2020年数学（理）高考模拟卷新课标卷7含答案

2020年数学（理）高考模拟卷新课标卷（7）

（本试卷满分150分，考试用时120分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷

类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置

上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作

答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.已知集合4={%€'|—2<x<2},8={-1,1,2,3},则AB=（）

A.{1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}

【答案】A

【解析】

【分析】

求出集合A，然后利用交集的定义可求出集合AB.

【详解】

A={xeN|-2cx<2}={0,1},因此，AnB={l}.

故选：A.

【点睛】

本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.

2.若a=log63,0=log|o5,c=log|47〃J（）

A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>b>a

【答案】D

【解析】

V*

分析：三个对数的底数和真数的比值都是2,因此三者可化为/(力=巧的形式，该函数为

((),+e)上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系.

律版d—晦3b—9551呜7

l+log23l+log25l+log27

1

令〃x)=qr=l--L,x>0,则“X)在(o,+8)上是单调增函数.

X0<log23<log25<log27,所以

/(10g23)</(log25)</(log27)即a<b<c.故选D.

点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的

关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小.

3.设有下面四个命题

Pi：若复数z满足则zeR；

z

外：若复数z满足z2eR，则zeR；

“3：若复数4:2满足Z|Z2eR,则Z1=Z2；

p4：若复数ZGR，则2eR.

其中的真命题为

A.Pi，PsB.Pi，Pq

c.p2,p3D.P»PA

【答案】B

【解析】

☆z=a+bi(a,0eR),则由一=-----二:一之€R得b=0,所以zeH,故口正确；

za+bia"+b"

当z=i时，因为z2=i2=—leR，而2=10/?知，故P2不正确；

当Z]=Z2=i时，满足Z|-Z2=-leA,但Z]HZ2，故P3不正确；

对于“4,因为实数的共扼复数是它本身，也属于实数，故P4正确，故选B.

点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轨复数，化简成z=a+/(a,beR)的形式

进行判断，共挽复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.

4.如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折

者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈(一丈=10尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹

根的距离三尺，间折断处离地面的高是()

A.2.55尺B,4.55尺C.5.55尺D.6.55尺

【答案】B

【解析】

【分析】

将问题三角形问题，设出另一直角边，则可求出斜边的长，最后利用勾股定理可求出另一直角边.

【详解】

已知一直角边为3尺，另两边和为10尺，设另一直角边为x尺，则斜边为10-尤尺，由勾股定理可

得：X2+32=(10-X)2,可得x=4.55尺.

故选：B

【点睛】

本题考查了数学阅读能力，考查了勾股定理的应用，考查了数学运算能力.

5.函数/(%)=」~方-1在区间［-4,4］附近的图象大致形状是()

1+x

【解析】

【分析】

通过求特殊点的坐标，结合函数值的正负判断，即可得出结论.

【详解】

/(%)=/丁-1过点(1，0),可排除选项A,D又〃2)<0,排除C.

1+X

故选:B

【点睛】

本题考查函数图像的识别，属于基础题.

6.在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案.该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、

生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地里至少有一门被选中

的概率是()

125

A.-B-C.一D.-

6?36

【答案】D

【解析】

【分析】

本题可从反面思考，两门至少有一门被选中的反面是两门都没有被选中，两门都没被选中包含1个

基本事件，代入概率的公式，即可得到答案.

【详解】

设人=｛两门至少有一门被选中｝,则^=｛两门都没有选中｝,入包含1个基本事件,

—1115

则P(A)===z，所以P(A)=1——=一，故选D.

J666

【点睛】

本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中合理应用对立事件和古典概型及其概率的计

算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

7.若向量4,匕满足|a|=l,|b|=2,且|二」|=6，则向量a/的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【解析】

【分析】

由|-笳=百，平方求出a力,代入向量夹角公式，求出的夹角余弦值，即可得结果.

【详解】

设a,b的夹角为。

11r-rrrrrrrrrr

\a-b\=y/3,\a-h\1=（a-h）2=a2-2a-h+h2=5-2a-h=3,

rr

rra-b1八

ab=\,:.cos0=-f-f-=-,O<0<7r,:.0=—

ab23

故选:B

【点睛】

本题考查向量的模长和向量的夹角计算，着重考查计算能力，属于基础题.

