2020年度北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案

北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案

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第1章概率论的基本概念

§1.1随机试验及随机事件

1.(1)一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T

出现的情形.样本空间是：S=；

(2)一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.

样本空间是：S二；

2.(1)丢一颗骰子.A：出现奇数点，则

A=；B：数点大于2,贝!)B=.

(2)一枚硬币连丢2次，A：第一次出现正

面，贝！IA=；

B：两次出现同一面，贝!!=；C：

至少有一次出现正面，则C=.

§1.2随机事件的运算

1.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关

系表示下列各事件：

(1)A、B、C都不发生表示为：.(2)A

与B都发生，而C不发生表示为：.

⑶A与B都不发生，而C发生表示

为：.(4)A、B、C中最多二个发生表示

为：.

⑸A、B、C中至少二个发生表示

为：.(6)A、B、C中不多于一个发生表

示为：.

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2.S={%:0<%<5},A=：1<X<3},B={%:2<<4}：贝!!

(1)…二,(2)

AB=f(3)AB=,

(4)AuB=f(5)

_____________o

§1.3概率的定义和性质

1.已知P(AuB)=0.8,P(A)=0.5,P(B)=0.6,贝!!

(1)尸(AB)=,

(2)(P(AB})=,

(3)P(A^B)=.

2.已知P(A)=0.7,P(AB)=0.3,贝!!

P(AB)=.

§1.4古典概型

1.某班有30个同学,其中8个女同学，随机地

选10个,求：(1)正好有2个女同学的概率，

(2)最多有2个女同学的概率，(3)至少有2

个女同学的概率.

2.将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,

求有三个盒子各一球的概率.

§1.5条件概率与乘法公式

1.丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为

7,则其中一颗为1的概率是o

2.已知P(A)=1/4,P(BIA)=l/3,P(AIB)=l/2,则

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P(AuB)=o

§1.6全概率公式

1.有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽

一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，

说明两人抽“中'的概率相同。

2.第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有

5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随

机地取一个球，求取到红球的概率。

§1.7贝叶斯公式

1.某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另

30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求(1)

该厂产品能出厂的概率，(2)任取一出厂产品,

求未经调试的概率。

2.将两信息分别编码为A和B传递出去,接收

站收到时，A被误收作B的概率为0.02,

B被误收作A的概率为0.01,信息A与信息

B传递的频繁程度为3:2,若接收站收到

的信息是A,问原发信息是A的概率是多

少？

§1.8随机事件的独立性

1.电路如图，其中A,B,C,D为开关。设各开关

闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均

为P,求L与R为通路(用T表示)的概率。

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//AB

L

R

CD

2.甲，乙，丙三人向同一目标各射击一次，命中

率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中，相互独

立，求下列概率：（1）恰好命中一次，（2）至

少命中一次。

第1章作业答案

§1.11：(1)S=｛HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,7TT｝；

(2)S=｛0,1,2,3)

2：(1)A=｛1,3,5｝3=｛3,4,5,6)；

(2)A=｛正正，正反｝,8=(正正，反反｝,C=｛正

正，正反，反正｝。

§1.21：(1)ABC；(2)ABC；(3)ABC；

(4)AufiuC；(5)ABuACuBC；

(6)AAC'UBC或

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ABC+ABC+ABC+ABC；

2：(1)AuB={x:l<x<4}；(2)AB={x:2<x<3}；

(3)AB={x:3<x<4}；

(4)=或2Wx<5}；(5)

AB={x:1<x<4}o

§1.31：(1)P(AB)=0.3,(2)P(AB)=0.2,(3)

P(AUB)=0.7.2：p(丽)=0.4.

§1.41：

(1)CqC；2/c康,(2)(y+c；q+c；<4)/图，⑶1-(

&+c&)/或.

2：/^/4\

§1.51：.2/6；2：1/4o

§1.61：设A表示第一人“中”，则P(A)=2/10

设B表示第二人“中。则P(B)=

P(A)P(B|A)+P(7)P(B|A)

=2.1+§.2=2

10910910

两人抽“中'的概率相同，与先后次序

无关。

2：随机地取一盒，则每一盒取到的概

率都是0.5,所求概率为：

p=0.5X0.4+0.5X0.5=0.45

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§1.71：(1)94%(2)70/94；2：0.993；

§1.8.1：用A,B,C,D表示开关闭合，于是T

=ABUCD,

从而，由概率的性质及A,B,C,D的相

互独立性

P(T)=P(AB)+P(CD)-P(ABCD)

=P(A)P(B)+P(C)P(D)-

P(A)P(B)P(C)P(D)

=P2+P?-P，=2p2_p4

2：(1)

0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.

4)(1-0.5)0.6=0.38；

(2)

l-(l-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.

