2017年数学真题及解析-2017年浙江省高考数学试卷

2017年浙江省高考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）

1.（4分）已知集合P={x|-,Q={x|0<x<2},那么PUQ=（）

A.（-1,2）B.（0,1）C.（-1,0）D.（1,2）

22

2.（4分）椭圆L+工_=1的离心率是（）

94

A.1①B.返C.2D.i.

3339

3.（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位:

cm3）是（）

俯视图

A.2L+1B.2L+3c.2ZL+1D.A—+3

2222

'x>0

4.(4分)若x、y满足约束条件.x+y-3>0,则z=x+2y的取值范围是()

,x-2y40

A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+8)D.[4,+°°)

5.（4分）若函数f（x）=x2+ax+b在区间［0,1］上的最大值是M,最小值是m,

则M-m()

A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关

C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关

6.（4分）已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则"d>0"是"4+$6>2$5”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.（4分）函数y=f（x）的导函数丫=『（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的

图象可能是（）

8.(4分)已知随机变量&满足P(6=1)=pi，P(&=0)=1-Pi,i=l,2.若0<

P1<P2<—»则()

2

A.E(&)<E(6),D(&)<D(&)B.E(&)<E(&)，D(&)>D(6)

C.E(8)>E(&),D(&)<D(&)D.E(8)>E(&)，D(&)>D(&)

9.(4分)如图，已知正四面体D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P、Q、R

分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB,%里_=2,分别记二面角D-PR-Q,D-

QCRA

PQ-R,D-QR-P的平面角为a、0、丫，则（）

A.yVaVBB.a<y<PC.a<p<yD.[3<y<a

10.(4分)如图，已知平面四边形ABCD,AB±BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与

BD交于点。，记li=0A*0B，l2=0B*0C-l3=0C*0D,则()

A.hV12Vl3B.Ii<l3<l2C.I3<li<l2D.I2<li<l3

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分

11.（4分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率A,理论上能把

A的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术"，将71的值精确到小数点

后七位，其结果领先世界一千多年，"割圆术"的第一步是计算单位圆内接正六边

形的面积S6，S6=.

12.（6分）已知a、bwR,（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a?+b2=,

ab=・

13.（6分）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+ap<4+a2x3+a3x2+a4x+a5，贝！J34=,

35=・

14.（6分）已知△ABC,AB=AC=4,BC=2,点D为AB延长线上一点，BD=2,连

结CD,则ABDC的面积是,cosZBDC=.

15.（6分）已知向量分、芯满足|R=1，Ibl=2,则G+亩+G-M的最小值

是,最大值是.

16.（4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2

人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选

法.（用数字作答）

17.（4分）已知a£R,函数f（分=|x+/-a|+a在区间［1,4］上的最大值是5,

X

则a的取值范围是.

三、解答题（共5小题，满分74分）

18.（14分）已知函数f（x）=sin2x-cos2x-2^/3sinxcosx（xWR）.

（工）求f（22L）的值.

3

（口）求f（x）的最小正周期及单调递增区间.

19.（15分）如图，已知四棱锥P-ABCD,APAD是以AD为斜边的等腰直角三

角形，BC〃AD,CD±AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.

（I）证明：CE〃平面PAB；

（口）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

E

A<<zy"/------\"~VD

B--------

20.(15分)已知函数f(x)=(x-<2xT)e「x(x2L).

2

(1)求f(x)的导函数；

(2)求f(x)在区间［L,+8)上的取值范围.

2

21.(15分)如图，已知抛物线x2=y，点A(-L,2)，B(A,1),抛物线上

2424

的点P(x,y)(-±<x<2),过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

22

(I)求直线AP斜率的取值范围；

(n)求|PA|・|PQ|的最大值.

22.(15分)已知数列仅)满足:xi=l,Xn=xn+i+ln(1+Xn-i)(n」N*),证明：当n

GN*时，

(I)0<Xn^l<Xn；

(n)2Xn-l-Xn/nX叫

2

(0)

2n-12n-2

2017年浙江省高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）

1.（4分）已知集合P={x|-lVxVl},Q=（x|0<x<2},那么PUQ=（）

A.（-1,2）B.（0,1）C.（-1,0）D.（1,2）

【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可.

【解答】解:集合P={x|-lVxVl},Q={x|0<x<2},

那么PUQ={x|-l<x<2}=（-1,2）.

故选：A.

【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力.