8.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太

极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化

中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2,奇数项是序号平方减

1再除以2,其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,如图所示的程序框图是

为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入（）

A.〃是偶数？，n>100?B.〃是奇数?，«>100?

C.〃是偶数？，”>100?D.〃是奇数？，n>100?

【答案】D

【解析】

根据偶数项是序号平方再除以2,奇数项是序号平方减1再除以2,可知第一个框应该是“奇数”，执

QQ2_11()()2

行程序框图，〃=1,S=0;〃=2,S=2;〃=3,S=4;~；〃=99,S=------n=100,5=----;

22

〃=1()1>100结束，所以第二个框应该填〃>1(X),故选D.

9.以a?1,分别表示等差数列｛q｝网J的前〃项和，若干=Q，则/的值为

A.7B.旦C.卫D.2

483

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等差数列前n项和的性质，当n为奇数时，$"=也也，即可把自转化为言求解.

24

【详解】

c八49asS7x921

因为数列是等差数列，所以S2“+]=（2〃+1）Q“+],故,=言=黄g=工=工，选B.

【点睛】

本题主要考查了等差数列前n项和的性质，属于中档题.

10.已知椭圆。的焦点为K（一1,0）,6（1,0）,过工的直线与。交于A8两点.若|A曰=3|8勾,

忸用=5|8勾，则C的方程为（）.

.x2_x2y22222

A.----Fy2=1B.---F—=1C,土+匕=1D.二+匕=1

2324354

【答案】A

【解析】

【分析】

根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得°=也，b=\,可得椭圆的方程.

【详解】

解：|伍|=3|8鸟|,:]AB\=4\BF2\,

又忸耳卜5忸闾,

又|8片|+|由"=2*门8鸟|=]，

.JAF2\=a,

\AFx\+\AF2\=2a,AF,\=a,

.••IMRAgl,.•.）在y轴上.

在放△4尸,。中，COSN4F,O=L,

a

4+

在48月居中，由余弦定理可得COSNB86=—

2x2x-

3

根据cosNAEO+cosNBE片=0,可得一+="=0,解得/=2，

aa

b2=a2-c2=2-1=1.

所以椭圆C的方程为：y+/=l.

故选：A-

【点睛】

本题考查了椭圆的定义及余弦定理，属中档题.

3x+l,x<0

11.设函数/(x)="若关于x的方程/2(x)-(«+2)/(x)+3=0恰好有六个不同的

|log4x|,x>0

实数解，则实数”的取值范围为

3

A.(2y/3~2,—B.(―2月-2,2G—2)

C.(y,+oo)D.(26-2,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】

画出了(X)的图像，利用“X)图像，利用换元法，将方程/(同一(a+2)/(x)+3=0恰好有六个

不同的实数解的问题，转化为一元二次方程在给定区间内有两个不同的实数根，由此列不等式组，

解不等式组求得。的取值范围.

【详解】

画出“X)的图像如下图所示，令”x)=f,则方程/⑺一(a+2)/(x)+3=0转化为

户一(a+2)f+3=0,由图可知，要使关于x的将方程/(另一(a+2)f(x)+3=0恰好有六个不

同的实数解，则方程*一(。+2»+3=0在(1,2］内有两个不同的实数根，所以

△=(“+2)2-12〉0

a+2

<2，解得2>/3-2<aW—.

2

l2-(a+2)xl+3>0

2?-(a+2)x2+3N0

故选：A

y

【点睛】

本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数根于判别式，考查数形结合的数学思想方法,

属于中档题.

12.过球。表面上一点A引三条长度相等的弦A3、AC.AD，且A3、AC.AZ）两两夹角都

为60°,若BD二二、历，则该球的体积为（)

A.叵口26兀c县D.叵

23'~T~2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意可分析四面体A-BCD是正四面体，各条棱长均为0,依据正四面体外接球半径的求法

即可得解.