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第2章随机变量及其分布

§2.1随机变量的概念，离散型随机变量

1一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球，从

中随机地取3个，用X表示取出的3个球

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中的最大号码.，试写出X的分布律.

2某射手有5发子弹，每次命中率是0.4,一次

接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为

止，用X表示射击的次数，试写出X的分布

律。

§2.20-1分布和泊松分布

1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次

数X是服从入=4的泊松分布，求

(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；⑵每分钟

只少有1次呼叫的概率；

(3)每分钟最多有1次呼叫的概率；

2设随机变量X有分布律：X23,

Y〜兀(X),试求：

p0.40.6

(1)P(X=2,YW2)；(2)P(YW2)；(3)已知Y

W2,求X=2的概率。

§2.3贝努里分布

1一办公室内有5台计算机，调查表明在任一

时刻每台计算机被使用的概率为0.6,计算机

是否被使用相互独立，问在同一时刻

(1)恰有2台计算机被使用的概率是多少？

(2)至少有3台计算机被使用的概率是多

少？

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(3)至多有3台计算机被使用的概率是多

少？

(4)至少有1台计算机被使用的概率是多

少？

2设每次射击命中率为0・2,问至少必须进行多

少次独立射击，才能使至少击中一次的概率

不小于0.9?

§2.4随机变量的分布函数

0x<-1

1设随机变量X的分布函数是：F(x)=<0.5-1<X<1

1X>1

(1)求P(XWO)；P(o<x<i)；P(X21),(2)

写出X的分布律。

2设随机变量X的分布函数是:F(x)二层x〉。,

0x<0

求(1)常数A,⑵P(I<XW2).

§2.5连续型随机变量

1设连续型随机变量X的密度函数为：

\kx0<x<1

/w=|o其他

(1)求常数*的值；(2)求X的分布函数

F(x),画出F(x)的图形,

(3)用二种方法计算P(-0.5<X<0.5).

2设连续型随机变量口的分布函数为：F(x)=

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0X<1

<lnx\<x<e

1x>e

(1)求X的密度函数正)，画出他的图形,(2)

并用二种方法计算P(X>0.5).

§2.6均匀分布和指数分布

1设随机变量K在区间(0,5)上服从均匀分布,

求方程4/+4Kx+K+2=0

有实根的概率。

2假设打一次电话所用时间(单位：分)X服从

”。2的指数分布，如某人正好在你前面走进电

话亭，试求你等待：(1)超过10分钟的概率；

(2)10分钟到20分钟的概率。

§2.7正态分布

1随机变量X〜N(3,4),(1)求PQVXW5),

P(-4<X<10),P(|X|>2),P(X>3)；

(2)确定c,使得P(X>c)=P(X<c)o

2某产品的质量指标X服从正态分布，u=160,

若要求P(120<X<200)^0.80,试问。最多取多

大？

§2.8随机变量函数的分布

1设随机变量x的分柜律为；X01

2

0.3

0.40.3

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Y=2X-1,求随机变量x的分布律。

2设随机变量x的密度函数为：小）=I）

0具他

lx,；求随机变量Y的密度函数。

3.设随机变量x服从（0,1）上的均匀分布,

y=-21nX,求随机变量Y的密度函数。

第2章作业答案

§2.11：|X345

p0.10.30.6

2：X12345_______

p0.40.6x0.40.6x0.6x0.40.6x0.6x0.6x0.40.6x0.6x0.6x0.6xl

§2.21：(1)P(X=1)=P(X21)-P(X22)=0.981684-0.908422=0.073262,

(2)P(X21)=0.981684,

(3)P(XW1)=1-P(XN2)=1-0.908422=0.091578o

2：(1)由乘法公式：

P(X=2,YW2)=P(X=2)P(YW2|

222

X=2)=0.4X(e~+2e~4-2e~)—2e以

(2)由全概率公式：P(YW2)=P(X=2)

P(YW2|X=2)+P(X=3)P(YW2|X=3)

=0.4x51+

0.6x11^3=0.27067+0.25391=0.52458

2

(3)由贝叶斯公式：P(X=2|YW

P(X=2,yW2)0.27067

41--------------------=----------=1).51o

P(y<2)0.52458

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§2.31：设X表示在同一时刻被使用的台数，则

X〜B(5,0.6),

(1)P(X=2)=cgsod(2)P(X23)=

盘060.42+以o6o.4+0.65

(3)P(X^3)=1-*060.4-0.65(4)P(X

^1)=1-0.45

2：至少必须进行11次独立射击.

