2017年数学春季提升班教材

第一篇相似三角形的判定与性质

【课前热身】

一、选择题

1.网购成为人们的一种消费方式，在2015年的“双11”促销活动中天猫和淘宝的

支付交易额突破912.17亿元，将912.17亿元用科学记数法表示为（）

A.912.17X108B.9.1217X108C.9.1217xlO9D.9.1217X0°

2.化简也的正确结果是（）

A.±2B.-2C.2D.4

3.下列各式中，能利用完全平方公式分解因式的是（）

A.-x22x+iB.-x2i2x-1C.x2-2x-1D.x2-2x+4

4.下列运算正确的是（）

A.（x-2）2=x2-4B.（x2）3=x6C.x6-^x3=x2D.x3,x4=x12

'x+5〉0

5.不等式组、.的解集在数轴上表示为（）

______；______^J

6.如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当22=38。时，Zl=（）

A.52°B.38°C.42°D.60°

7.书架上有3本小说、2本散文，从中随机抽取2本都是小说的概率是（）

第6题图

8.如图，将△/BC沿着过中点。的直线折叠，使点Z落在8c边上的4处,

称为第1次操作，折痕。E到8c的距离记为肌；还原纸片后，再将△/£）£

沿着过中点5的直线折叠，使点/落在边上的出处，称为第2次

操作，折痕功昂到8C的距离记为〃2；按上述方法不断操作下去…，经过第

2016次操作后得到的折痕Z）2oi5£20i5到BC的距离记为痴6,到BC的距离记

为力2016.若4=1,则力2016的值为（）

第8题图

]]]

A.1C.D.2-

B.-22016

【考点突破】

类型一相似的有关判定

-1

典题精析1:如图，在A45C中，A8=AC=1,BC=-----,在AC边上截取AD=BC,

2

连接BD.

(1)通过计算，判断与/CCD的大小关系:

(2)求48。的度数.

典题精练1-1：如图，A/18c中，点。，E,F分别是BC,C4的中点,

求证：MBC〜庄FD.

典题精练1-2：如图，已知。。的弦CD垂直于直径AB,点E在CD上,且EC=EB.

(1)求证：ACEB〜ACBD

名师点睛

(2)若CE=3,CB=5,求。£的长.

判定三角形相

似，首先看相对应三

角形有无对顶角、有

无直角，其次看相对

应三角形有无平行关

系(待定)

I关注成绩，更关心孩子多维成长

类型二相似的有关性质

典题精析2：如图，已知A46C〜A4QE,AE=5cm,EC=3cm,BC=7cm,

Z5/IC=45°,ZC=40°.

(1)求和NZDE的大小;

(2)求Of的长.

典题精练2-1：如图，△/8C是一张锐角三角形的硬纸片，AD是BC边上的高,

BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,

使它的一边EH在BC上，顶点G,H分别在AC,A8上，AD与HG的交点为

⑴求证：邈=旭

ADBC

(2)求这个矩形EFGH的周长.

典题精练2-2：如图，在△/8C中，AB=AC=45,8c=2,以Z8为直径的。。分

别交/C,8c两边于点。，E,求ACDE的面积

名师点睛

(待定)

BEC

中考链接

1.如图1,在△ZBC中，点D,E,F分别在边A8,AC,8c上，且DE//BC,EF//AB,

若AD=28D,则—的值为（）

BF

1112

A.-B.-C.-D.一

2343

2.如图2,在△/8C中，4H上BC于H,正方形DEFG内接于△/8C,点D,E

分别在边AB,AC上，点G,F在边8c上，如果BC=20,正方形DEFG的面积为

25,那么AH的长是.

3.如图3,正方形/BCD边长是2,BE=CE,MN=1,线段MN的两端在C£＞、AD

上滑动，当。时，△N8E与以。、M、N为顶点的顶点的三角形相似，

请你加以说明.

