安徽省示范中学培优联盟2019-2020学年高一上学期冬季联赛数学试题

安徽省示范高中培优联盟2019年冬季联赛（高一）数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若全集，集合，，图中阴影部分所表示的集合为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】图中阴影部分表示的意思为：，根据集合运算关系即可得解.【详解】根据图中阴影部分表示的意思为：，，所以.故选：B【点睛】此题考查韦恩图表示的集合关系辨析，并求出图中表示的集合，属于简单题目，关键在于准确识别图中表达的意思.2.下列函数既是增函数，图象又关于原点对称的是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】A符合题意，B不关于原点对称，C不是增函数，D不关于原点对称.【详解】，记，是奇函数，可化为，当，且是增函数，当，且是增函数，所以函数在定义域内单调递增，所以A正确；是非奇非偶函数，不关于原点对称，所以B不正确；不是增函数，所以C不正确；是偶函数不是奇函数，不关于原点对称，所以D不正确；故选：A【点睛】此题考查函数奇偶性和单调性的判断，熟记常见基本初等函数的性质对解题能起到事半功倍的作用.3.已知定义域为的奇函数满足，且当时，，则A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】由题意利用函数奇偶性求得的周期为3，再利用函数的周期性求得的值．【详解】解：已知定义域为的奇函数满足，，的周期为3.时，，,故选D．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性，函数值的求法，属于基础题．4.如图所示，函数（且）的图像是（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】将函数解析式化成分段函数，再根据正弦函数的图象判断即可.【详解】解：因为，所以函数图象如C所示.故选：C5.函数f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集为A. B.（，-2）∪（，2）C.（1，2）∪（，+∞） D.（，+∞）【答案】C【解析】【详解】当时，有，又因为，所以为增函数，则有，故有；当时，有，因为是增函数，所以有，解得，故有．综上．故选C6.已知函数的图象如图所示，若函数的两个不同零点分别为，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据图象求得函数的解析式，再求函数的零点，比较相邻零点中的最小值.【详解】由图象可知函数的最大值为2，所以，，所以，当时，，，，即，当时，，得或，解得：，或，相邻的零点中，的最小值是.故选：A【点睛】本题考查根据三角函数的图象求三角函数的解析式，三角函数的零点，属于中档题型.方法点睛：求的解析式的求法：在一个周期内，若最大值为，最小值为，则，由周期确定，由求出，通过观察图象，分析确定的值，将图象的一个最高点或最低点，也可以利用零点，再由已知条件中的具体范围确定相应值.7.已知函数，则的定义域是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式组即可得定义域.【详解】已知函数，要使有意义，则，，解得.所以函数定义域为.故选：B【点睛】此题考查求具体函数的定义域，其本质在于准确求解不等式组，涉及二次不等式和三角不等式，需要熟练掌握三角函数的图象和性质.8.已知单调函数的定义域为，对于定义域内任意，，则函数的零点所在的区间为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据单调性的性质和零点存在定理，可以求解出函数的零点所在的区间，选出正确答案.【详解】因为函数是定义域为上的单调函数，，所以为一定值，设为，即，而，解得，因此，所以，，故函数零点所在的区间为，本题选D.【点睛】本题考查了单调函数的性质，考查了零点存在定理，考查了换元法，对数式正负性的判断是解题的关键.9.已知函数，若，，互不相等，且，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数图像，根据对称得到，再得到，最后得到答案.【详解】画出函数图像：，设则即故答案选C【点睛】本题考查了函数交点的取值范围问题，画出图像是解题的关键，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.10.函数的单调递减区间是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】函数的单调递减区间，即函数的单调递增区间利用复合函数的性质，可得所求的区间为，化简即可得答案【详解】函数的单调递减区间，即函数的单调递增区间.令，解得，所以原函数的单调减区间为.结合所给的选项，可知选B.【点睛】本题考查复合函数求单调性问题，属于基础题11.已知函数在（0，2）上为减函数，则的取值范围是（）A.（1，3] B.（1，3） C.（0，1） D.[3，+∞）【答案】A【解析】【分析】根据复合函数的单调性质可知对数函数为增函数，则，再结合真数范围即可得结果．【详解】由函数在（0，2）上为减函数，可得函数在（0，2）上大于零，且为减函数，，故有，解得故选：A．【点睛】不论还是，都有为减函数，又在（0，2）上为减函数，则，这是求解本题的关键．12.函数的定义域为，若满足：(1)在内是单调函数；(2)存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数是“梦想函数”，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据“梦想函数”定义将问题改写为，等价转化为有2个不等的正实数根，转化为二次方程，利用根的分布求解.【详解】因为函数是“梦想函数”，所以在上的值域为，且函数是单调递增的.所以，即∴有2个不等的正实数根，令即有两个不等正根，∴且两根之积等于，解得.故选：A.【点睛】此题以函数新定义为背景，实际考查函数零点与方程的根的问题，通过等价转化将问题转化为二次方程根的分布问题，综合性比较强.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13.