§2.4i：(1)P(X^0)=0.5；P(o<x<i)=0.5；P(X

21)=05

(2)X的分布律为：XU1

P0.5

0.5

2：(1)A=1,(2)P(1<X<2)=1/6

0x<0

§2.51：(1)k=2f(2)F(x)=<x20<x<l；

1x>\

(3)P(-0.5<X<0.5)=

f0.5f()f0.51

J。于(x)dx-JQhdx+12xdx=—；

或二F(0,5)-

F(-0.5)=l-o=l

440

1/x1<x<e

2：(1)f(x)=<(2)P(X>2)=l—ln2

0其他

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§2.61：3/52：⑴⑵e—eT

§2.71：(1)0.5328,0.9996,0.6977,0.5；(2)c

=3,2：。/31.25。

§2.81：Y13

p0.30.40.3

2.((\o<y<i-e-y/2y>o.

3：/y(y)='29

o其他0y<0

第3章多维随机变量

§3.1二维离散型随机变量

1.设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，

从中随机地取3个，用X表示取到的红球个数,

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用Y表示取到的白球个数，写出(X,Y)的联

合分布律及边缘分布律。

2.设二维随机变量(x,y)的联同分布律为：XY

012

试根据下列条件分别求a和b的值；0

0.10.2a

⑴P(X=l)=0.6；1

0.1b0.2

(2)P(X=l|Y=2)=0.5;(3)设F(x)是丫的分布函

数，/(1.5)=0.5。

§3.2二维连续型随机变量

1.(X、丫)的联合密度函数为：

伏(x+y)0<x<l,0<y<l

八2)1。其他

求(1)常数k；(2)P(X<l/2,Y<l/2)；(3)

P(X+Y<1)；(4)P(X<1/2)O

2.(X、y)的联合密度函数为："小)=[70r<L。。丁

求(1)常数k；(2)P(X+Y<1)；(3)P(X<1/2)O

§3.3边缘密度函数

1.设(X,Y)的联合密度函数如下，分别求X与y

的边缘密度函数。

-----i--------00<X<+00,-00<+00

万2(1+/)(1+,2)J

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2.设(X,Y)的联合密度函数如下，分别求x与y

的边缘密度函数。

e~x0<y<x

f(x,y)=<

0其他

§3.4随机变量的独立性\

的联合分布律血

1・(X,Y)XY

123

试根据下列条件分别求a和b的值；1

1/61/91/18

(1)p(y=i)=i/3；2

ab1/9

(2)p(x>i|y=2)=o.5；(3)已知x与y相互独

立。

2.(X,Y)的联合密度函数如下，求常数c,并讨

论x与y是否相互独立？

cx2y0<x<l,0<y<l

/(%y)=«

0其他

*§3.5多个随机变量的函数的分布

*§3.6几种特殊随机变量函数的分布

第3章作业答案

§3.1'1：XY2

2：(1)a=0.1b=0.3

10.40.30.7

⑵a=0.2b=0.2

20.30.0.3

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⑶a=0.3b=0.1

0.70.31

§3.21：(l)k=l；(2)P(X<l/2,Y<l/2)=1/8；

(3)P(X+Y<1)=1/3；(4)P(X<l/2)=3/8o

2：(1)k=8；(2)P(X+Y<1)=1/6；(3)

P(X<l/2)=1/16o

§3.31：fx⑴=匚/(]+.(]+*力=诉再-00<X<+00；

r+8]_

fy(y)=I1------------------T-dX=----------—-oo<y<+8

.Jy/(i+x2)a+y2)"(1+俨)

§3.41：(1)a=l/6b=7/18；(2)a=4/9

b=l/9；(3)a=1/3,b=2/9o

2：c=6,X与Y相互独立。

第4章随机变量的数字特征

§4.1数学期望

1.盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3

个，用X表示取到的红球的个数，则EX是：

(A)1；(B)1.2；(C)1.5；

(D)2.

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2.设x有密度函数：/W=)V;啜，求

其他

E(X),E(2X—1),灰白),并求X大于数学期望E(X)的

A

概率。

3.设二维随机变量(x,y)的联同分布律为：XY

012

已知E(XK)=0.65,0

0.10.2a

则a和b的值是：

10.1b0.2

(A)a=0.1,b=0.3；(B)a=0.3,b=0.1；(C)

a=0.2,b=0.2；(D)a=0.15,b=0.25o

4.设随机变量(X,Y)的联合密度函数如下：求

EX,EY,E(XY+1)o

[xy0<x<l,0<y<2

/"'小。其.他

§4.2数学期望的性质

1.设X有分布律：X012

3贝!IEK-2X+3)是：

P0.10.20.3

0.4

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(A)l；(B)2；(C)3；(D)

4.

2.设(X,y)有=尤屋"1，试验证

,0其他

E(XY)=E(X)E(Y)9但X与丫不

相互独立。

§4.3方差

1.丢一颗均匀的骰子，用X表示点数，求EX,DX.