图1图2图3

4.如图，aZBC为锐角三角形，是3c边上的高，正方形EFG”的一边FG在

8c上，顶点£、，分别在/8、/C上，已知8c=40CT«,AD=30cm.

（1）求证：△.Be；

（2）求这个正方形的边长与面积.

关注成绩，更关心孩子多维成长

第二篇相似三角形的应用C

D

【课前热身】

1.下列运算正确的是（）

A.百=±3B.a^a4=a2C.3a-V^=3D.aZ>a3=a5

2.AB//CD,EFL4B于E,EF交CD于F,已知/l=50。，则N2=（）

A.40°B.50°C.60°D.130°

3.一元二次方程x2-3x-5=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.没有实数根

C.无法确定是否有实数根D.有两个不相等的实数根

4.如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（）

A.当N8=8C时，它是菱形B.当时，它是菱形

C.当N48C=90。时，它是矩形D.当时，它是正方形

5.小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希

望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）

11i\116§

AA.-BD.-C.-D.—

4]3]2]4]

6.“五一”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手28次，则参加聚

会的人数是（）

A.7B.8C.9D.10

7.7.如图，△4BC中，ZACB=90°,/Z=30°,48=16.点P是斜边N8上一点.过

点P作垂足为P,交边ZC（或边C3）于点。，设/片x,/XAPQ

的面积为丹则y与x之间的函数图象大致为（）

类型一A字型相似模型的应用

典题精析1：如图，在RtZUBC中，ZC=90°,ZC=4cm,8c=3cm.动点M,N

从C点同时出发，均已每秒1cm的速度分别沿C4,向终点8移动，同时

动点P从点8出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动.连接PM,PM设移

动的时间为，（单位：秒，0<Z<2.5）

（1）当，为何值时，以4P,"为顶点的三角形与△/8C相似.（2）是否存在

某一时刻，，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不

存在，请说明理由.

典题精练1-2：如图，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家

的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为了计算工程量，必须计算MN

两点之间的直线距离，选择测量点4B,C点8,C分别在/M,AN上,现测得

ZAf=l千米，NN=1.8千米，/8=54米，8C=45米，/C=30米，求MN两点之间

的直线距离.

名师点睛

（待定）

【考点突破】

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类型二“K”字型相似模型的应用

典题精析2：如图，正方形“8。中，E是BC的中点，CF='C7).求证:

4

(l)AECF〜AABE;

(2)FELAE.

AI)\

典题精练2-1：如图，在正三角形48c中，D,E分别在ZC,上，且吗=」

AC3

AE=EB.求证：AAED~\CBD.

典题精练2-2：如图，小刚同学将一个排球打在地面上，若他击打排球的高度

为1.8米，且排球弹起后正好碰到6.3米高的墙头D点,而此时小刚距离墙角C

点的距离正好是9米，试求排球落地点P距离墙角C点的距离..皿上尽

名师点睛

/判定三角形相

.

/似，首先看相对应三

希\，/角形有无对顶角、有

无直角，其次看相对

应三角形有无平行关

系(待定)

中考链接

1.如图，△/BC和AECD都是等边三角形，且8c=5,8=3,49与CE相交于

点F,则SucF'S&EDF~

2.如图，已知△/BC中，。，E分别是边/瓦/C上的点，且AD-4B=4ETC.

求证：ZBZ)£+ZC=180°

3.如图，在边长为8的正方形/BCD中，点。为/。上一动点(4<。/<8),以

0为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M,连接OM,过点M作。。的切

线交边BC于N.