【详解】

由题：在四面体A—6C。中，AB=AC=AD,ABAC=ABAD=ACAD=60,

所以MAC,△BARAGA。均为等边三角形，且边长均为血，

所以四面体A—BCD是正四面体，棱长为、历，如图：

A

根据正四面体特征，点A在底面正投影a是底面正三角形的中心，外接球球心。在线段A。上,

设外接球半径为R,取CO中点£

过点的截面圆的半径r=O6=2B£=2x0x^=45,

'3323

在仆a中，0]A=qBA2_BO；2.|二

则球心到截面的距离d=OQ=当—R

在AOIOB中，0.B1+00；=0B2,R2,

解得R=@，

2

4

所以球的体积丫=一）（白丫&

3。2

故选：A

【点睛】

此题考查求正四面体外接球的体积，通过几何体的特征，确定一个截面，寻找球心，根据三角形关

系求出半径即可求解，平常的学习中有必要积累常见几何体外接球半径的求法.

第n卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13.曲线y=xe"在点（0,0）处的切线方程为.

【答案】y=x

【解析】

【分析】

利用导数求出曲线y=x/在点（0,0）处的切线的斜率，然后利用点斜式可写出所求切线的方程.

【详解】

依题意得y'=e'+x",因此曲线y=x/在x=0处的切线的斜率等于b

所以函数丁=址’在点（0,0）处的切线方程为丁=二

故答案为：丁=%.

【点睛】

本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考

查运算求解能力.属于基础题.

3

14.记S”为等比数列｛如｝的前〃项和.若q=1,S3=—,贝ijS4=.

【答案】f.

【解析】

【分析】

本题根据已知条件，列出关于等比数列公比4的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到S「题

目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】

详解：设等比数列的公比为4,由已知

31

=

§3=41+%q+=1+g+q-—f即（j~4-4--=0

解得q=-g，

4(1"--(-5)_5

所以§4

l-q

1-(--)

【点睛】

准确计算，是解答此类问题的基本要求.本题由于涉及累的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生

易出现运算错误.

一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算§4=53+%=邑+4/=：+（—；＞=|,

避免繁分式计算.

15.甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数6,按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、

乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把修乘以2后再减去12,：

如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把卬除以2后再加上12,这样就得到一个新的实数的，

对实数生仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数由，当阳〉4时，甲获胜，否则乙获胜，

3

若甲获胜的概率为二，则q的取值范围是

4

【答案】（―,12］口［24,”）

【解析】

【分析】

按要求操作一次产生一个新的实数，列举得到新的实数的途径，列出不等式，根据所给的甲获胜的

3

概率为一，解出功的结果.

4

【详解】

内的结果有四种，每一个结果出现的概率都是

4

1.2〃i-12—>2（2。1-12）-12=4671-36=。3,

2a-12

2.ci\—-12-►F12=〃I+6=〃3,

2

a,2a.+12a

3.—►F12->-----------F12=］F］8=俏，

224

4.—►--+12—>2（--+12）-12=〃1+12=。3,

22

*.*ai+18>ai,ai+36>ai,

3

・•・要使甲获胜的概率为二，

4

3

即43>41的概率为一，

4

**.4tzi-36>的，--+18%i,

4

或4«i-363“，—+18>〃］，

4

解得〃E12或mN24.

故选：D.

【点睛】

本题考查新定义问题，考查概率综合，意在考查学生的读题审题能力，考查转化能力，是中档题

22

16.已知双曲线C：，一本•=1（。>0,。>0）的左右焦点分别为《，F2,过冗的直线/与圆

/+）,2=/相切于点T，且直线/与双曲线C的右支交于点p,若耳尸=4耳T，则双曲线。的离

心率为.

