。同模拟退火算码法的一般形袄式是：从选唯定的初始解肯开始，在借婚助于控制参五数撑t炎递减时产生刊的一系列肺Mapko今b系链中，利用燕一个新解产个生装置和接烘受准则，重注复进行包括汉“家产生新解喷——巩计算目标函绘数差展——薄判断是否接雪受新解井——违接受（或舍骡弃）新解栋”网这四个任务叮的试验，不民断对当前解累迭代，从而样达到使目标稳函数最优的关执行过程。拼针对模型（亭Ⅰ为），对模拟鼠退火过程中淘的关键步骤惧说明如下：多（1）新解践产生装置。训在1～m之鞋间随机选取芽i蔬和拿j创，当前解中保若第烧i咐个和第弊j报个企业获得韵贷款状态相率同则改变第触i绞个企业的贷每款状态；若努不同则交换争其状态。即屠（2）关于伞初始点的调护整。由于模秆型约束条件呜中上下限的斯限制严格，赞对于一个离严可行域比较早远的初始点扁（例如取浇X旅0赖=(0,论…兆,深0)），通哭过上述新解券产生装置可洞能无法在初轧始点的拐“极附近泰”竟找到可行解接。因此，需味进行一个快渔速调整的过发程。即若碧L哀＜宫L炊b卸（贷款总额撤未达到最低怕限额）则依披次选取未获降贷款企业，糠改变其贷款谊状况使之获巷得贷款，重酷复这一过程勉直到符合条渗件。若贷款飞超额则依次欲取消某些企宰业的贷款使驳之符合条件暴。含（3）接受歌准则。采取裤扩充的Me守tropo饼lis接受茫准则判断是繁否接受新解赞。若新解可暴行且优于当违前解则接受以；否则按e躲xp(夏△油W禽/t)或0咸的概率接受继新解。即P=鉴（4）停止屡准则。当控由制参数t递抖减至设定值伏ε理时停止算法朋。头根据模拟退劈火思想设计成适合模型（堵Ⅰ使）的算法如躁下：迎步骤1进产生初始解苍X诱0毛∈巴，其中哑={（害x缘1歼,嗽…戒,x抢m沸）|橡x笔i顿∈派{0,1}夕}穿为可能解集激合，激x蒜i存代表第仁i胸个企业是否仔获得贷款的窃状态。计算被相应的目标璃函数值W激0议；给出控制勤参数初值t丸0警,唱Mapk秘ob站链长度N以趴及停止参数京K和饺ε规。披步骤2刘判断初始解旨的可行性。连若不可行则风快速调整，艇否则转步骤侨3。稼步骤3偏产生新解并钱计算新解与啄当前解的目烧标函数值之群差适△础W瓦。然后由接古受准则计算巾P孔(淋△污W烛,t)，赏取（0,1框）上服从均蛋匀分布的随蠢机数今δ谱，若爸P薪(林△托W加,t)大≥δ唐接受新解，清否则放弃新谨解。畏步骤4剑累计重排次徒数n。若n玻＜N转步骤隶3，否则转评步骤5。芦步骤5泉判断停止准句则是否满足能。若不满足鬼则令t=0拉.9t,n够=0转步骤场3，否则停遭止算法输出捞当前解。申由于模拟退拢火算法的随北机性，终止存解可能不是络整个过程所徒遇到的解中兼最优的。即建使是最优的吩，虽然可证脸明算法对整怪体最优解的砌渐进收敛性处，但终止解因的可接受性刚也不能不遭鉴到怀疑。另估外，当终止肌解在最优解皮的附近时，俩算法本身不榆能迅速逼近朵或达到它。恶因此，对上萄述算法进行荐如下改进：祥（1）设置遣记忆器。设甚变量X*和告W*分别用别于记忆当前虑遇到的最优玩解及目标函窄数值。算法街开始时令X询*和W*分抱别等于初始桨解及其目标图函数值；以役后每接受一纯个新解时，景就将当前解犯的目标函数既值与W*作木比较，若优尸于W*就用防当前解替换能X*和W*燥。最后算法重结束时，将明所得最优解盏与记忆器中捷的解比较，若取较优的一值个作为当前谷最优解。佛（2）算法隶最后链接一休个局部搜索浸过程。以上蚀步所得当前萌最优点为起卸点，用新解椅产生装置产嗓生新解，仅顿当优于当前们解时接受。身重复若干次笑后终止算法表。赴经过上述改超进后的模拟社退火算法具青有较好的稳缓定性抵，可以获得盛更好的近似雀解甚至整体刻最优解。宴4实例翻分析剂某银行新建剂项目的贷款你头寸课L寺a娘为300万散元，贷款最叛低完成任务酷L鬼b柱为270万骑元。现有十放个企业申请键基建贷款。川有关信息如奴表一、表二从所示。现在兰要求确定银责行的贷款组兄合决策，以卫决定对哪些瞎企业发放贷挪款。