(1)求证：XODMS/\MCN；

(2)设。A1=x,求的长(用含x的代数式表示)；

(3)在点。的运动过程中，设△CMN的周长为P,试用含x的代数式表示产，

你能发现怎样的结论？

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第三篇三角形函数的综合应用

【课前热身】

1.下列运算正确的是（）

A.J.//B.(?)W

C.x5+x5=x10D.(-ab)工(-就)2=-//

2.如图，直线，1〃，2，Zl=40°,Z2=75°,则N3等于（)

A.55°B.60°C.65°D.70°

3.从1,2,-3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（)

第2题图

4.不等式组的最小整数解是（）

A.-1B.0C.2D.3

5.若顺次连接四边形/8C。各边的中点所得四边形是菱形，则四边形488—

定是（）

A.菱形B.对角线互相垂直的四边形

C.矩形D.对角线相等的四边形

6.已知关于x的一元二次方程1）x2-2x+l=0有两个不相等的实数根，则

m的取值范围是（）

A.m<2B.m>2C.阳V2且加彳1D.mV-2

7.函数尸ox+人和尸在同一直角坐标系内的图象大致是（）

CD

【考点突破】

类型一解直角三角形

典题精析1：已知，如图，在△48C中，4D是上的高，tanB=cos/D4c.

⑴求证：AC=BD；

12

(2)当sinC=—,8c=12时，求的长.

典题精练12如图，ZD=90°,5C=10,NC6O=30°,4=15°.

(1)求CA的长；

(2)求tan4的值.

典题精练1-2：已知:如图，等腰△ABC中，AB=BC,4E工BC于E,EF1AB

4

于尸，若CE=2,cosZ.AEF=—,求£尸的长.

5

C

名师点睛

(待定)

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类型二解直角三角形的实际应用

典题精析2：如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架,

小山的斜坡的坡度i=l：g,斜坡8。的长是50米，在山坡的坡底8处测得铁架

顶端4的仰角为45。，在山坡的坡顶。处测得铁架顶端N的仰角为60。.

（1）求小山的高度；

（2）求铁架的高度。（精确到0.1米）

典题精练2-1：如图，河流的两岸P。、互相平行，河岸尸。上有一排小树，

已知相邻两树之间的距离C£>=40米，某人在河岸MN的A处测得NNN=35°,

然后沿河岸走了120米到达8处，测得NCBN=70°.求河流的宽度CE（结果保

留两个有效数字）.

（参考数据：s加35tM）.57,cos35yo.82,tan35cM）.70,s加70294,cm'70o~0.34,

to«70o=2.75）

名师点睛

（待定）

中考链接

1.如图，在平面直角坐标系中，点/坐标为(4,3),

那么cos。的值是()

343

A.-B.-C.一

435

2.计算：卜3卜(2016+sin30°)”-

3.如图8,某无人机于空中4处探测到目标8,。的俯角分别是30。,60。，此时无

人机的飞行高度/C为60m,随后无人机从工处继续水平飞行30>/5m到达A'

处.(1)求48之间的距离

(1)求从无人机」上看目标D的俯角的正切值.

4.如图，直线N8经过。。上的点C,并且04=08,CA=CB,。。交直线08于

E、D,连接ECCD.

(1)求证：直线是。。的切线;

(2)试猜想8C,BD,8E三者之间的等量关系，并加以证明.

(3)若ta“NCED=l,。。的半径为3,求。/的长。

2

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第四篇数与式

【课前热身】

3.计算-/+3/的结果为（）

A.-2a2B.2a2C.4a2D.-4a2

4.分解因式：/-4y2+4y=（）

A.y（j2-4）H-4）B.y（,y-2）2C.y（y+2）2D.y（y+2）（y-2）

5.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（）

A.5B.6C.7D.8

6.在一个不透明的盒子里有2个红球和〃个白球，这些球除颜色外其余完全相同,

摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是则〃的值为（）

A.3B.5C.8D.10

1.如图，在平行四边形N8C。中，对角线NC、8。相交于点O,E、F是对角线

/C上的两点，给出下列四个条件：®AE=CF；②DE=BF；③NADE=NCBF；

®ZABE=ZCDF.其中不能判定四边形。E8尸是平行四边形的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

8.关于x的一元二次方程（加-2）?+2x+l=0有实数根，则机的取值范围是（）

A.m<3B.m<3C.V3且加彳2D.加33且防彳2

9.若三角形的两条边长分别为6cm和10cm,则它的第三边长不可能为（）

A.5cmB.8cmC.\OcmD.17cm

10.对于抛物线y=-（x+1）2+3,下列结论：

①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=l；③顶点坐标为（-1,3）；

④%>1时,，歹随x的增大而减小，

其中正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【考点突破】

类型一实数运算

典例精析1：计算：我+|2亚一3卜一(2017+〃)°—cos60°.