22

2.（4分）椭圆—+二=1的离心率是（）

94

A.1无B.近C.2D.”

3339

【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可.

22___

【解答】解：椭圆上一=1,可得a=3,b=2,则c=«9-4=旗，

94

所以椭圆的离心率为：2=运

a3

故选:B.

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力.

3.（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位:

cm3）是（）

正视图侧视图

Q

俯视图

A.—+1B.2L+3C.12L+1D.12L+3

2222

【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出

图形，结合图中数据即可求出它的体积.

【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，

圆锥的底面圆的半径为1,三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的

高和棱锥的高相等均为3,

故该几何体的体积为LxLxnXl2X3+lxlx&XaX3=2L+1,

23322

【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得

出原几何体的结构特征，是基础题目.

'x>0

4.（4分）若x、y满足约束条件卜+y-3>0，则z=x+2y的取值范围是（）

x-2y40

A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+8）D.[4,+8）

【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可.

【解答】解：X、y满足约束条件卜+y-3》o,表示的可行域如图:

x-2y40

目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，

由卜+y-3=0解得c(2,0,

{x-2y=0

目标函数的最小值为：4

目标函数的范围是［4,+8).

故选：D.

【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解

题的关键.

5.(4分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间［0,1］上的最大值是M,最小值是m,

则M-m()

A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关

C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关

【分析】结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下M-m的取值与a,

b的关系，综合可得答案.

【解答】解：函数f(x)=x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x=-9为对称轴的

2

抛物线，

①当-且>1或一旦V0,即a<-2,或a>0时，

22

函数f(x)在区间［0,1］上单调，

此时M-m=|f(l)-f(0)|=|a+l|,

故M-m的值与a有关，与b无关

②当LW-mW1,即-2WaW-l时，

22

函数f(x)在区间［0,-马上递减，在［-旦，1］上递增，

22

且f(0)>f(1),

2

此时M-m=f(0)-f(-―)=-5_,

24

故M-m的值与a有关，与b无关

③当0W一旦〈工，即-lVaWO时，

22

函数f(x)在区间［0,一旦］上递减，在［-且，1］上递增，

22

且f(0)<f(1),

2

止匕时M-m=f(1)-f(--)=l+a+-3—,

24

故M-m的值与a有关，与b无关

综上可得：M-m的值与a有关，与b无关

故选：B.

【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象

和性质，是解答的关键.

6.(4分)6知等差数列｛aj的公差为6前n项和为Sn,则"d>0"是"S4+S6>2Ss"

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据等差数列的求和公式和S4+S6>2S5,可以得到d>0,根据充分必要

条件的定义即可判断.

【解答】解：•.•S4+S6>2S5,

.,.4ai+6d+6ai+15d>2(5ai+10d),

.*.21d>20d,

.,.d>0,

故"d>0"是"S4+S6>2S5"充分必要条件，

故选：C.

【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题

7.(4分)函数y=f(x)的导函数丫=『(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的

图象可能是()

【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f'(x)VO时，函数f(x)单调递减,

当f，(x)>0时，函数f(x)单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性,

然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y=f(x)的

图象可能

【解答】解：由当f，(x)<0时，函数f(x)单调递减，当f，(x)>0时，函数

f(x)单调递增，

则由导函数y=f，(x)的图象可知：f(x)先单调递减，再单调递增，然后单调递

减，最后单调递增，排除A,C,

且第二个拐点(即函数的极大值点)在x轴上的右侧，排除B,

故选：D.

【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的

判断，考查数形结合思想，属于基础题.

8.(4分)已知随机变量用满足P(&=1)=Pi，P(6=0)=1-Pi,i=l,2.若OV

P1<P2<—»则()

2

A.E(6)<E(&)，D(&)<D(6)B.E(8)<E(&)，D(8)>D(&)

C.E(£i)>E(&),D(G)<D(&)D.E(&)>E(&),D(6)>D(0)

【分析】由已知得0VpiVp2〈L,1<1-P2<1-P1<1,求出E(8)=P1，E(8)

22

=P2,从而求出D(&),D(&),由此能求出结果.