【答案】一

3

【解析】

【分析】

根据题意，作出图形，结合双曲线第一定义，再将所有边长关系转化到直角三角形MP居中，化简

求值即可

【详解】

如图，由题可知|0耳|=|0周=0,|。1=。，贝1耳刀=/?,

又Qf；P=46T，.・.|T”=3b,.•.忻月=4仇

又\PF{\-\PF2\=2a,：.\PF2\=4b-2a

作用W//OT,可得后M|=2a,17Ml=〃，^\\PM\=2b

在AMP巴，|尸照2+明引2=俨用2,即。2=（4一。）2,2h=a+c

又c2=a2+b2,化筒可得3c2-2ac-5/=0,同除以/，得3e2-2e-5=0

解得e=3

3

双曲线的离心率为之

3

【点睛】

本题考查了利用双曲线的基本性质求解离心率的问题，利用双曲线的第一定义和中位线定理将所有

边长关系转化到直角三角形MP居中是解题关键，一般遇到此类题型，还是建议结合图形来进行求

解，更直观更具体

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21

题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分

17.如图所示，在ABC中，NA,NB,NC的对边分别为a,b,c,已知

2/?sinAcos8+asin8=0,a=l,c=2.

(1)求6和sinC；

—=^,求人钻。的面积.

(2)如图，设。为4c边上一点,

CDV7

,叵;⑵立.

【答案】(1)6=J7

74

【解析】

【分析】

(1)通过正弦定理边化角，整理化简得到cosB的值，再利用余弦定理，求出。，根据正弦定理,

求出sinC；(2)根据正弦定理得到sinNCBD=l,即NCBD=-,根据勾股定理得到80="，

22

根据三角形面积公式，求出的面积.

【详解】

(1)因为2Z?sinAcos8+asinB=0,

abc

所以在ABC中，由正弦定理

sinAsinBsinC'

得2sinBsinAcosB+sinAsinB=0,

因为sinAsin3w0,所以2cos3+1=0,

所以cosB=——

2

2万

又0<B<乃，所以3二丁，

3

由余弦定理得,

b1=a2+c2-2accosB=l+4-2xlx2x=7,

所以/?二V7,

cb

在A5C中，由正弦定理

sinCsinB

。.2万-

csinB2sm--Jz21

所以sinC=3=---

b7

BDsinC

（2）在△A3。中，由正弦定理得

,CD-sinZCB£＞，

中小BDV3由J”sinC6

因为——二一产，所以

CDSsinZ.CBD近

/T7

因为sinC='巴，所以sinNC3Q=l,

7

而ZCBDG（0,乃）

71

所以/CBD=一

2

由----=~^=，设BD=V3z,CD=y/lt，

CDV7

所以（Gf）2+12=（历）2,所以r=

所以80=也，

2

24Jl7T

因为ZABD=ZABC-ZDBC=---------=-,

326

所以SA即=-xABxBDsinZABD=12乂叵△=立.

22224

【点睛】

本题考查正弦定理边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.

18.如图，三棱锥力-ABC中，AB=AC=2,BC=25DB=DC=3,产分别为03,A3的

中点，且NEEC=90°.

D

(1)求证：平面D4B_L平面ABC；

(2)求二面角O-CE-尸的余弦值.

【答案】⑴证明见解析；⑵-宏羽

28

【解析】

【分析】

(1)取8C的中点G,可得3CLAG,BCLDG,从而得到BC_L平面ZMG,得到6C_LA4,

由DA//EF，EFLCF,得至UDA±CF,从而得到平面ABC,所以平面DAB，平面ABC■.

(2)以A为原点，建立空间直角坐标系，利用余弦定理和勾股定理，得到NB4C=120°，DA=5

11uu

得到。CE的法向量々，平面尸CE的法向量々，根据向量夹角的余弦公式，得到二面角D-CE-F

的余弦值

【详解】

(1)如图取8C的中点G,连接AG,DG,

因为A8=AC=2,所以BC_LAG,

因为03=。。，所以8CJ.QG，

又因为4GDG=G,所以平面ZMG,

ZMu平面DAG

所以

因为£，F分别为DB，AB的中点，所以ZM〃Ef.

因为NEFC=90°，即瓦'LCF,

则D4_Lb.

又因为BCCF=C，

所以。4，平面45。，

又因为ZMu平面D4B,

所以平面DAB_L平面ABC.

(2)因为ZM_L平面ABC,则以A为坐标原点，

过点A与AC垂直的直线为左轴，AC为丁轴，AO为z轴,

建立如下图所示的空间直角坐标系.

因为AB=AC=2,BC=25/3,DB=DC=3,

在A4BC中,

4发+心-叱4+4-12

cosZBAC=

2ABAC2x2x22

所以NBAC=120°.