典题精练IT：计算：卜―内|+百+cos45。—(4—1)°.

类型二整式化简计算

典例精析2：若对尸3,且(x+2)(y+2)=12.

①求xy的值；

②求/+3盯+V的值.

典题精练2-1：先化简，再求值，(3x+2)(3x—2)—5x(x—1)—(2x—Ip,其中

1

X=—•

3

名师点睛

(待定)

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类型三分式化简计算

(31Aa2--417+4

典例精析3：先化简，再求值：—------k.,并从-心烂2的整

(a+1a—\)—1

数中选一个合适的数作为。的值代入求值.

典题精练3-1：先化简再求值：.X~2,其中x满足¥+六2=0.

Ix+1Jx~+2x+1

/XX2\/XX2\

典题精练3-2：先化简，再求值:--------------------------------------------+,______，，

2222

+yx+2xy+yJ(x+yx-y?

其中卜—V?|4-《y-1—0.

名师点睛

(待定)

【中考链接】

1.在-g和它的倒数，相反数，绝对值中，最小的数是（）

11

A.——B.-C.2D.-2

22

X21

2.化简------1------的结果为（)

X—11—X

1X

A.X+1B.----C.x-1D.----

1+xX-1

2

x-l

3.若分式^~^的值为零，则x的值为（)

X-1

A.0B.1C.-lD.il

4.据统计，截止到5月31日上海世博会累计入园人数803.27万人.803.27万这个

数字（保留两位有效数字）用科学记数法表示为（）

A.8.0X102B.8.03X102C.8.0X106D.8.03X106

5.已知x-2y=3,那么代数式3-2x+4y的值是（）

A.-3B.OC.6D.9

6.如图，点48在数轴上对应的实数分别为小，”，则48间的距离是,

a,且、

（用含"3〃的式子表示）加0"X

7.、何的平方根是,算术平方根是J（2-扃=

8.因式分解：2a2-8=；x2y_4xy2+4y3=.

9.先化简，再求值：（2x+l）（2x-l）—（x+l）（3x—2）,其中工=四一1.

2x2x+4,x+2

10.先化简,再求值:其中

77T一一一1”一2%+1x=tan600-l

名师点睛

（待定）

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第五篇方程与不等式

【课前热身】

x-y=4

1.方程组＜的解是

2x+y=-1

2.一件服装原价“元，若涨价10元后打八折销售，则现价为一件元.

化简:

x-1x+1

4.如图，在直升机的镜头下，观测/处的俯角为30。，8处的俯角为45。.如果

此时直升机镜头C处的高度8为200米，点4D、8在同一直线上，则

N8两点的距离是米.

4n“I

5.如图，矩形/BCD中，对角线/C的中点为。，过。作EFLZC,分别交N8、

DC于E、F,若/8=4,BC=2,那么线段E尸的长为.

DXF________C

6.如图，在平面直角坐标系xQv中，直线y=JJx经过点4作无轴于点8,

将△ZB。绕点8逆时针旋转60。得到△CBO,若点8的坐标为（2,0）,则

点C的坐标为.

【考点突破】

类型一分式方程的实际应用

典题精析1:在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要

150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工

程词・

(1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？

(2)为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率

是工，甲队的工作效率是乙队的m倍(1<W<2),若两队合作40天完成剩余的

a

工程,请写出。关于，〃的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？

典题精练1-2：我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主

题的远足活动.己知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步

行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学

生同时从学校出发，到达君山岛时.，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，

求学生步行的平均速度是多少千米/小时.