眉表一贷意款组合备选聚方案馋项目屋Ⅰ由Ⅱ付Ⅲ赌Ⅴ鱼Ⅵ剪Ⅶ绍Ⅷ雷Ⅸ敢Ⅹ艳Ⅻ极投资丛35首28盈39.9藏31.5往56勺26.25匠63聚21假24.5铺11.2姨TNPV肌i作47.18怒45.22梅25.40肚72.86午22.45偏20.77目96.76氧43.01挂43.42林22.42波表二总侨净现值炉TNPV搭的协方差矩蜘阵同cov驾（肠TNPV各i说侍，绝TNPV眠j裹）盼1畅2蓝3支4另5相6核7迎8低9配10国1尝600.0透0踩400.0加0具1200.晨00突500.0枯0性1500.错00征980.0井0阔1300.总00梢700.0困0剂640.0削0预400.0吊0题2婚400.0量0妇266.6订7虏800.0芒0绣333.3赚3拼1000.拨00真653.3穿3瓶866.6阴7真466.6只7直426.6奉7息266.6知7扑3裳1200.勇00雕800.0草0阳2600.若00维966.6慌7遣3100.发00境2100.发00街2300.券00引1433.铜33恐1413.弹33浇746.6士7赖4摩500.0险0喇333.3虹3羊966.6取7奴422.2伪2示1233.休33六793.3落3励1133.催33唉577.7惰8喇511.1坊1叨342.2迁2暮5捕1500.找00冤1000.姓00猴3100.遇00养1233.侍33逮3800.架00白2520.购00丈3100.羽00醒1766.题67于1666.妄67陷973.3门3烛6策980.0踏0幕653.3林3恶2100.饶00荣793.3盟3辜2520.济00垫1698.粥67丧1913.鞋33勿1166.剂67洞1138.芝67紫616.0易0逗7驱1300.蚊00稼866.6怪7杏2300.掠00胶1133.锯33喷3100.长00治1913.贞33秃3266.役67乎1466.祸67闲1186.智67顺946.6里7本8器700.0丰0拳466.6疮7扇1433.岗33蜘577.7怠8鸦1766.为67锤1166.润67果1466.允67愿822.2叙2童768.8煌9翼457.7斩8释9擦640.0段0瓦426.6眯7由1413.推33瞎511.1站1听1666.担67评1138.皮67晋1186.迹67粮768.8直9驻771.5责6拦391.1匪1啄10择400.0藏0剃266.6贱7溜746.6约7负342.2听2南973.3撇3剑616.0意0养946.6困7筛457.7燥8栽391.1积1蔑280.8真9壁运用MAT折LAB软件心，可以根据蛇上述算法编尿制相应程序供对该问题进婚行求解。其颤中相关参数味的设置为：匹X矩0报=(0,枝0,0,0座,0,0,昼0,0,0挣,肌0)，绿t守0兰=1，柔N=5,乌ε放=0拉.02者。在计算机瓜上运行后得疯到最优解X裂*=(疑1,1,0循,1,1,旱0,1,1赛,1,1于)。结合这命一实例对算怕法的主要性介能分析如下造：血（1）按照步上述参数设乘置，算法运抄行中总共比案较了不到三购百个方案（印包括不可行车解），而对撕m=摄10的模型南共有102摄4个方案可裁供选择。由冤此可见这一司算法极大的驳提高了计算题效率，节省摔了计算时间弓。职（2）将程传序连续运行印10次，其脂中有9次获但得了理想的露结果（即整袄体最优解）例，因而算法罪的稳定性能棉是非常好的葬。进一步分惹析可知，有允五次运行是荡在常规算法求阶段就得到守了最优解，突还有两次是去在记忆器中妄得到的最优谷解，另有两租次是在最后敞的局部搜索吊中才得到理巨想结果。由旗此可见，对牵原常规算法技进行改进是荐必要的，也斯是可行的，分这一改进保惹证了算法的重稳定性。5结论释本文针对贷太款组合优化嫂决策模型的桑求解问题，连提出了一种宾改进的模拟眯退火算法。兽数值计算的麻结果表明，阅该算法具有冬很强的适用很性。将模夹拟退火算法潜运用于贷款巡组合优化决衔策模型的求触解是完全可战行的。参考文献妨1迟国巡泰、秦学志坏、朱战宇塞基于单位风单险收益最大全原则的贷款覆组合优化决敏策模型.朋控制与决策交，2000伍，4：46糖9～472冒。叶2冈康立山、谢斤云、尤矢勇定、罗祖华具.猎非数值并行丹算法都—禁模拟退火算柱法佩.光北京：科学汉出版社，燥竭1998。剃3壮王强。模拟倦退火算法的锁改进及其应材用