在RtADAB中，DA=M-*=非，

所以点40,0,0),0(0,0,6)，C(0,2,0),5(73,-1,0),

设平面OCE的法向量为々=(x「x，zj,

QC=(0,2,—⑹,=1孚-g,一。.

fDC-^0设-岛=。

所以第3即0」y「金

I222

可取“=(而，石,2).

设平面FCE的法向量为%=(/，%，Z2)，

65_

-丁+/=n。

FC-=0

所以即《

FE・%=0

—z2=0

22

可取%=(5,6,0),

厉x5+后XG+2XO3屈

Q至2+忖Mx。?+旧二干

因为二面角。一。七一尸为钝二面角，所以二面角。一CE-b的余弦值为一"e

28

【点睛】

本题考查线面垂直的性质和判定，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的夹角余弦值，属于中

档题.

19.已知动圆过定点P(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(1)求动圆圆心C的轨迹方程；

(2)过点(2,0)的直线1与动圆圆心C的轨迹交于A,B两点，求证：OA-O6是一个定值.

【答案】(1)y2=8x；(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)设圆心的坐标为(x,y),得出|CP『=|。以『=明/『+|TC『，代入点的坐标，即可得到曲线C

的轨迹方程；

(2)设直线方程x=@+2,联立方程组，得至+再向量的数量积的运算，即可得到

结论.

【详解】

(1)设动圆的圆心C(x,y),线段MN的中点为T,则|MT|="b4.

2

由题意得|CP|2=|CM|2=|MTF+|TC|2,y2+(x-4)2=42+x2,/.y2=8x,

即动圆圆心C的轨迹方程为y2=8x.

(2)证明:易知直线1的斜率不为0,

设直线1的方程为x=ky+2,A(xi,yi),B(X2»2).

联立+2”消去*整理得y2_8ky-16=0,A=64k2+64>0,可得yi+y2=8k,yiy2=-16.

lyz=8x,

又加=(X1，yi)，OB=(X2,y2),

222

:.OA-OB=^iX2+yiy2=(kyi+2)(ky2+2)+y।y2=kyiyz+2k(yi+y2)+4+y।y2=-l6k+16k+4-16=-l2,

,加,而是一个定值—

【点睛】

本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,通过联立直线

方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数''的解

析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本

题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

20.已知函数f(x)=arcosx-l在0,$上的最大值为叵-i.

_6J6

(1)求。的值；

(2)证明：函数”X)在区间(0,5J上有且仅有2个零点.

【答案】(1)。=2(2)证明见解析

【解析】

【分析】

⑴求导后利用xw0,£可得导函数的正负与原函数的单调性，再利用最大值为叵-1进行求解即

66

可.

(2)求导分析单调性后，根据零点存在定理求解的正负即可.

【详解】

(1)f(x)=6/(cosx—xsinx),

71

因为XE0,—，所以cosx>sinx、0,又1>x20,

6

所以1cosx>xsinx，即cosx-xsinx>0.

当a>0时,/(£)>(),所以/(X)在区间0,［上递增，

所以/(x)=//四］=8生.@—1=叵—1,解得a=2.

v7maxL6J626

当”0时,/(x)<0,所以/(x)在区间0,弓上递减，

所以〃x)a=/(0)=T，不合题意・

当。=0,/("=一1,不合题意.

综上,〃=2.

(2)设g(x)=cosx-xsinx,

则g(x)=-2sinx-xcosx<00<x<—,

\27

所以g(x)在上单调递减，乂8(0)=1>0*(5)=一^<0,

所以存在唯一的/使得g(毛)=0

当0〈无时,g(x)>0,即，(x)=2g(x)>0,所以〃x)在(0,与)上单调递增；当xo<x</

时,g(x)<0,即f(x)=2g(x)<0,所以〃x)在(0,x0)上单调递减

乂/(0)=一1<0,/图=与一1>OJ

2)

所以〃力在„与上各有一个零点，

综上，函数〃x)在区间„上有且仅有两个零点.