名师点睛

解答这一类函数

的应用题时，应从给

定的信息中抽象出一

次函数关系，理清哪

个是自变量，哪个是

自变量的函数，在利

用函数的图像与性质

求解，同时要注意自

变量的取值范围

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类型二一元二次方程的实际应用

典题精析2：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可

售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措

施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售

出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？

典题精练2-1：在直角墙角（。4_1_08,且。I、长度不限）中，要砌20”?

长的墙，与直角墙角/O8围成地面为矩形的储仓，且地面矩形/。8。的面积为

96〃」.

（1）求这地面矩形的长；

（2）有规格为0.80x0.80和1.00x1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块名师点睛

和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），根据公式变化前X

用哪一种规格的地板砖费用较少？（1+增长率）n=变化

后，列出方程组求解

可得；

解决这类实际问题的

关键是理解题意，弄

清楚题目中间存在的

等量关系。再建立方

程或不等式的模型去

解出未知量；然后结

合题意方程；结合实

际情况检验所求的值

是否符合题意.

中考链接

2x-1>5

1.不等式组Cc的解集在数轴上表示为（）

8-4x<0

A-B-

c-

12

2.方程2•=上的解是.

2xx-3

3.受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高.据调查，

2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为

169套.假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x,根据题意所列方程为一.

4.某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%,结

果提前4天完成任务.

（1）求这个工程队原计划每天修道路多少米？

（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修

建道路的工效比原计划增加百分之几？

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第六篇函数综合

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）

1.我国西部地区幅员辽阔、资源丰富，面积约6720000平方公里，占中国国土面

积70%,用科学记数法表示6720000=.

2.因式分解：2x2-18=.

3.如果一个扇形的圆心角为120。，半径为6,那么该扇形的弧长是—.

4.已知在拉△ZBC中，ZC=90°,则的值为.

5.如图，设四边形力8C。是边长为1的正方形，以对角线/C为边作第二个正方

形ZCE尺再以对角线/E为边作第三个正方形/EG",如此下去.…若正方

形的边长记为处，按上述方法所作的正方形的边长依次为s，“3,办,…，

a,„则an=.

6.如图，菱形/8C。和菱形ECGF的边长分别为2和4,NZ=120。.贝D阴影部

分面积是—.（结果保留根号）

类型一面积计算

典例精析1：如图，在平面直角坐标系X0,中，一次函数产去+b的图象与反比例

函数y='的图象交于N(2,3)、B(-3,两点.

X

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)若P是y轴上一点，且满足△为8的面积是5,直接写出OP的长.

典例精练1-1：如图，在平面直角坐标系中，。为原点，直线N8分别与x轴、y

轴交于8和与反比例函数的图象交于C、。，CE_Lx轴于点E,tanZABO=-,

2

08=4,OE=2.

(1)求直线和反比例函数的解析式;

(2)求△08的面积.

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类型二不等式的判断

典例精析2：如图，正比例函数/心"的图象与反比例函数及=与的图象相交于

X

4,B两点,其中点Z的横坐标为2,当%>为时，x的取值范围是()

A.x<-2或x>2BJC<-2或0<x<2

C.-2<x<0或0<x<2D.-2<x<0或x>2

典例精析2-1：如图，直线尸-x+3与轴分别交于点力，8,与反比例函数歹=«

x

的图象交于点尸(2,1).

(1)求该反比例函数的关系式；

(2)观察图象，直接写出b+3-&>0的解集.

X

类型三相似求解

典例精析3：如图，直线产-x+3与y轴交于点N,与反比例函数y="(后0)的

x

图象交于点C,过点C作轴于点8,40=380,则反比例函数的解析式为

()

典题精练3-1：如图，直线厂"+1与x轴、y轴分别相交于/、8两点，与双曲线

y=-(x>0)相交于点P,PCLx轴于点C,且尸C=2,点/的坐标为(-2,0).

x

(1)求双曲线的解析式；

(2)若点。为双曲线上点尸右侧的一点，且轴于H,当以点。、C、H