【解答】解：•..随机变量6满足P(6=1)=p”P(6=0)=1-p"i=i>2,

0<Pl<P2<—>

2

—<1-P2<1-P1<1,

2

E(8)=1Xpi+OX(1-pi)=pi，

E(6)=1Xp2+0X(1-p2)=p2，

D(&)=(1-pi)2pi+(0-pi)2(1-pi)=p「p]2,

22

D(&)=(1-P2)2P2+(0-p2)(1-P2)=p2-p9,

22

D(&)-D(&)=Pi-Pi-(p2-p2)=(P2-Pi)(P1+P2-1)<0,

AE(0)<E(&),D(&)<D(0).

故选：A.

【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证

能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是

中档题.

9.(4分)如图，已知正四面体D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P、Q、R

分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB,强生=2,分别记二面角D-PR-Q,D-

QCRA

PQ-R,D-QR-P的平面角为a、仇丫，则(

D

A.vVaV0B・a<y<PC.a<|3<vD.P<y<a

【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系.设底面AABC的中心为0.不

妨设OP=3.则0(0,0,0),P(0,-3,0),C(0,6,0),D(0,0,6a),

Q(V3>3,0),R(-2病，0,0),利用法向量的夹角公式即可得出二面角.

解法二：如图所示，连接OP,OQ,OR,过点。分别作垂线：OELPR,OF±PQ,

OG±QR,垂足分别为E,F,G,连接DE,DF,DG..可得tana=_2Ltan0=强,

tanv=毁.由已知可得：OE>OG>OF.即可得出.

0G

【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系.设底面AABC的中心为0.

不妨设0P=3.则0(0,0,0),P(0,-3,0),C(0,6,0),D(0,0,6&),

B(3百，-3.0).Q(V3-3,0),R(-2病，0,0),

PR=(-2V3>3,0),PD=(0,3,6a)，PQ=(b，6,0),QR=30),

Q>(T5，七，672).

设平面PDR的法向量为7(x,y,z),则［丁素°，可得1-2日+3月1，

n・PD=0(3y+6&z=0

可得各(右，哂，T)，取平面ABC的法向量，=(0,0,1).

则cos〈U：）=21:1.-取anarccos-^.

Imllnl715V15

=arccos

同理可得：B=arccos-J=l=.v-^^-

V681V95

♦♦1、&、3

V15V95V681,

.*.a<y<p.

解法二：如图所示，连接OP,OQ,OR,过点。分别作垂线：OEJ_PR,OF1PQ,

OG1QR,垂足分别为E,F,G,连接DE,DF,DG.

设OD=h.

贝ijtana=毁.

0E

同理可得：tanB=四，tanv=@.

OF0G

由已知可得：OE>OG>OF.

tana<tanv<tanP，a,0,丫为锐角.

/.a<Y<P-

故选：B.

【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公

式，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

10.(4分)如图，已知平面四边形ABCD,AB1BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与

BD交于点0,记li=0A«0B>l2=0B*0C-13=沃・丽，则()

A.Ii<l2<l3B.Ii<l3<l2C.I3<li<l2D.I2<li<l3

【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可.

【解答】解：VAB1BC,AB=BC=AD=2,CD=3,

，AC=2&,

.,.ZAOB=ZCOD>90°,

由图象知OAVOC,OB<OD,

-0>0A«0B>0C,0D»0B*0C>0,

即I3<ll<l2.

故选：C.

【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的

定义是解决本题的关键.

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分

11.（4分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率71,理论上能把

R的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术"，将71的值精确到小数点

后七位，其结果领先世界一千多年，"割圆术"的第一步是计算单位圆内接正六边

形的面积S6,S6=阻.

~2~

【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积.

【解答】解：如图所示，

单位圆的半径为1,则其内接正六边形ABCDEF中，

△AOB是边长为1的正三角形，

所以正六边形ABCDEF的面积为

S6=6X1X1X1Xsin60°=2^1.

22

故答案为：拒.

2

【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题.

12.（6分）已知a、b£R,（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2=5,ab=

2.

【分析】a、bGR,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位)，3+4i=a2-b2+2abi,可得

3=a2-b2,2ab=4,解出即可得出.

【解答】解:a、bER,(a+bi)?=3+4i]是虚数单位),

3+4i=a2-b2+2abi,

:.3=a2-b2,2ab=4,

解得ab=2,[a=2,[a=-2.

lb=llb=-l

则a2+b2=5,

故答案为：5,2.

【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能

力与计算能力，属于基础题.

13.(6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+aix4+a2x3+a3x2+a4x+as，则34=16,

as=4.

【分析】利用二项式定理的展开式，求解X的系数就是两个多项式的展开式中X

与常数乘积之和，a5就是常数的乘积.