【点睛】

本小题主要考查导数及其应用、函数的零点、函数的最值与值域等基础知识,考查推理论证能力、运

算求解能力、抽象概括能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合

思想等，考查的数学素养主要有逻辑推理、直观想象、数学运算等

21.某医药开发公司实验室有n(neN*)瓶溶液，其中m(加eN)瓶中有细菌R,现需要把含有细

菌R的溶液检验出来，有如下两种方案：

方案一：逐瓶检验，则需检验“次；

方案二：混合检验，将〃瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R,则〃瓶溶

液全部不含有细菌R：若检验结果含有细菌R,就要对这〃瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共

为〃+1.

(1)假设〃=5,加=2,采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R的概率；

(2)现对n瓶溶液进行检验，己知每瓶溶液含有细菌R的概率均为P(O＜/?＜1).

若采用方案一•需检验的总次数为久若采用方案二•需检验的总次数为〃.

⑺若J与"的期望相等.试求P关于〃的函数解析式P=/(〃);

(泊若p=l_e3,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望•求”的最大值.

参考数据：In2k0.69,ln3«1.10,ln5«1.61,ln7=1.95

【答案】(1)—(2)(i)p=l一45)8

【解析】

【分析】

(1)对可能的情况分类：＜1＞前两次检验出一瓶含有细菌第三次也检验出一瓶含有细菌，＜2＞前三

次都没有检验出来，最后就剩下两瓶含有细菌；(2)⑺根据E(4)=E(〃)，找到P与〃的函数关系;

5)根据EC)＞E⑺得到关于n的不等式式，构造函数解决问题.

【详解】

解：(1)记所求事件为A，“第三次含有细菌R且前2次中有一次含有细菌R”为事件8,“前三次

均不含有细菌R”为事件C,

则A=8C,且8,C互斥，

所以P(A)=P(8)+P(C)=^i+§=:+2=2

AA51010

⑵[)£©)=〃,

〃的取值为L〃+l,

所以E(m=(i-2)"+(〃+1)[i—(1—py]=n+\-n(i-py,

由七(占)=七(〃)得〃=〃+1—〃(1—P)”,

所以p=l干)"(〃eN*)；

In

(")尸二]_e"所以E(〃)=H+l-n-eZ，

〃一72

所以(〃+1)—•e"<几，所以1r1〃—7>°，

X

设fM=Inx--(x>0),

4

小)」」==，

x44x

当xe(0,4)时，/(%)>0,/(x)在(0,4)上单调递增；

当xe（4,+8）时，f\x）<0,/（x）在（4,+。。）上单调递减

9

又/（8）=ln8-2>0,/（9）=ln9--<0,

4

所以〃的最大值为8

【点睛】

本题考查离散型随机变量的均值以及随机事件的概率计算，难度较难.计算两个事件的和事件的概

率，如果两个事件互斥，可将结果写成两个事件的概率之和；均值（或期望）的相关计算公式要熟

记..

（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

24

在极坐标系中，曲线Ci的极坐标方程是P=-----------------在以极点为原点O,极轴为x轴正半

4cos8+3sin8

x=cos0

轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为<.'（。为参

y=sm"

数）.

(1)求曲线Cl的直角坐标方程与曲线C2的普通方程：

x=25/2x

(2)将曲线C2经过伸缩变换《后得到曲线C3,若M,N分别是曲线Cl和曲线C3上的动

y=2y

点，求附川的最小值.

【答案】(1)G的直角坐标方程为4x+3y—24=0,C2的普通方程为/+产=i；

(2)24-2丙

5.

【解析】

【分析】

(1)由极坐标与直角坐标的互化公式，化简即可求得Ci的直角坐标方程，结合三角函数的基本关

系式，消去参数，即可求得C2的普通方程；

，…一…〜，一=

(2)将曲线C2经过伸缩变换得到曲线C3c3的参数方程为〈，.cosa(z。为,参,数,,)，设N

y=2sin。

(2/cosa,2s加a),利用点到直线的距离公式，求得d有最小值，即可求解.

【详解】

24

(1)由题意，曲线Ci的极坐标方程是Q=-------------,

4cos8+3sme

即4pcos0+3psin0=24,又