2.X有密度函数：小)上+D/4T啜，求D(X).

0其他

§4.4常见的几种随机变量的期望与方差

1.设X~爪2),丫~8(3,0.6),相互独立，则

E(X-2F),D(X-2Y)的值分别是：

(A)-1.6和4.88；(B)-1和4；(C)

L6和4.88；(D)L6和-4.88.

2.设X~U(a,b),Y~N(4,3),X与丫有相同的期望和方

差，求凡。的值。

(A)0和8；(B)1和7；(C)2

和6；(D)3和5.

§4.5协方差与相关系数

1.随机变量(X,Y)的联合分布律如下：试求协

方差。。型,丫)和相关系数以丫，

-1

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01

00.2

0.10

10.1

0.30.3

2.设随机变量（X,Y）有联合密度函数如下：试

求协方差Cov（X,Y）和相关系数加，

[x+y0<x<1,0<y<1

小'『。其他

§4.6独立性与不相关性矩

1.下列结论不正确的是（）

（A）x与丫相互独立，贝心与丫不相关；

（B）x与y相关，贝!|x与丫不相互独立；

（C）E（XY）=£（X）E（y）,贝（Ix与y相互独立；

（D）f（x,y）=fx（x）fY（y）,则X与y不相关;

2.若co阳y）=0,则不正确的是（）

（A）£（xr）=£（x）£（y）;（B）E（x+y）=E（x）+E（y）;

（C）o（xr）=o（x）o（y）;（D）o（x+y）=z）（x）+Q（y）;

3.（x,r）有联合分布律如下，试分析x与Y的相

关性和独立性。

、XY—10

一11/81/8

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1/8

01/80

1/8

11/81/8

1/8

4.E（xr）=E（x）E（y）是x与y不相关的（）

（A）必要条件；（B）充分条件：（C）充

要条件；（D）既不必要，也不充分。

5.E（xr）=E（x）E（y）是x与y相互独立的（）

（A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条

件；（D）既不必要，也不充分。

6.设随机变量（X,Y）有联合密度函数如下：试

验证x与y不相关，但不独立。

j2L?y/4/<y<1

/ay)/

其他

第4章作业答案

§4.11：B；2：3/2,2,3/4,37/64；3：

D；4：2/3,4/3,17/9；

§4.21：D；

§4.31：7/2,35/12；2：11/36；

§4.41：A；2：B；

§4.51：0.2,0.355；2：-1/144,-1/11；

§4.61：C；2：C；3：x与y不相关，但x

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与Y不相互独立；4：C；5：A；

第5章极限定理

*§5.1大数定理

§5.2中心极限定理

1.一批元件的寿命（以小时计）服从参数为

0.004的指数分布，现有元件30只，一只在

用，其余29只备用，当使用的一只损坏时,

立即换上备用件，利用中心极限定理求30

只元件至少能使用一年（8760小时）的近

似概率。

2.某一随机试验，“成功”的概率为0.04,独

立重复100次，由泊松定理和中心极限定理

分别求最多“成功”6次的概率的近似值。

第5章作业答案

§5.22：0.1788；3：0.889,0.841；

第6章数理统计基础

§6.1数理统计中的几个概念

1.有11=10的样本；1.2,1.4,1.9,2.0,1.5,

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1.5,1.6,1.4,1.8,1.4,则样本均值

x=,样本均方差s=,样本

方差0=O

2.设总体方差为〃有样本x”看,…,x.，样本均值为

文，则C。”,5）=O

§6.2数理统计中常见的三个分布

1.查有关的附表，下列分位点的值：Z。尸,

Zo..（5）=，/（1。）=。

2.设乂区,…,X,,是总体力2（㈤的样本,求反又），D（X）o

§6.3一个正态总体的三个统计量的分布

1.设总体X~N3b2）,样本x”X2,…,x,，样本均值又，

样本方差『，则

1«——

」£(X,-X)2〜_______________________________

b/=1

31t〃(Xi~,

b/=1

*§6.4二个正态总体的三个统计量的分布

第6章作业答案

§6.11.嚏=1.57,s=0.25452=0.0646；2.

CoviX^Xy^b2/n；

§6.21.-1.29，9.236,-1.3722；

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2・£(X)=m,D(X)=2m/n；

2

§6.31.N(0,1),“〃一1),X(n-l),/(〃)；

第7章参数估计

§7.1矩估计法和顺序统计量法

L设总体X的密度函数为：加）=［而同有

〔0其他

样本X,X2,…,X.，求未知参数。的矩估计。

2.每分钟经过某桥量的汽车辆数x"⑸，为估计九

的值，在实地随机地调查了20次，每次1分

钟，结果如下：次数：2345

6