【解答】解:多项式(x+1)3(x+2)2=x5+aix4+azx3+a3x2+a4x+a5>

(x+1)3中，x的系数是：3,常数是1；(x+2)2中x的系数是4,常数是4,

34=3X4+1X4=16；

a5=lX4=4.

故答案为：16；4.

【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题.

14.(6分)已知^ABC,AB=AC=4,BC=2,点D为AB延长线上一点，BD=2,连

结CD,则△BDC的面积是逗•，cosZBDC=Y叵.

~2~~4~

【分析】如图，取BC得中点E,根据勾股定理求出AE,再求出SAABC，再根据S

△BDC=KMBC即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出

2

【解答】解：如图，取BC得中点E,

VAB=AC=4,BC=2,

，BE=_LBC=I,AE±BC,

2

\AEWABZ-BE2'^^

•SAABC=-^-BC*AE=-^-X2Xyj]&《15’

.*BD=2,

,•SABDC=~^~SNABC="15，

22

BC=BD=2,

/.ZBDC=ZBCD,

，ZABE=2ZBDC

在RtAABE中，

VCOSZABE=M^±,

AB4

.,.cosZABE=2cos2ZBDC-1=L,

4

/.COSZBDC=^/1P-,

4_

故答案为：逗，逗

24

【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题

15.(6分)已知向量：、诵足©=2,则|春知向的最小值是4,

最大值是_2遥

【分析】通过记NAOB=a(OWaWn),利用余弦定理可可知a+bI=V5+4cosCC>

H后荻M，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论.

【解答】解:记NAOB=a，贝！JOWaWn,如图，

由余弦定理可得：

a+bl=j5+4cosa,

a-b=V5-4cosCl>

令x=45-4ccisa,y=45+4cosa，

则x2+y2=io（x、y^l）,其图象为一段圆弧MN,如图，

令z=x+y,贝Uy=-x+z,

则直线y=-x+z过M、N时z最小为Zmin=l+3=3+l=4,

当直线y=-x+z与圆弧MN相切时z最大，

由平面几何知识易知Zmax即为原点到切线的距离的糜,

也就是圆弧MN所在圆的半径的我倍，

所以Zmax=&XV10=2V5.

综上所述，G+R+E-m的最小值是%最大值是2“.

故答案为：4、2^5-

【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解

能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题.

16.（4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2

人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有660种不同的选

法.（用数字作答）

【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可

【解答】解：第一类，先选1女3男，有C63c21=40种，这4人选2人作为队长

和副队有A42=12种，故有40X12=480种，

第二类，先选2女2男，有C62c22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12

种，故有15X12=180种，

根据分类计数原理共有480+180=660和J

故答案为：660

【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题

17.(4分)已知aGR,函数f(x)=|x+9-a|+a在区间［1,4］上的最大值是5,

X

则a的取值范围是(-8,旦］.

2,—

【分析】通过转化可知lx+2-a|+aW5且aW5,进而解绝对值不等式可知2a-5

X

Wx+&W5,进而计算可得结论.

X

【解答】解:由题可知|x+_l-a|+aW5,即|x+_l-a|W5-a,所以aW5,

XX

又因为|x+W-aW5-a,

X

所以a-5Wx+里-aW5-a,

x

所以2a-5Wx+&W5,

x

又因为lWx<4,4Wx+&W5,

x

所以2a-5W4,解得

2

故答案为：(-8,2］,

2

【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解

题方法的积累，属于中档题.

三、解答题(共5小题，满分74分)

18.(14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-cosx(xGR).

(工)求f(空)的值.

3

(口)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.

【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，

(I)代入可得：f(空)的值.

3

(口)根据正弦型函数的图象和性质，可得f(x)的最小正周期及单调递增区间

【解答】解：•.•函数f(x)=sin2x-cos2x-2V3sinxcosx=-V^sin2x-cos2x=2sin

(2X+77L)

6

(I)f(-22L)=2sin(2X空_+I2L)=2sin旦L=2,

3362

(II)Va>=2,故T=n,

即f(x)的最小正周期为n,

由2x+卫Le[-2L+2kn,2L+2kn]，kez得：

622

xe[-i2L+kn,-2L+kn],kGZ,

63

故f(x)的单调递增区间为[一且L+kn,-工+kn]或写成[k7i+2L,kn+22L],k

6363

ez.

【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函

数的单调区间，难度中档.