函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.【答案】6【解析】【详解】试题分析：由题意，，则；时，，不成立．考点：函数的最值及其几何意义．14.函数，则______________.【答案】1009【解析】【分析】根据的周期性，分析，结合规律求解.【详解】，，，，根据的周期性可知：所以【点睛】此题考查根据函数的周期规律求值，虽然函数不是周期函数但可以根据函数关系找出函数值变化的周期规律，根据规律求值，减少计算量.15.函数满足，且在区间上，则的值为____．【答案】【解析】【详解】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.16.已知：，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由已知条件将两个角的三角函数转化为一个角的三角函数，再运用三角函数的值域求解.【详解】由已知得，所以，又因为，所以，解得，所以，故填.【点睛】本题考查三角函数的值域，属于基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合，集合，函数定义域为集合.(1)若，求集合；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根据不等式求出集合A，求出函数的定义域B，即可求解补集和交集；（2）根据集合的包含关系比较端点的大小列不等式求解即可.【详解】(1)集合，因为.所以函数，由，可得集合.或，故.(2)因为，由，而集合应满足，因为，故，依题意：，即或，所以实数的取值范围是.【点睛】此题考查集合的基本运算，根据集合的包含关系求解参数的取值范围，在第二问需要考虑解集端点的大小关系.18.已知函数（1）当有实数解时，求的取值范围；（2）当时，有，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）通过分离参数法得，再通过配方法求最值即可（2）通过配方法求得，由（1）给出的结合函数的对称轴可求出函数的值域，要满足，则需满足，求解即可详解】（1）令，通过分离参数法得，根据二次函数的对称性和的取值范围可得，当时，；当时，故（2），，由二次函数的对称性可知，当时，；当时，要满足恒成立，需满足，即，解得【点睛】本题考查三角函数的值域判断，含参二次函数在定区间恒成立问题，其中对于含参问题的求解常采用分离参数法或结合最值（端点）判断恒成立，本题还涉及换元法的应用，换元法的关键在于新元的取值范围必须明确19.已知，函数，且.（1）求的最小正周期；（2）若在上单调递增，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得的图象关于直线对称，由此求得ω的值，可得它的最小正周期．（2）根据在[-t，t]上单调递增，可得，且，由此解得t的最大值．【详解】（1）因为，所以的图象关于直线对称，所以，解得，又因为，所以，则的最小正周期.（2）因为，所以的单调递增区间为.因为在上单调递增，所以，解得.故的最大值为.【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．20.已知函数且）.(1)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；(2)当时，若不等式对于恒成立，求的最大值.【答案】(1)当时，在上是减函数，当时，在上是增函数，证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）对函数进行变形，分类讨论即可得到单调性；（2）结合（1）的结论，根据单调性转化为对于恒成立，即可求解.【详解】(1)当时，在上是减函数，当时，在上是增函数.证明如下：任取，则因为，所以，，所以，所以当时，，，所以，故函数在上是减函数.所以当时，，所以，所以，故函数在上是增函数.(2)易知是奇函数，，即.当时，由(1)知，在上是减函数，从而在上是减函数，故对恒成立，即对恒成立.因为在上是减函数，所以的值域为.所以，故的取值范围是.【点睛】此题考查利用定义证明函数的单调性，利用单调性解决不等关系，根据不等关系求参数范围，涉及等价转化的思想.21.某电影院共有1000个座位，票价不分等次，根据影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，需符合的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，用x（元）表示每张票价，用y（元）表示该影院放映一场的净收入（除去成本费用支出后的收入）问：（1）把y表示为x的函数，并求其定义域；（2）试问在符合基本条件前提下，票价定为多少时，放映一场的净收入最多？【答案】（1）（2）当每张票定为22元时，放映一场电影的利润最高，最高为8330元．【解析】【详解】试题分析：（1）根据x的范围，分别求出函数表达式；（2）分别求出两个函数的最大值，从而综合得到答案．解：（1）电影院共有1000个座位，电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，∴x＞，∴票价最低为6元，票价不超过10元时：y=1000x﹣5750，（6≤x≤10的整数），票价高于10元时：y=x[1000﹣30（x﹣10）]﹣5750=﹣30x2+1300x﹣5750，∵，解得：5＜x＜38，∴y=﹣30x2+1300x﹣5750，（10＜x≤38的整数）；（2）对于y=1000x﹣5750，（6≤x≤10的整数），x=10时：y最大为4250元，对于y=﹣30x2+1300x﹣5750，（10＜x≤38的整数）；当x=﹣时，y最大，∴票价定为22元时：净收入最多为8830元．考点：函数解析式的求解及常用方法．22.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析；（2）；（3）最大值为.【解析】【分析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；（2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据的范围即可求出的取值范围；（3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即