19.(15分)如图，已知四棱锥P-ABCD,4PAD是以AD为斜边的等腰直角三

角形，BC〃AD,CD1AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.

(I)证明：CE〃平面PAB；

(口)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

【分析】(I)取AD的中点F,连结EF,CF,推导出EF〃PA,CF〃AB,从而平

面EFC〃平面ABP,由此能证明EC〃平面PAB.

（□）连结BF,过F作FMLPB于M,连结PF,推导出四边形BCDF为矩形，从

而BF_LAD,进而AD_L平面PBF,由AD〃BC,得BC_LPB,再求出BCLMF,由

此能求出sin0.

【解答】证明：（I）取AD的中点F,连结EF,CF,

0E为PD的中点,；.EF〃PA,

在四边形ABCD中，BC〃AD,AD=2DC=2CB,F为中点，

；.CF〃AB,平面EFC〃平面ABP,

VECc平面EFC,

，EC〃平面PAB.

解：（口）连结BF,过F作FM_LPB于M,连结PF,

VPA=PD,APF1AD,

推导出四边形BCDF为矩形，...BFLAD,

.,.AD_L平面PBF,又AD〃BC,

.•.BC_L平面PBF,/.BC±PB,

设DC=CB=1,由PC=AD=2DC=2CB,得AD=PC=2,

PB={pc2_Bc2="V4-l=V§，

BF=PF=1,；.MF=L,

2

又BC_L平面PBF,ABC1MF,

，MF_L平面PBC,即点F到平面PBC的距离为L,

2

VMF=1,D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为工，

22

E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，

，E到平面PBC的距离为

4

在APCD中，PC=2,CD=1,PD诋

由余弦定理得CE=正，

工

设直线CE与平面PBC所成角为仇则sin0=_L=返.

CE8

【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线

线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、

空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题.

20.(15分)已知函数f(x)=(x-<2xT)ex(x2L).

2

(1)求f(x)的导函数；

(2)求f(x)在区间[L,+8)上的取值范围.

2

【分析】(1)求出f(x)的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求;

(2)求出f(x)的导数，求得极值点，讨论当上<*<1时，当l<x<丝时，当

22

x>”时，f(x)的单调性，判断f(x)20,计算f(L),f(1),f(空)，即可

222

得到所求取值范围.

【解答】解：(1)函数f(x)=(x-亚/jjex

2

导数7(x)=(I-1.」.])e'x-(x-A/2X-1)e'x

2V2x-1

=(1一丫+乙)ex=(1-x)(1-/2)ex；

V2x-1V2x-1

(2)由f(x)的导数r(x)=(1-x)(1-__)ex,

可得F(x)=0时，x=l或反，

2

当LvxVl时，f(x)<0,f(x)递减；

2

当lVx〈a时，f(x)>0,f(x)递增；

2

当*>及时，f(x)<0,f(x)递减，

2

且X2A/2XT=X2》2X-1=(X-1)22°，

则f(x)20.

由f(1)=lef(1)=0,f也)=le

2222

1

即有f(x)的最大值为皂一工,最小值为f(1)=0.

2

1

则f(X)在区间［工，+8)上的取值范围是［0,皂2］.

22

【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算

能力，正确求导是解题的关键，属于中档题.

21.(15分)如图，已知抛物线x2=y，点A(-L,2)，B(金，旦)，抛物线上

2424

的点P(x,y)(-Lvx<3),过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

22

(I)求直线AP斜率的取值范围；

(H)求|PA|・|PQ|的最大值.

【分析】(I)通过点P在抛物线上可设P(x,X2),利用斜率公式结合

2

vW可得结论；

2

(□)通过(I)知P(x,x2)、-1<X<2,设直线AP的斜率为k,联立直线

22

AP、BQ方程可知Q点坐标，进而可用k表示出而、PA，计算可知|PA|・|PQ|=

(1+k)3(1-k),通过令f(x)=(1+x)3(1-x),-1<X<1,求导结合单调

性可得结论.

【解答】解：(I)由题可知P(x,X2),-±<x<2,

22

21

X一

所以kAP=----3=X-—(-1,1),

」2

故直线AP斜率的取值范围是：(-1,1)；

(II)由(I)知P(X,X2),--L<X<—,

22

所以而=(---X,--X2),

24

设直线AP的斜率为k,则AP：y=kx+lk+L,BQ：y=-L+且+旦，

24k2k4